平面向量的概念及线性运算（解析版）

第1讲平面向量的概念及线性运算

［知识梳理】

一:向量的基本概念

①定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

②向量的模：向量A月的大小，也就是向量A月的长度，叫做向量的模，记作|A4

③零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

①单位向量：长度等于1个单位的向量.

⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二：向量的线性运算和向量共线定理

①向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

二"①交换律

a+b=b+a

加法求两个向量和的运算

aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+[b+c)

求a与b的相反向量

减法-b的和的运算叫做。a~b=a+(-b)

a

与b的差

三角形法则

(l)M«|=|A||a|1(⑷=(初)〃

求实数4与向量。的(2)当4>0时,2。与a的方向相同；

数乘(2+=%。+f.ia

积的运算当义<0时，4a与a的方向相同；

当义=0时，xa=02(a+b)=Aa+Ab

三：向量共线定理

①如果°〃且〃工0,则a〃力；反之且〃±0,则一定存在唯个实数％,使°=刀八

推论:

②三点A,8,。共线044，共线(功能：证明三点共线);

③句量而，PB,P?中三个向量的终点A,B,C共线O存在实数％,〃使将方=4户月+〃双，且

A4-//=1.

®BD=ADC>AD=-^—AC+-^-:AC.

1+A1+4

题型一：平面向量的概念

【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0;③零向量的方向是任意的；④单

位向量的模都相等.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

［分析］根据零向量及单位向量的概念即可求解.

【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；

对②：零向量的长度为0,故②正确；

对③：零向量的方向是任意的，故③正确；

对④：单位向量的模都等于1,故正确.

故选:C.

【例2】下列命题中正确的是（）

A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D.若福与前是共线向量，则点4,B,C,。必在同一条直线上

【答案】A

［分析］根据向量相等与共线的概念即可解决.

【详解］两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；

两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；

两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；

而与而是共线向量，也可能是48平行于CO,故D错误.

故选：A

【例3】有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若2工5,则Z,各不是共线向量；

③若［丽1=］冈，则四边形ABC7）是平行四边形；

④若m=7i>n=k>则正=%；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

［分析］由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.

【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若£工行也有可能B长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；

对于③，若卜@=|明，则八方，说不一定相等，所以四边形ABCO不一定是平行四边形，③错误；

对于④,若而=3,n=k,则前=工，④正确；

对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

【例4】设％为单位向量，①若Q为平面内的某个向量，则。=|“|即；②若。与斯平行，则。=|〃|斯；③

若G与他平行且|。|=1,则〃=%.上述命题中，假命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【详解】单位向量的模为1,方向可以是不同方向，所以①错；若“与。0平行，则两个向量可以同向，也

可以反向，方向不一定相同，所以②错；③错因此选D

【例5】下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若G,〃满足|>|6|,且不与〃同向，则

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若。〃人则G〃m

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

向董有方向，不能比较大小，故③错误；

向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；

当5=0时，可满足4〃反6〃才，但不与e不一定平行，故⑤错误；

综上，正确的个数是0,

故选：A.

【例6】下面关于向量的说法正确的是（）

A.单位向量：模为1的向量

B.零向量：模为（）的向量，零向量没有方向

C.平行（共线）向量：方向相同或相反的向量

D.相等向量：模相等，方向相同的向量

［答案］ACD

［分析］根据平而向量的基本定义逐个辨析即可.

【讲解］根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意

的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，

故选：ACD.

［例7］下列叙述中错误的是（）

A.若方=石，3«>2bB,若则£与否的方向相同或相反

C.若Z〃人h//c,则Z〃"D.对任一非零向量％,二是一个单位向量

［答案］ABC

【分析】对于A,根据向量的概念判断，对于BCD,举例判断.

【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C,若石为零向量，则％与2可能不是共线向量，故C错误；

对于D,对任一非零向量2,二表示与；;同向的单位向量，故D正确.

I//1a

故选：ABC

【题型专练】

1.下列命题正确的是（）

A.向量而与就是相等向量B.共线的单位向量是相等向量

C.零向量与任一向量共线D.两平行向量所在直线平行

【答案】C

【详解】A选项方向不同，所以转；R选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C选项，规定零向量

的方向是任意的，所以C对；D选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D错

2.下列命题中正确的个数是（）

①若向量而与C方是共线向量，则力、B、C、。必在同一直线上；

②若向量3与向量5平行，则2,刃方向相同或相反；

③若非零向量而与而是共线向量，则它们的夹角是0。或180°;

④若忖=忖，则（;，$是相等向量或相反向量.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案；

对于②，由零向量的定义和性质，可得答案；

对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案；

对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.

