4.几何图形与数列

1/1微专题几何图形与数列几何图形与数列教材母题：〔人A选二P38例10〕如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝12ak因此，{an}是以25为首项，12为公比的等比数列设{an}的前n项和为Sn.（1）S10＝25×［1－（12）10］1－12所以，前10个正方形的面积之和为25575512（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋….而Sn＝25×［1－（12）n］1随着n的无限增大，（12）n将趋近于0，Sn将趋近于50所以，这些正方形的面积之和将趋近于50cm2.细研教材：该问题是几何图形与数列交汇的代表，几何图形与数列的关系十分密切，可以通过数列相关知识求解几何问题，反过来数列问题有时也可用几何问题去解决.〔一题多解〕试探究13＋23＋…＋n3＝［n（n+1）解：法一本题中令an＝n3，Sn＝［n（n+1）2］2，将证明原式转化为证明Sn－Sn－1＝［n（n+1）2］2－［这个等式显然成立，证明过程如下：［n（n+1）2］2－［（n－1）n2］2＝14n2[（n＋1）2－（n－1）2所以原式左边＝1＋［（2×32）2－（1×22）2］＋［（3×42）2－（2×32）2］＋…＋{［n（法二13＋23＋33＋…＋n3＝［n（n+1其中13可表示为1个边长为1的正方形的面积，23可表示为8个边长为1的正方形的面积，33可表示为27个边长为1的正方形的面积，…，将所有正方形摆放在一起，如图，则所有正方形的面积为13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2＝［n（n+11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图1）的边长为1，把图1、图2、图3、图4中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4＝（）A.1289B.649 C.6427解析：B观察题图发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形的周长的基础上多了前一个图形周长的13，即Cn＝Cn－1＋13Cn－1＝43Cn－1（n∈N*，n≥2），所以{Cn}为首项为C1＝3，公比为43的等比数列，所以C4＝3×（43）3＝2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为（A.18 B.C.132 D.解析：C由题意，得正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为（22）103.（2026·陕西商洛模拟）第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干个三角形组成的，如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）A.32［（233）11－1］ B.32［（43C.32［（233）12－1］ D.32［（43解析：D因为360°30°＝12，设第n（n∈N*，1≤n≤12）个三角形的斜边长为an，面积为bn，由题意可知：a1＝1cos30°＝233，an＋1＝ancos30°＝233an，bn＝12×12an×32an＝38an2，又b1＝36≠0，bn+1bn＝38an+1238a4.一个弹性小球从10m处自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又弹回到上一次高度的45处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程约为（A.50 B.80C.90 D.100解析：C由题意知小球第n次反弹至落地经过的路程为2×10×45n，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10×45＋2×10×（45）2＋2×10×（45）3＋…＋2×10×（45）n－10＝20［1－（45）n+1］1－45－10＝100［1－（45）n＋1］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n5.试探究12＋22＋32＋…＋n2＝n（解：将12＋22＋32＋…＋n2放在一个正三角形中，如图，将第一个三角形顺时针旋转两次，得到图中第二、第三个三角形.通过观察可以发