2025版高考数学一轮总复习知识第九章概率与统计92成对数据的统计分析

9.2成对数据的统计分析

课程标准有的放矢

1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关

系.

2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.

3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘

原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.

4.针对实际问题，会用一元线性同归模型进行预测.

5.通过实例，理解.2X2列联表的统计意义.

6.通过实例，了解2x2列联表独立性检验及其应用.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.成对数据的统计相关性

（1）变量的相关关系.

①相美美系：两个变量有美系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个

的程度，这种关系称为相关关系.

②散点图：将样本中曾个数据点=L2,…刀鼐在平面直角坐标系中

得到的统计图叫做敬乱图.

③正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也

呈现增加的趋势.我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相

应值呈现逊的趋势，则称这两个变量负相关.

④线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在•条

直线附近,我们称这两个变量线性相关.如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么

我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

（2）样本相关系数.

①样本相关系数了的计算公式.

力（孙・力（几・力

、先出-露心c

我们称r为变量X和变量y的样本相关系数.

②r与标准化数据向量夹角的关系

人X=（A，yl…，儿）

令，，

”,.=七！4H-

其中‘〃，叼、则/I=iyi=而

r=-X'-y"=-|Xr||yr|cos0=cos0

则nR故re［一1川

③样本相关系数r的性质：当，＞°时,称成对样本数据正相关；当

匚〈乂一时.称成对样本数据负相关.当In越接近于1时，成对样本数据的线性

相关程度越强;当I"越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度蝇.当r=0

时，只表明成对样本数据诃没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.

2.一元线性回归模型及其应用

(1)一元线性回归模型.

|r=bx+a+e,

2

U(e)=OrD(e)=a.

我们称上式为丫关于刀的一元线性回归模型.其中，y称为因变量或响应变

量，X称为自变量或解释变量;a和6为模型的未知参数，a称为截距参数,

b称为斜率参数;。是丫与b%+a之间的随机误差.加果皂=色

那么丫与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.

(2)一元线性回归模型参数的最小二乘估计.

设满足•元线性回归模型的两个变量的仪对样本数据为

(心，1),(七,乃)，…，(耳,右),当a如勺取值为

2

Q=-bxt-a)

达到最小.

我们把q=+6称为y关于加勺经验回归方程，也称经验回归函数或经

验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得

的口叫做。的最小二乘估计.

btt

(3)回归分析.

①残差：对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得

到的反称为预测值，观测值减去预测值称为残差.

②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,

说明选川的模型比较合适，带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高；二是残差平方和

%-亦

法，-称为残差平方和,残差平方和越小,模型的拟合效果越好；三是用决

R2=1----!---------

定系数R比较，-,R越大，模型的拟合效果越妊，%

越小，模型的拟合效果越差.

3.列联表与独立性检验

（1）分类变量与列联表.

①分类变量：为了表述的方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的

现象或性质，这类随机变量称为分类变量.

（2）2X2列联表：一般地，假设两个分类变量X和y,它们的取值为

[0,1],其样本频数歹J联表（也称为2X2列联表）为

合计

合计

a+b十

(3)独立性检验.

①X’计算公式.

«w(ad-Be)1

Y*=-----------------------------

人S-bM-dX-)(51)

9

其中n=a+b+c+d.

②临界值的定义.对于任何小概率值a，可以找到相应的正实数Xa,使得

P（X2Nxj=a成立，我们称尤为。的临界值，概率值a越小，临界

值一%越大.

P(Y=i|x=o)=p(y=i\x=i)

③独立性检验.，通常称为零假设或原

假设.基于小概率值o的检验规则是:

当X2时，我们就推断“0不成立，即认为X和y不独立，该推

断犯错误的概率不超过a；

当X2<八时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为X和y独

立.

这种利用X2的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为

性检验,读作“卡方独立生检验”，简称独立性检验.

④临界值表.

0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.

（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.（J）

（2）经验回归直线一定过成对样本数据的中心点，且中心相同的样本点的经验回归方程一

定相同.（X）

（3）两个变量的样本相关系数越小,它们的相关性越弱.（X）

（4）X2独立性检验适用于普查数据.（X）

（5）在一元线性回归模型中，决定系数R?越接近1,表示回归的效果越好.（J）

2.为研究混凝土的抗震强度，与抗压强度X的关系，某研究部门得到下表的样本数据:

140150170180195

2324262828

若》与之线性相关，且线性回归方程为9=0・ix+6,则G=<1A)

A.9.1B.8.9C.-9.1D.,-8.S

―14Q+1SHV+180-195.26+28-28*.

x=---------------------=16,y=--------------------=25.C

解：由题意，得55，所以

25.8=0.1X167+2,解得百=9.1故选A

3.（教材题改编）在利用x2独立性检验来判断两个分类变量x与丫之间是否有关系时，下列

说法正确的是（B）

A.x?越大，“x与丫有关系”的可信程度越小

B