【详■解】①错误，平行向量又叫去线向量，向量而与C/5是共线向量，则荏与@5平行或共线；

②错误，Z与否至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；

④错误，由R=M，只能说明2,5的长度相等，确定不了方向.

故选：B.

3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若44,。,。是不共线的四点，则AB=比是四边形

A6CD为平行四边形的充要条件;③〃=石的充要条件是|"|二|万|且£//尻其中正确命题的序号是.

【答案】②

（详解】①不正确，共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上；

②正确v丽二觉,|而|=|比|且而//反，

又48,C,。是不共线的四点，

四边形ABC。为平行四边形.

反之，若四边形A8CD为平行四边形，则池//配且|AB\=\DC\s^B=DC;

③不正确，当且方向相反时、但不能得到a=b,故|。|=|方|且不是a=b的充要条件，而是

必要不充分条件.

故答案为：②

4.把所有单位向量的起点平移到一点。，则其终点构成的图形是.

【答案】以0为圆心的单位圆

设终点为A,则卜@=1,则终点构成的图形是以。为圆心的苴位圆.

故答案为：以O为圆心的单位圆.

5.下列说法中正确的是()

A.若4H为单位向量，则&二鼻B.若2与B共线，则力=万或％=J

C.若同=0,则D.百是与非零向量［共线的单位向量

【答案】CD

【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，向量4,1的方向不一定相同，所以A错误；

对于B中，向量£与否的长度不一定相等，所以B错误；

对于C中，由同=0,根据零向量的定义，可得［=0,所以C正确；

ZI

对于D中，由冏二口可得司与向量Z同向,

又由乙的模等于1,所以符是与非零向量2共线的单位向量，所以D正确.

aM

故选：CD.

6.下列说法中正确的是()

A.力是既有大小，又有方向的量，所以是向量

B.若向量丽//C5,则人B//CO

C.在四边形ABC。中，若向量而〃C万，则该四边形为平行四边形

D.速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算

［答案］AD

【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正确；

对于B中，向量而//而，则AB//C。或AB与C。共线，所以B错误；

对于C中，在四边形A8C。中，若向量而//而、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C错

误；

对于D中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运

算，所以D正确.

故选：AD.

7.下列结论中正确的是（）

A.若同=%,则

B.若"=b、b=E,则d=C

C.若力，B,C,。是不共线的西点，则"丽=玩''是"四边形/也C。为平行四边形”的充要条件

D.的充要条件是“同=M且a//b”

【答案】BC

［分析］根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.

【详解】对于A,两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；

对于B,由平面向量相等可得B正确；

对于C,若Z,B,C,。是不共线的四点，则当通二宓时，|八同=|。1且AB//OC,故四边形力8c。为

平行四边形；

当四边形/8CQ为平行四边形时，且AB//QC,故EA反同向，故丽=方心，放C正确；

对于D,当々〃6且方向相反时，即使同=忖，也不能得到口=对故D错误；

故选：BC

8.下列结论中正确的是（）

A.同与日是否相等与方，B的方向无关B.零向量相等，零向量的相反向量是零向量

C.若入日都是单位向量，则。D.向量而与丽相等

【答案】AB

【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项.

【详解】对于C,单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D,向量

方与丽互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确•

故选：AB.

题型二：平面向量的加法、减法

【例1】荷+9+反+夙+丽等于()

A.ABB.6C.BCD.AC

【答案】B

［分析］根据平面向量加法的运算律计算可得；

【详解】解：AO+OB+OC+CA^-BO

=须+萌+夕)+(BO+O8)

=0+0=0

故选：B

【例2】化简下列各式：

(\)AO+OB+CA-CB；

(2)\^N-MD+NQ-DQ.

【答案】⑴0;(2)6

【分析】(1)由向量的加法法则与减法法则求解即可；

(2)由向量的加法法则与减法法则求解即可；

(1)AC)+OB+^-CI3=(A()+()H)+^CA-CB)=AS+BA=O；

(2)MN-MD+NQ-DQ=(M“-MQ)+(NG+QQ)=DN+ND=6

【例3】正方形48C。的边长为1,则|通+A£i|为()

A.1B.72C.3D.272

【答案】B

［分析］利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.

