第1节　导数的概念、运算及几何意义

1/1第1节导数的概念、运算及几何意义1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数.知识梳理1.导数的概念（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx叫做函数y＝f（x（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝limΔ提醒：f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.2.导数的几何意义函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的斜率，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝limΔx→0f（3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f（x）＝c（c为常数）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝cosx基本初等函数导数f（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝exf'（x）＝exf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝axlnaf（x）＝lnxf'（x）＝1xf（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1x4.导数的运算法则（1）[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）；（2）[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；（3）［f（x）g（x）］'＝f'(（4）[cf（x）]'＝cf'（x）.5.复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x.1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.2.函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（×）（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（×）（3）函数y＝sinπ4的导数为y'＝cosπ4.（×（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（√）（5）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（×）2.下列函数的求导正确的是（）A.（x－2）'＝－2xB.（xcosx）'＝cosx－xsinxC.（ln10）'＝110D.（e2x）'＝2ex解析：B（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（xcosx）'＝cosx－xsinx，∴B正确；（ln10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B.3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（）解析：B由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.4.已知函数f（x）满足f（x）＝f'（π4）cosx－sinx，则f'（π4）＝1－2解析：f'（x）＝－f'（π4）sinx－cosx，令x＝π4，得f'（π4）＝－22f'（π4）－22，解得f'（π5.（2026·浙江杭州模拟）曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是xln3－y＋1＝0.解析：由题设y'＝3xln3，则切线斜率k＝ln3，所以曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是y－1＝ln3·（x－0），即xln3－y＋1＝0.导数的基本概念（基础自学过关）1.设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（）A.limB.limC.limD.lim解析：B对于A，limΔx→0f（x0）－f（x0＋Δx）Δx＝－limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝－f'（x0），A错误；对于B，limΔx→0f（2.函数f（x）的图象如图所示，f'（x）为函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（）A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）B.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）C.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）解析：B过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率，即f'（2）＞f（3）－f（2）3－2＞f'（3）＞0，所以0＜f'（3）＜f（3）－3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.则第2h～4h中，原油温度的平均变化率为－1℃/h，第6h时原油温度的瞬时变化率为5℃/h，在第6h附近原油的温度在上升（填“上升”或“下降”）.解析：第2h～4h中，原油温度的平均变化率为f（4）－f（2）4－2＝－1（℃/h）.第6h时原油温度的瞬时变化率为f'（6），由导数的定义，ΔyΔx＝f（6+Δx）－f（6）Δx＝（6+Δx）2－7（6+Δx4.（2025·贵州六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，则m＝2解析：因为V＝4π3R3，体积的增加量ΔV＝4π3m3－4π3＝4π3（m3－1），所以ΔVΔR＝4π3（m3－1）m－1＝28求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤（1）求平均变化率ΔyΔx（2）求瞬时变化率，即取极限limΔx→0Δy导数的运算（基础自学过关）1.〔多选〕下列求导正确的是（）A.（e－2x＋1）'＝e－2x＋1B.（x3lnx）'＝3x2lnx＋x2C.（2sinxx2）D.[（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2解析：BD对于A，（e－2x＋1）'＝－2e－2x＋1，故A错误；对于B，（x3lnx）'＝（x3）'lnx＋x3（lnx）'＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于C，（2sinxx2）'＝（2sinx)'x2－2sinx（x2)'x4＝2xcosx－4sinxx3，故C错误；对于D，[（3x＋5）3]'＝3（3x2.已知函数f（x）＝2f'（3）x－29x2＋lnx（f'（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（A.－209 B.－C.79 D.解析：D由题意得f'（x）＝2f'（3）－49x＋1x，∴f'（3）＝2f'（3）－43＋13，得f'（3）＝1，∴f（x）＝2x－29x2＋lnx，∴f（1）＝2－293.设函数f（x）＝ln（2x）＋ax，若f'（12）＝0解析：由f（x）＝ln（2x）＋ax，得f'（x）＝22x·x－[ln（2x）4.已知f（x）＝x（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋2026，则f'（0）＝24.解析：令g（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4），则f（x）＝xg（x）＋2026，所以f'（x）＝g（x）＋xg'（x），所以f'（0）＝g（0）＝1×2×3×4＝24.函数求导应遵循的原则（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混；（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.提醒：当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.导数的几何意义及应用（定向精析突破）考向1求切线方程（1）（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝ex+2sinx1+x2，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为A.16B.13 C.12解析：f'（x）＝（ex+2cosx)(1+x2）－（ex+2sinx）·2x（1+x2）2，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，（2）〔多选〕（2026·陕西商洛模拟）过点（1，0）向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是（AC）A.2x－y－2＝0 B.3x－y－3＝0C.x＋4y－1＝0 D.2x＋y－2＝0解析：令f（x）＝x3－x，则f'（x）＝3x2－1.设切点坐标为（x0，x03－x0），则切线方程为y－（x03－x0）＝（3x02－1）（x－x0），将（1，0）代入，整理得2x03－3x02＋1＝2x03－2x02－x02＋1＝0，即（x0－1）2（2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－12.当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0；当x0＝－11.求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.2.