2024年上海高三数学竞赛试题及答案

2024年上海市高三数学竞赛试题

2024年3月24日上午9:30-11:30

一、填空题（第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分）

1.若正实数a,b满足ab=2a+b,则a+2b的最小值是.

i2

2.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为亍乙胜的概率为3,规定谁先胜3

局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.（用最简分数表示答案）

3.计算

—

（C%24—C：O24+C%24—C®024+'+C瑞+（Cjo24^2024+^2024~Go24+…+C。第=

4.已知才,%,-C是同一平面上的3个向量，满足同=3,1由=2於，才•了=-6,且向量力-寸与

Z-E的夹角为p则C|的最大值为.

5.若关于z的方程z"+i-V2zn-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为

6.一个顶点为P、底面中心为。的圆锥体积为1,若正四棱锥。-48。。内接于该圆锥，平面

48C。与该圆锥底面平行，4,8,C,O这4个点都在圆锥的侧面上,则正四棱锥。-4BCO的体积

的最大值是.

7.已知函数/Q）=a，+ln；r有两个零点，则实数a的取值范围是.

8.若3个整数a,b,c满足<?+庐++3<曲+3b+3c,则这样的有序整数组（a,b,c）共有

组.

二、解答题（每小题15分，共60分）

9.在平面直角坐标系zOy中，已知椭圆r：J+/=l,4、8是椭圆的左、右顶点.点。是椭圆

r内（包括边界）的一个动点，若动点尸使得而-m=o.求|。尸|的最大值.

炉”2

10.求所有正整数n（n>3）,满足正n边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆7+%=1

（a>6>0）.

11.数列｛6｝满足：a1=a2=l>a„+2=an+i+an（n=1,2,…）,M是大于1的正整数,试证明:

在数列♦一中存在相邻的两项，它们除以时余数相同.

12.将正整数，100填入10x10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10

个数依次递减，记第I行的10个数之和为&（E=1,2,…，10）.设ne｛1,2,…，10｝满足：存在一种

填法，使得&,&,•••,瓦（）均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.

2024年上海市高三数学竞赛试题解析

一、填空题

1.【解析】

解:婪理得，+之=1,因此。+26=（。+26）（，+2）=5+2（巴+2）29,等号成立当且仅当

ababba

。=6=3时取得，则最小值是9.

2•【解析】

33=

解：甲以3:0获胜的概率是PQ=（"）=;以3:1获胜的概率是Pi=Cj,（-）,Y

以3:2筏肚的概率是0=C＞（；）'G）'=

练上所述，甲鼓肚的概率是p=Po+巧+02=[

3.【解析】

髀:由二项式定理可知

(a+M=G1MbM+c；3皿+“cWf+C=产

3024

aM

令。=/"=1可得(1+。2=ZG0M(/):隹改用

A-0

)101?.(^\iz^2厂JJ.「，2(04

/一,2(04十I2(043024'十…I3024

才仁上述式子的实部和虚部可得

/1'•1.^^2(04—)1012「I.z-^2(CJ一(]

(2024(2024十^^24°3024十・•，十«2DU一/,「2024一(2024十…十工2024-v

因此原矢=2.'

4•【解析】

解：记。=OA,b=OB、c=OC.Ma・b=3*2v2-cosZ-4OB=-6，髀得Z.AOB=1开ttk

合ZACB=.可如O,A,ByC四点共圆,叫cJ=2/?.

4

由于48=J32+(2&V-232jL(-4)=病圈此

|cI=2R=———=A/58

Msin乙108

5.【解析】

解:将式子变彩为=因此l=|z「|z-&Hz-五|.

设z=cose+isin。，则1=（cos9-V?y+sin；J=3-2、5cos。，解浮cos。二字,因此取”争今•，此时

二七-亚）=（迈。2-（立）2=-1/2=々1+。2=1,因此导知/=-1,/（"收）=|,即％,",=5.反之取;:=①-立1时亦有

22222

6.【解析】

解:考察轴发而，设网推的底面半径为R,高为力；正四极维的底而对角级长4C=2乙高为/.则一方面/=；•成二/=1,挂理得

成％=3.另一方面，曲丽似性质可知厘_2,因此

rR

22J18

V„4W„---(2r)-/--r7---r-(2R-2r)<—•(—)-—Zi/?

""3233R3R38127乃

7.【解析】

解:f\x）=2心+」.当。20时恒有/'（©>0,即/（X）单洱造瑞，，匕时不可能有两个不同的零点，与邂议条件才•盾!因此a<0.此若

X

/'（X）-弛，1，则/（X）在（0,J-」-）上单谓递增，在（J-」-,+«）上单调递减.且当Xf0,AT+00时用有/（A）TY0成立，因

x\2aV2a

此只需J"（—L）>o即可,事实上/（j---）———+In.1————•-+—ln（—L）>0,2■理得ln（—L）>],因此。金（——.0）.

V2aV2a2V2a222。la2e

8.【解析】

解俄方可得（a-上/>/+三S-2尸+d-3c<0,因此<?-3c<0,故c=1或c=2.