【详解】在正方形A8CQ中，如图所示，

根据向量加法的平行四边形法则，AB+AD=AC\

又因为正方形46co的边长为1,

所以卜月+人,=|近|=J『+］2=&,

故选：B.

【例4】在"BC中，M是8c的中点，则而十历等于()

A.B.AMC.2AMD.MA

【答案】C

［分析］根据向量的加法法则计算.

［详解］如图，作平行四边形A8EC,因为M是8c的中点，所以M也是AE的中点，则

AB+AC=AE=2AM-

故选：C.

【例5】如图为正八边形力4C£)QG〃，其中。为正八边形的中心，则云+百日+丽=()

A.OBB.ODC.OFD.OH

【答案】A

【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由平面向量的运算法则，可得反+屈+丽=反+而=反+而=而.

故选：A.

【例6】设例是平行四边形/吼力的对角线的交点，O为平面上任意一点，则次+而+反+丽=

()

A.4OMB.3()MC.20MD.OM

【答案】A

【分析】分别在△CMC和△08。中，根据M是平行四边形48co的对角线的交点，利用中点坐标公式求

解.

【详解】解：在△CMC中，因为A/是平行四边形的对角线的交点，

所以谕=；(O4+OC),^OA+OC=2OM

在△08力中，因为M是平行四边形48CO的对角线的交点，

所以西=3(砺+。》)，KpOB+OD=2OM-

所以谖+丽+反+丽=4加.

故选：A.

【例7】若倒=7,|明=4,则明的取值范围是()

A.[3,7]B.(3,7)«C.[3,11]D.(3,11)

【答案】C

【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量前,而共线时取得最值，即可求得答案.

【详解】由题意知网=7,|码=4,且国=（足研

当就，亚同向时，|前|取得最小值，|比|=1/-而1=11比1-1311=14—7|二3；

当就，而反向时，|豆斗取得最大值，|豆4=1/-丽HI/1+1而11=|4+7|=11：

当AC,八月不共线时，|因取得最小值，3=\\AC\-\AB\\<\^C|<||-4C|+|A«||=I1,

故忸4的取值范围是［3,11］,

故选：C

【例8】已知AABC为正三角形，则下列各式中成立的是.（填序号）

①赤-园=|网；@\AB-C^=\BC-A^；（3）\AB-C^=\CA-BC\；（4）\CA-BC\=\AB-AC\,

［答案】①②③

【分析】设。,6户分别为八区"C/C的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一列斯即可得出

答案.

【详解】对于①，|通-码=回卜忸斗，故①成立；

对于②，设D,瓦尸分别为AB,5cAe的中点,

则AE=CO=8f=@AB,

2

|AZ?-CA|-|AZ?+/AC|-|2AE|-V3|A^|,

|阮-福卜|麻+丽卜|2/卜百|阿，

所以I而一司=1而-同，故②成立；

对于③，|Q-B4=|N+词=卜西=75］同，

所以卜启一6卜［。（一次:］,故③正确；

对于④，卜月—44=|丽|^而卜］。从一月4,故④不成立.

故答案为：①②③.

1.3AB+2BC-AC=（）

A.AB+ACB.AB-ACC.ABD.BA

【答案】A

［分析］根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】由向量的运算法则，可得3荏+2反-尼=2福+2前+福-前

=2AC+CB=AB+AC-

故选:A.

2.下列能化简为迎的是（）

A.QC-QP+CQB.病+（讶+做）C.（AB+PC）+（Z?A-（2C）D.PA+AB-BQ

［答案］ABC

［分析］根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解］A选项，0弓一。"+。。=尸。+。0=尸0，A选项正确.

B选项，祁+（耳+&）=祁+题+%=附+&=即，B选项正确.

C选项，（而+定）+（丽一反）=通+而+而一反=质-而=而，C选项正确.

D选项，PA+AB-BQ=PB-BQ=-BP-BQ=-（BP+BQyPQ,D选项错误.

故选：ABC

3.在四边形ABCO中，若=G+函，则（）

A.四边形A8CO是矩形B.四边形A8CO是菱形

C.四边形ABCO是正方形D.四边形A8CQ是平行四边形

【答案］D

［分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可;

【详解】解：•・•C%=诙+®,CA=CB+BA.

CS+BA=CB+CD

.二丽=①，且48=QC,.,.四边形4BCZ）是平行四边形.

故选:D.