求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程（1）设切点坐标P'（x1，f（x1））；（2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；（3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程.提醒：注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定为切点.考向2求切点坐标在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）.解析：设A（m，n），则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝1m（m＋e）.再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，求切点坐标的一般步骤考向3求参数的值（范围）（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝4.解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0，ex0＋x0＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'｜x＝x0＝ex0＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x＋5上，所以1＋a利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.提醒：（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.训练（1）设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝1ex上，则｜PQ｜的最小值为（BA.1e2+1 C.ee2+1 解析：令y'＝ex＝1e，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得y＝e－1＝1e，所以｜PQ｜的最小值即为点（－1，1e）到直线y＝1ex的距离（2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'｜x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化简，得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋（时间：60分钟，满分：94分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.下列求导运算正确的是（）A.（x－1x）'＝1－B.[log5（2x＋1）]'＝1C.（5x）'＝5xlog5xD.（x2cosx）'＝2xcosx－x2sinx解析：D对于A，x－1x'＝1＋1x2，对于B，[log5（2x＋1）]'＝2（2x+1）ln5，对于C，（5x）'＝5xln5.2.（2025·海南海口二模）函数f（x）＝f'（1）x2＋ln（2x－1）x2A.－2 B.－1C.0 D.1解析：Af'（x）＝2f'（1）x＋2x22x－1－2xln（2x－1）x4＝2f'（1）x＋2x2x－1－2ln（2x3.已知函数f（x）＝3x＋1，则limΔx→A.－13 B.C.23 D.解析：A由f（x）＝3x＋1，得f'（x）＝13x－23，所以limΔx→0f（14.（2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1C.y＝2x D.y＝3x解析：B由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1.故选B.5.（2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（）A.－3 B.3C.－3或1 D.3或1解析：C设切点为（x0，（1－x0）ex0），由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－（1－x0）ex0＝－x0ex0（x－x0），直线过点A（a，0），则－（1－x0）ex0＝－x0ex0（a－x0），化简得x02－（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝（a＋1）2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即（a＋3）（a－6.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（0，π2）上是凸函数的是（A.f（x）＝sinx＋cosx B.f（x）＝lnx－2xC.f（x）＝－x3＋2x－1 D.f（x）＝－xe－x解析：ABC对于A选项，f（x）＝sinx＋cosx，则f″（x）＝－sinx－cosx，当x∈（0，π2）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B选项，f（x）＝lnx－2x，则f″（x）＝－1x2，当x∈（0，π2）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C选项，f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x＜0在x∈（0，π2）上恒成立，是凸函数；对于D选项，f（x）＝－xe－x，则f″（x）＝2e－x－xe－x＝（2－x）e－x，则f″（x）＞0在x∈（0，π2）上恒成立，故不是凸函数.故选7.已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则g'（3）＝0.解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f'（3）＝－13.∵g（x）＝xf（x），∴g'（x）＝f（x）＋xf'（x），∴g'（3）＝f（3）＋3f'（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g'（3）＝1＋3×（－13）8.曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为y＝1ex，y＝－1ex解析：先求当x＞0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－1ex9.（13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）.（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.（1）由题意得f解得b＝0，a＝－3或1.（2）因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－12.所以a的取值范围为（－∞，－12）∪（－1210.过原点且与曲线y＝xsinx相切的直线有（）A.1条 B.2条C.3条 D.4条解析：C令f（x）＝xsinx，则f'（x）＝sinx＋xcosx.设切点坐标为（x0，x0sinx0），当x0＝0时，切线的斜率为f'（0）＝0，切线方程为y＝0；当x0≠0时，因为切线过原点，所以x0sinx0x0＝sinx0＋x0cosx0，所以x0cosx0＝0，所以x0＝0（舍去）或cosx0＝0，所以sinx0＝±1，即切线的斜率为±1，则切线方程为y＝±x11.若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距离｜AB｜的最小值为（）A.12 B.C.1 D.2解析：B点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，eb）在曲线y＝ex上，即求｜AB｜的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点的距离的最小值，过y＝ex上的点（m，em）作y＝ex的切线，可得切线方程为y－em＝em（x－m），令em＝1，可得m＝0，故该切线方程为y＝x＋1，则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为｜AB｜的最小值，此时｜AB｜＝11+1＝22，即｜AB｜min＝12.（2026·山东济宁模拟）曲线y＝ax（a＞0）与y＝lnx和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝lnx在点A处的切线斜率为k1，y＝ex在点B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝52，则a＝（A.2ln2 B.2ln3C.3ln2 D.3ln3解析：A因为y＝lnx和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝ax（a＞0）的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称，设A（x0，lnx0），x0＞1，则B（lnx0，x0），设f（x）＝lnx，g（x）＝ex，则f'（x）＝1x，g'（x）＝ex，由题意可得：k1＋k2＝1x0＋elnx0＝1x0＋x0＝52，解得x0＝2或x0＝12（舍去），可得A（2，ln2），则a2＝ln13.（2025·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f（x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f（x＋1012）－f（1013－x）＝4x＋1，则∑i=12024f'（i）＝解析：对f（x＋1012）－f（1013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1012）＋f'（1013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2025－x）＝4，则f'（1）＋f'（20