24

I33

当c=l或c=2时，均有（a--力2+-S-2><2商此一（/>一2）2<2供合方是拄散可得/>£{123}

244

当b=I时有a—a—1<0,解得a=0或.。=1;

当力=2时有。2—2。一1<0,解杼。=0或a=l或a=2;

当〃=3时有—3a+l<0，解得a=I或,a=2.

琮上共有14组不同的解.

二、解答题(本大题满分60分，每小题15分)

2

9.在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆「：y+/=l,48是椭圆厂的左、

右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得方•阮=0,

求|OP|的最大值.

解：设动点C(x°,%),P(x,y).因为丽•定=0,所以PBLPC.设8c的

中点为“.

因为点3(2,0),C(X0，K),所以点川岩吟)，于是

2

\BC\=7(X0-2)+^,

"=2\OM\=24空］+@=J(x°+2y+4.

所以\OP\<\OM\+\MP\=\OM\+^\BC\

=!(|^C|+|fiC|).--------5分

记g(|/C|+忸C|)=a,则当x。=0,%)=1时，a=y/5.--------7分

22

若a＞石，因为“q+|8C|=2a表示点C在椭圆宗+十w=l上.

则

这与点C(x。,比)在椭圆「内矛盾！

故a4石，即|0P|4逐，当点C为C(O,1)时等号成立.

综上所述，|。尸|的最大值为右.------15分

10.在平面直角坐标系X。中，求所有的正整数〃(〃23),使得正〃边形能内

接于椭圆二+4=l(a>6>0)(即正〃边形的所有顶点都在椭圆上).

ab*

解：当〃=3,4时，正三角形、正方形能内接于椭圆.

如图，由椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在.

当〃25时，不存在椭圆的内接正”边形.

设椭圆的方程为

,+.=1->6>0)，①

正〃边形(〃25)的外接圆方程为

(x-c)*=r2(r>0).②

若d=0,由①，②消去y可得

(x-c)2+62(1-.=r2,

这是关于x的二次方程，它至多有两个实数根，再由y=得方程组①,

②至多有4组实数解.------8分

若］工0,则方程②为

-2.dy=r~-(x-c)2-y~-d~»

(Q

所以—2dy=r2—(x—c)~—b21—--d~,③

I«J

2

两边平方4t/2/=「r2-(x-c)2-b2(l-x与\-d2T,

.I«J.

故4d2b21-A=r2-(x-c)2-b21-^T-\-d2.④

aaJ

④是关于x的4次方程，至多4个实数解.对每个x的实数解，再由③，即

1r2-（x-c）2-b2]_吞卜屋

y-----

.2d

可对应得到一个y的解，所以方程组①，②也至多有4组实数解.

综上，椭圆与正〃边形（〃25）的外接圆至多有4个公共点，也就是说正〃边

形（〃>5）至少有一个顶点不在椭圆上.

故〃N5时，正〃边形不可能内接于椭圆.------15分

11.数列{%}满足：Q]=%=1，。〃+2+。〃（〃=1，2,…），A/是大于1的正

整数.求证：在数列生,4,。5,…中存在相邻的两项，它们除以M的余数相等.

解：设/除以M所得的余数为七，〃….构造有序数对的序列：

（七，%），E，%），…，（X"，'…•（*）

由于x,w{0,l,2,…,加-1},故序列（*）中至多有A12个不同的项，根据抽屉

原理，（*）的前加2+1项中必有相同的两项，设为

（Z，x*”）=a，X"i），3<k<l.------5分

因为X”=4“-％三x*+i-Z

=a+i-巧三aM-a,=alA-x-（modM）,

所以X/T=X/T，故（》*_|,》£）=（巧_|,再）.------10分

继续上述过程，可以得到（初"|,巧_"2）=（再，々）=（1，1），即

q-*+产a，-*+2（modM）.------13分

注意至（Jq=%=1，%=2，所以（X”）X（々,X3）,从而/-4+123.从而命题

得证.------15分

12.将正整数1,2,…,100填入10x10方格表中，每个小方格恰填一个数，要

求每行从左到右10个数依次递减，记第i行的10个数之和为S,（i=1,2,•••,1（））.设

〃e{l,2,…,10}满足：存在一种填法，使得S,S2,…，儿均大于第〃列上的10个数

之和，求〃的最小值.

解:将第/列10个数之和记为7；.（；=1,2,-,10）.

考虑下述填法（易验证其符合要求），此时有品>59>-->5]>330=7；,这

表明〃=5满足条件.

100999897654321

96959493121110987

92919089181716151413

88878685242322212019

84838281302928272625

80797S77363534333231

76757473424140393837

72717069484746454443

68676665545352515049

64636261605958575655

—5分

以下假设存在一种填法，使得£,，2,…，金均大于我们来导出矛盾.

对i,/e{l,2,…,10},记a,.)为第i行第/列所填的数.不失一般性，设

a<

\,A02,4<,"<aio.4,①

对％=1,2,…,10,记4为表格前太行与前3列相交所构成的％x3方格表，Bk

为前左行与后7列相交所构成的％x7方格表.

考虑到每行的数从左到右依次递减，且①成立，故对每个ke{1,2,…,10},

以中”个数的最大者是位于左下角的数4.,于是