4.在平面四边形力8C。中，E,产分别为力。，BC的中点,则下列向量与而+成不相等的是（）

A.2而B.AC+DBC.EB+ECD.FA+FD

【答案】D

［分析】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可

【详解】因为在平面四边形力8co中，E、尸分别为4。，BC的中点、,

所以荏=前=,而，丽=k=,交，

22

因为而=包+而+胪，EF=ED+DC+CF

所以2丽=丽+祝+#+砺+而+/=而+成］

所以A正确，

因为。3=£乂+/1己人分=人力+。万，

所以加1+A*=D4+AC+A万+。//=43+。分，所以B正确，

因为发=诙+及，而=亚+而，

所以反+而=方温+或+通+而=沅+万，所以C正确，

因为户4+//5=五月+84+/。+。5=84+。力=一（4月+。。），

所以D错误，

故选：D

5.在四边形/8CO中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（）

A,而十灰=乙5RAB-AD=BD

c.AB+AI)=ACD.~BC+Cb=BD

【答案】D

【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD,由向量减法的运算法则可判断B,由向量加法的平行四边

形法则可判断C.

【详解】根据三角形法则可得而+就=而\所以A错误；

根据向量减法的运算法则可得而—而=而，所以B错误；

四边形力8。。不一定是平行四边形，所以不一定有而+•万=,C错误；

根据三角形法则可得比+而=而正确，所以D正确.

故选：D.

6.在四边形/4CQ中，AB=DCt若k力一而卜,则四边形/出。£)是()

A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定

【答案】B

【分析】由通=觉，可得四边形力8c。为平行四边形，又W4=|阿，从而即可求解.

［详解］解:在四边形ABCD中，

因为丽=方心，所以四边形/14CD为平行四边形，

又卜力网，即忸4=卜4，

所以平行四边形ABCD为矩形，

故选：B.

7.在△ABC中，D,E,尸分别是边8CCAAB的中点，点G为“IBC的重心，则下列结论中正确的是

()

A.AB-BC=CAB.AG=^(AB+XC)

C.AF+BD+CE=OD.GA+GB+GC=O

［答案］BCD

［分析］由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可.

［详解］解：如图：

A

E

BDC

对于选项A,/1Q-8C=/Vj+C&=2E8ZAC,即选项A错误；

__2__21——1一___

对于选项B,点G为△ABC的重心，则AG=-AO=-x_(A8+AC)=—(A3+AC),即选项B正确;

3323

对于选项C,AF+BD+CE=^(AB¥BC+CA)=6,即选项C正确；

对于选项D,GA=-2GD=-2x^GB+GC),即G?+痂+/=0，即选项D正确，

故选：BCD.

8.如图，E,F,G,，分别是梯形力4co的边力A,BC,CD,。力的中点，化简下列各式：

⑴丽+丽+而；

(2)W+CG+DA+EB.

I答案］(1)GE；(2)0.

【分析】(1)(2)根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.

(1)

DG+EA+CB=GC+BE+CB=GB+BE=GE；

(2)

~EG+W+DA+EB=W+GD+DA+AE=ED+DE=b

题型三：平面向量的线性运算与共线定理

【例1】［多选题］下列命题是其命题的是().

A.若4,B,C,。在一条直线上，则丽与丽是共线向量

B.若4,B,C,。不在一条直线上，则而与也不是共线向量

C.若向量福与前是共线向量，则力，B,C,。四点必在一条直线上

D,若向量而与而是共线向量，则力，B,。三点必在一条直线上

【答案】AD

【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可.

【详解】A项为其命题，A,B,C,。在一条直线上，

则向量而，丽的方向相同或相反，因此而与诙是共线向量；

B项为假命题，A,B,C,。不在一条直线上，

则布，①的方向不确定，不能判断血与CE是否共线；

C项为假命题，因为而，前两个向量所在的直线可能没有公共点，

所以A,B,C,。四点不一定在一条直线上；

D项为真命题，因为福，死两个向量所在的直线有公共点彳，

且窈与就是共线向量，所以4B,。三点共线•

故选：AD.

【例2】已知向量％,5,且通=3十2方，BC=-5a+6b,W=7a-2b,则一定共线的三点/()

A.4,B,DB.J,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

［分析］由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.

【详解】因为丽=£+2B,BC=-5a+6b,CD=la-2b.

