10.概率中的数列特征-马尔科夫链

1/1微专题概率中的数列特征——马尔科夫链概率中的数列特征——马尔科夫链是一种具有“无后效性”的随机过程，即未来状态的概率仅依赖于当前状态，与“更早期的历史状态”无关.这一特性使其在模拟随机演化系统（如天气变化、股票波动、自然语言生成等）中具有广泛应用，其关键性质为：若P（Xn＋1＝j｜Xn＝i，Xn－1＝in－1，…，X0＝i0）＝P（Xn＋1＝j｜Xn＝i）＝Pij，即未来状态Xn＋1只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn－1，Xn－2，…，X0无关.连续两项递推特征有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球、1个黑球，其余盒子中均为1个白球、1个黑球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是59，从第n个盒子中取到白球的概率是12×（13）n＋1解析：第1个盒子中取出白球的概率为P1＝23，取出黑球的概率为1－P1＝13，当第1个盒子中取出白球，第2个盒子中取出白球的概率为P21＝23×23＝49，当第1个盒子中取出黑球，第2个盒子中取出白球的概率为P22＝13×13＝19，故P2＝P21＋P22＝59；设第n－1个盒子中取得白球的概率为Pn－1，则取得黑球的概率为1－Pn－1，故Pn＝23Pn－1＋13（1－Pn－1）＝13Pn－1＋13，即Pn－12＝13（Pn－1－12），又P1－12＝16，故{Pn－12}是首项为16，公比为13的等比数列，所以Pn－12连续两项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0，p≠1），通常转化为{an＋1－an}或{an＋qp－1连续三项递推特征（2025·山东临沂三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有n步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的.记每次上一步台阶的概率为p（0＜p＜1），上两步台阶的概率为1－p，且每次上一步台阶用时0.2s，上两步台阶用时0.3s.（1）假设n＝4，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒？解：“机器狼”上完4步台阶的走法有：当4＝2＋2时，用时0.3＋0.3＝0.6（s）；当4＝1＋1＋2时，用时0.2＋0.2＋0.3＝0.7（s）；当4＝1＋1＋1＋1时，用时0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8（s）；所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为0.6秒.（2）若p＝34，记“机器狼”从地面上到第n步台阶的概率为Pn，其中n∈N*，证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列，并求Pn解：“机器狼”从地面上到第n步台阶，它是由第n－2步台阶上两步到达第n步台阶，或由第n－1步台阶上一步到达第n步台阶.所以Pn＝34Pn－1＋（1－34）Pn－2（n≥2，n∈N所以Pn－Pn－1＝－14（Pn－1－Pn－2则Pn＋2－Pn＋1＝－14（Pn＋1－Pn）（n∈N*又P1＝34，P2＝（1－34）＋34×3所以P2－P1＝116所以{Pn＋1－Pn}是以116为首项，－14所以Pn＋1－Pn＝116×（－14）n－1＝（－14）n所以Pn＝（Pn－Pn－1）＋（Pn－1－Pn－2）＋…＋（P2－P1）＋P1＝（－14）n＋（－14）n－1＋…＋（－14）2＋34＝（－14）2［1－（－14）n－1］1+14＋34连续三项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0），通常变形构造等比数列求解.（2026·广东广州模拟）n（n∈N*，n≥3）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的n－1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k（k∈N*）次传球后，球在甲手中的概率记为An（k），球在乙手中的概率记为Bn（k）.（1）求A5（2），B5（2），A5（3），B5（3）；解：∴A5（2）＝14，B5（2）＝0，A5（3）＝34×14＝316，B5（3）＝14＋3（2）求An（k）；解：由题意，设第k－1次传球球在甲手中的概率记为An（k－1），则球不在甲手中的概率为1－An（k－1），要求第k次传球球在甲手中的概率，则第k－1次传球球一定不在甲手中，故An（k）＝1n－1[1－An（k－1）]，k≥2，An（1∴An（k）－1n＝－1n－1［An（k－1）－1n］，而An（1）－1∴{An（k）－1n}是以－1n为首项，－1∴An（k）－1n＝－1n（－1n－1∴An（k）＝1n［1－（－1n－1）k（3）比较Bn（k＋1）与n－2n－1An（k解：由题意知，第k＋1次球到乙手中分两种情况，一是第k次球在甲手中，甲传给乙；二是第k次球不在甲、乙手中，概率为[1－An（k）－Bn（k）]，此时传给乙的