1.一次分式函数、对勾函数与飘带函数

1/11.一次分式函数、对勾函数与飘带函数高考对于函数的考查灵活多变，但统计分析不难发现，命题人似乎对教材中的某些函数模型“情有独钟”，不仅频繁考查，而且常考常新，本专题就此进行简单梳理.一次分式函数对勾函数飘带函数解析式y＝cx＋dax＋b（a≠0y＝ax＋bx（a＞0，b＞0y＝ax－bx（a＞0，b＞0图象性质定义域{x｜x≠－ba{x｜x≠0}{x｜x≠0}值域{y｜y≠ca（－∞，－2ab]∪[2ab，＋∞）R对称中心（－ba，c（0，0）（0，0）单调性当ad＞bc时，函数在区间（－∞，－ba）和（－ba，＋∞）当ad＜bc时，函数在区间（－∞，－ba）和（－ba，＋∞在（－∞，－ba）和（ba，＋∞）上单调递增；在（－ba，0）和（0，在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增渐近线方程x＝－ba和y＝x＝0和y＝axx＝0和y＝ax一次分式函数（1）函数y＝1－1x－1的图象是（（2）〔多选〕对于函数f（x）＝x1+｜x｜（x∈R），A.f（－x＋1）＋f（x－1）＝0B.当m∈（0，1）时，方程f（x）＝m有唯一实数解C.函数f（x）的值域为（－∞，＋∞）D.∀x1≠x2，f（x答案：（1）B（2）ABD解析：（1）易知函数的对称中心为点（1，1），且当x＞1时，函数单调递增，故选B.（2）因为f（－x）＋f（x）＝－x1+｜－x｜＋x1+｜x｜＝0，故f（x）为奇函数，令t＝x－1，即f（－t）＋f（t）＝0，故A正确；当x＞0时，f（x）＝x1+x＝1－11+x，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝0，f（x）＝x1+x＜1，且f（x）是奇函数，所以f（x）的值域为（－1，1），所以f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞），故当m∈（0，1）时，方程f（x）＝m有唯一实数解，故B正确，C错误对勾函数与飘带函数〔多选〕已知函数f（x）＝x－ax（a≠0），下列说法中正确的有（）A.当a＞0时，f（x）在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）C.当a＝－4时，f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）D.当a＞0时，f（x）的值域为R解析：BCDf（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.当a＞0时，f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→0＋时，f（x）→－∞，故f（x）的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f（x）＝x＋4x为对勾函数，其单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞），故B正确；当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4（当且仅当x＝2时取等号），当x＜0时，x＋4x＝－［（－x）＋（－4x）］≤－2（－x）·（-4x）＝－4（当且仅当x＝－2时取等号），故f（x）的值域为（－∞，－41.函数f（x）＝｜x｜－mx（m∈R）的图象不可能是（解析：C当m＝0时，f（x）＝｜x｜（x≠0），A有可能；当m＝1时，f（x）＝x－1x，x>0，－x－1x，x<0，易得f（x）在（0，＋∞）上单调递增，根据对勾函数图象易得在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，0）上单调递增，D有可能；当m＝－1时，f（x）＝x＋1x，x>0，－x＋1x，x<0，2.〔多选〕已知函数f（x）＝｜x＋ax｜（a∈R），方程f（x）＝4在[0，＋∞）上有两个解x1，x2，记g（a）＝｜x1－x2｜，则下列结论正确的是（A.函数f（x）的值域是[0，＋∞）B.若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为[－1，0）和[1，＋∞）C.若a＝4，则g（a）＝4D.函数g（a）的最大值为4解析：BC当a＝1时，f（x）＝｜x＋1x｜，f（－x）＝｜－x－1x｜＝｜x＋1x｜＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x＋1x，则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，由偶函数性质知f（x）min＝1＋11＝2，故A错误；当a＝－1时，f（－x）＝｜－x＋1x｜＝｜x－1x｜＝f（x），则f（x）为偶函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝－x＋1x，易知f（x）在（0，1）上单调递减，当x∈[1，＋∞）时，f（x）＝x－1x，易知f（x）在（1，＋∞）上单调递增，由偶函数对称性知，f（x）的单调递增区间为[－1，0），[1，＋∞），故B正确；当a＝4时，f（x）＝｜x＋4x｜，令f（x）＝4，则x1＝－2，x2＝2，此时g（a）＝4，故C正确；当a＝0时，f（x）＝｜x｜，令f（x）＝4，则x＝±4，g（a）＝8，此时与函数g（3.已知函数f（x）＝ax+2－ax+1，（1）若函数f（x）的图象关于点P（－1，3）中心对称，求a的值；（2）若函数f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围.解：（1）因为f（x）＝ax+2－ax+1＝a所以f（x）图象的对称中心为