选项A,~AB=a+2b.BD=BC^CD=(-5^i+6b)+(la-2b)=2a+4h,若力，B,力三点共线，则

Rj=2而,即£+2〃=2(23+46),解得4=；,故该选项正确；

选项B,^B=a+2b,配=一5》+6万，若月，B,C三点共线，则通=%沅，即3+26=〃一52+6力，解

得2不存在，故该选项错误；

选项C,JC=-5a+6b,CD=la-2b,若B、C,。三点共线，则配=28万，即一52+65=〃73-25),

解得义不存在，故该选项错误；

选项D,AC=AB+BC=(a+2b)+(-5a+6b)=-4d+Sh,CD=7a-2b^若力，C,力三点共线，则

AC=ACD»-4«+8/?=2(7«-2b),解得义不存在，故该选项错误；

故选：A.

【例3】下列说法正确的是()

A.2与丐是非零向量，则2与否同向是£=/；的必要不充分条件

B.是互不重合的三点，若丽与反共线，则ARC三点在同一条直线上

C.2与否是非零向量，若£与否同向，则2与反向

D.设4〃为实数，若入a=,则〃与方共线

［答案］ABC

［分析］A选项：根据相等向量的定义即可判断；

B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；

C选项：Z与日同向，则Z与工反向，显然正确；

D选项：如果丸=〃=0,则无法得知％与万共线.

【详解】"与B同向，但同不一定与同相等，.•."/，若2=万，则£与坂同向，

且有同=忖，••・♦与万同向是2=否的必要不充分条件，A正确.

而与前共线，则有而-2万亍，故一定有人,仇。三点在同一条直线上，D正确.

£与刃同向，则2与-坂反向，C正确.

4=〃=0时，-与丐不一定共线，D错误.

故选：ABC

【例4】“而〃诙”是“4,B,C,。四点共线”的条件.

【答案】必要不充分

［分析］根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可.

【详解】当而〃①时，直线与CO的位置关系有可能是平行或共线，

当二者平行时力，B、C,。四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线，

则“丽〃丽”无法推出“力，B,C,。四点共线”；

当,4,B,C,。四点共线时，直线48与CO的位受关系为重合，此时，AB//CD.

则”，B,C,。四点共线''可以推出“池〃丽”，

因此“福〃丽”是％,B,C,。四点共线”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

【例5】设向量不平行，向量2。+力与。+2力平行，则实教4=_.

【答案】』

2

4=〃A.=

［解析】因向量2〃+力与Q+2b平行，所以而+B+2^）=pa+2/jb所以《,解得＜

1=2〃

N=

【例6】已知产是△力4c所在平面内的一点，若丽-方=2两.其中加R,则点尸一定在（）

A.1C边所在的直线上B.6。边所在的直线上

C.48边所在的直线上D.AJ8C的内部

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.

【详解】.F-丽=4方，PB=PC+CB

.-.C®-(PC+Cg)=APA,则一定=2"，则丽=4丽

-CP//PA

••/点在AC边所在直线上.

故选：A.

【例7】在aABC中，AD为BC边上的中线,E为AO的中点，则£§=

3——1一1一3一

A.—AB—ACB.-AB--AC

4444

3一1一1一3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

［解析］根据向量的运算法则，可得

一1一1一1一1一1一1/一一、1一1一1一3一1一

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-\BA+AC]=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC.

222424V724444

一3一1一

所以EB=-AB一一AC,故选A.

44

【例8】在△ABC中，A。为8C边上的中线，E为4。的中点，且丽=2通+4/，则4=

【答案】士3--I

44

［解析］如下图所示:

•-0为8c的中点，则"二就+而=与+；就=瓦+；（前一;^）二；（柏+而，

•・・E为AD的中点，所以，霹=；而二;（而+正），

....11.*\3.1.31

因此，EB=AB-AE=AB一一（AB+AC]=-AB一一AC,即4=一，LL=----.

4'f4444

【例9】在△A3C中，AC=4^5，P为BD上一点、,若斗户二兴分+而右，则实数2的值：）

1313

A・-B.—C.—D.一

81668

【答案】C

【解析】••/=4茄，..而='恁，则丽=也一通="!"/一招，

44

由于P为8。上一点，则旃〃丽，设丽=k诙，

-=/l

41

所以《,解得a二」

,26

k=一

3

【例10】在A4BC中，点P满足而=3斤，过点尸的直线与AB、AC所在的直线分别交于点用、

N,若询'=%而，4N=〃AC（/l>0,">。），则4+〃的最小值为（）

B.

A.叵+1B.叵+15

c.2D.

2222

【答案】B

［蟀析］如下图所示：

-~BP=3PC即Q-而=3（正-而）'

,\AP=-AB+-AC

44

...戒二几叔而〜砌人0,〃>0），,而」前‘女」丽'

A〃

]3

__1____&____»MsP、N三点共线，则言+^—=1

:.AP=—AM+—AN424〃

4A4〃

厂+4四+幺

2+4=（义+〃）

4//）4〃42

当且仅当〃=百丸时，等号成立，因此，X+〃的最小值为43“，故选：B.

2

_..1_.s

【例11］已知“为AABC的边A6的中点，N为AABC内一热，且前二而+—属，则产曳=

3'△8CN

A.11C.12

B.-D.

6323

【答案】B

【解析】因为丽=丽+，肥，所以丽=•!•肥,

33

所以MNIIBC,又因为加为边AB的中点，

所以点A到MN的距离等于点N到BC的距离，

1.已知质=3（1+0,而二不一冢,前二2冢+£,则下列结论中成立的是（）

A.力，8,C三点共线B.力，8,。三点共线

C.力，。，。三点共线D.D,B,。三点共线

【答案】C

（分析］根据平面向量的线性运算可得而=2而，从而可求解.

［详解］解：*=而一四=3何+耳）_（晟_可=4冢+24=2囱，

所以力，O,C三点共线.

故选:C.

2.已知向量2，B是两个不共线的向量，且C4=3£+5B，0B=4a+lb>OC=a+mb^若A,3,

C三点共线，则〃?=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】法一：丽=彩+丽=-3［—51+4£+73=3+2=

获二厢+加=-4［-7各+"+〃73=一3工+（加一7加，因A,8,。三点共线，所以布与前共线,

21=-32叫2=--

所以4+2石二义，34+（〃7—7»]=—34々+/1（加一7»，所以3

ni=1

法二：由ARC三点共线,

4—x=1,

得0C=xOA+(1-x)OB=(4-x)a+(7-2x)b,故《解得m=1.

7-2x=/几

3.设豕，段是两个不共线的向量，若向量/=（让R）与向量”二目一2冢共线，则

A.k=()C.k=2D.k=-

2

【答案】D

[解析】因为向量，7?=-q+攵,（kwR）与向量〃=4一2q共线,

所以存在实数4,使得m=义〃，

所以有一6+A.=〃/一2,），因此,解得R=

2

4.在△ABC中，。是A8边上的中点，则围=（)

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

［解析］：CB=CD+DB=CD^AD=CD+AC-vCD=2CD+AC=2CD-CA

5.在△44C中，点P为AC中点，点。在BC上，且丽=3比，则而=（）

A.-AB+-ACB.——AB——AC

4444

1一1一1一1一

C.-AB——ACD.——AB+-AC

4444

【答案】B

【解析】••点尸为AC中点，.•可=；恁,)=3觉，••丽一丽二3(/一无万)，

.•.而=」而+3/,.,•丽=万一而二,/一」而一3/=一，43—」/1仁,故选：B.

4424444

6.设D,E,P分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则丽十卮=()

1I

A.A万B.—ADC.—BCD.BC

22

［答案］A

【解析】EB+TC=--(BA+^)--(CA+CB)=-(AB+AC)=AD,故选：A

222

BDC

7.设D为4ABC所在平面内的一点，若丽=3而,CD=ACA+;/CB，则y=.

zt

【答案】-3

【解析】如图所示：

CD=G4+AD=CA+3BD>=C4+3(CD-CB)»即有无=-5^+5。方，

।3

因为E=；lCX+〃国，所以4=-一，〃=±,则5=-3,故答案为：-3.

2271

8.如图，在△A8C中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,

若前二加磁，AC=nAN，则〃7+〃二()

B

0C

鼠

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【解析】连接力。，由。为8c中点可得，7^=-(AB+AC)=—AM-i--AN,

222

，：M、。、N三点共线，=1,〃?+〃=2.故选：C.

22

9.在AABC中，48=2,BC=4ZABC=60°,40为边上的高，。为4。的中点，若

A0=^AB+pBC,则4+〃=()

5

D.

8

【答案】D

［解析］

•/AD是BC边上的高，，ZADB=90°,

在AAOB中，cosZ.ABD=,解得80=1,BC=4,BD=-BC

AB224t

，通=