安徽省华师联盟2027届高三9月份开学质量检测试题数学+答案

机密★启用前高三9月开学质量检测注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有2.经过点P(1,—1)且与直线2x+y-4=0平行的直线方程为A.2x+y—7=0B.2x+y—1=0C.x+2y—5=03.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ²)且P(X<1)=0.3,则P(X<3|X>2)=A.0.2B.0.44.若函数f(x)=x³+2ax²—8x+4B在区间(一1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是5.已知A(-2,0),B(1,0),若圆(x-5)²+(y-4)²=r2(r>0)上2|PB|,则实数r的最小值为6.已知F是抛物线C:y²=4x的焦点，A(-1,4),线段AF的垂直平分线与抛物线C的交点坐标为A.(4,4)或(4,—4)B.(4,—4)7.已知等差数列{an}的前n项和为S,S₆-S₃=9,S₁₀=24,若S₆=0,则k=A.14B.15高三数学试题第1页(共4页)要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.一组数据(xi,y;)的线性回归方程为y=4x+2,若x=1,则y=6B.若随机变量X满足E(2X)=2,则E(X+3)=7C.若随机变量X的方差D(X)=3,则D(2X-1)=1210.已知数列{an}的前n项和S,=2”+1—2+n,则B.直线CF与直线AE夹角的余弦值为C.BD⊥平面ADE12.若(的展开式中x²的系数为6,则的最小值为14.已知数列{an}共有6项，a;∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,数列{an}的前n项和为S,若四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(本小题满分13分)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S₃=6,a₁,a2,a₄成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)设bₙ=34+an,求数列{bn}的前n项和Tn.16.(本小题满分15分)某电商平台开展“用户满意度调研”,设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为A.非常满意B.比较满意C.不太满意D.很不满意(1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是(2)从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设X为这4名顾客中选择“满意”(A或B)的人数，求X的分布列和数学期望.17.(本小题满分15分)(2)若AC=4,PB=2√3,二面角P-AC-B的平面角为(i)求平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值；18.(本小题满分17分)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；19.(本小题满分17分)(2)设直线l是过原点O的一条动直线，直线l与圆O交于M,N两点，A(2,0),MA,NA与曲线I的交点分别为点B,C.(i)是否存在直线l,使得四边形OBAC为平行四边形?使得四边形OBAC为梯形?高三9月开学质量检测·数学12345678CBBDADAC9一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】进小区有4种选择，出小区不能与进的门相同，有3种选择，总方式数为4×3=12.故选C.【解析】直线2x+y-4=0可化为y=-2x+4,斜率为-2.所求直线与已知直线平行，故斜率也为-2,又所求直线经过点P(1,-1),由点斜式得y+1=-2(x—1),整理即2x+y-1=0.故选B.【解析】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ²),则正态曲线关于直线x=2对称.P(1<X<2)=0.5-P(X<1)=0.5—0.3=0.2,根据正态分布的对称性可得P(2<X<3)=P(1<x<2)=0.2,因此【解析】函数求导得f'(x)=3x²+4ax-8,f'(0)=-8<0,,解得,故实数a函数在(一1,2)上是单调函数，则的取值范围是.故选D.=√(5-2)²+4²=5,|r-2|≤5≤r+2,解得3≤r≤7,所以实数r的最小值是3.故选A.【解析】由题意可知F(1,0),抛物线C的准线为l:x=-1,点A(-1,4)在抛物线的准线上，因为线段AF的垂直平分线上任意一点到A的距离与点F的距离相等，设点P为线段AF的垂直平分线与抛物线C的交点，则有|PA|=|PF|,由抛物线定义【解析】因为S₆-S₃=9,即a₄+as+a₆=3a₅=9,S1—Sg=-3,所以a₁+a14=a5+a10=0,所以,所以k=14,故选A.高三数学试题参考答案第1页(共8页)对于函数,令g'(x)=0,得x=2,所以函数g(x)在(0,时，函数g(x)取最小所以函数g(x)在(0,时，函数g(x)取最小2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增；当x=2十∞,所以函数g(x)的大致图象如图(1)所示；对于函数,则,令h'(x)=0,得①当a>0时，若0<x<e,则h'(x)>0;若x>e,则h'(x)<0,所以函数h(x)在(0,e)上单调递增，在时，h(x)→0,所以函数h(x)的大致图象如图(1)所示.h(x)的图象在直线y=m的同侧，则有,即f(x)≤0在x∈(0,+∞)上不恒成立，所以不符合题意；x②当a=0时，h(x)=0,其x③当a<0时，若0<x<e,则h'(x)<0;若x>e,则h'(x)>0,所以函由图可知，不存在直线y=m,使得在函数g(x)和h(x)图象分别在直线y=m两侧，所以不符合题意.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】对于A,线性回归方程为y=4x+2一定过样本中心点(元，y),已知x=1,所以y=4×1+2=6,对于B,已知E(2X)=2E(X),则E(X)=1,E(X+3)=E(X)+3=1+3=4,B对于C,已知D(X)=3,则D(2X-1)=2²×D(X)=4×3对于D,,则对于D,,则因为DA=(1,—1,0),DE=(0,0,1),设平面ADE的一个法向量为n=(a,b,c),则1),令a=1,n=(1,1,0),所以,则平面ADE与平面ABE的夹角的正弦与Sm=-3各有1种情况，所以此时共有20-2=18种情况；综上，数列{an}的个数为：9+18+9=36.………5分………………11分X01234P【解析】(1)如图(1)所示，连接AC,取AC的中点为O,因为A又因为PA=PC,O为AC中点，所以AC⊥PO,BD,POC平面PBD,BD∩PO=0,所以AC⊥平面PBD,又因为ACC平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD;4分(2)因为PO⊥AC,BO⊥AC,则∠POB即为二面角P-AC-B的因为AC=4,AB⊥BC,O为AC中点，所以BO=2,又因为PB=△POB中，由余弦定理得,所以12=4+OP²+2OP,即OP²+2OP-8=0,因为OP>0,所以OP=2.又因为AC=4,,BA=BC,所以BA=BC=2√2,即BD=√2AB=4.记过点O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，因为平面PBD⊥平面ABCD,所以z轴在平面PBD内.再以OA,OB为x,y轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示.则O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0)………………………6分,令x₁=√3,则y₁=—√3(√3,一√3,1);……………………高三数学试题参考答案第5页(共8页)高三数学试题参考答案第6页(共8页)设平面PBC的一个法向量为n₂=(x₂,y₂,z2),BC=(-2,-2,0),PB=(0,3,—√3),设平面PAD与平面PBC的夹角为0,则。则：,即平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值;…………10分(ii)由上分析可知，OA=OB=OC=OD=OP=2,所以点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，且外接球半径为2.…………………………11分因为OA=(2,0,0),平面PAD的一个法向量为n₁=(√3,一√3,1),则点O到平面PAD的距离所以点E到平面PAD距离的最大值为：,并且此时OE⊥平面PAD12设E(x,y,z),所以有OE//n₁,且OE=2,则有x²+y²+z²=4①,②,所以1或………………此时点E到平面PAD的距离为：,所以不符合题意，舍；………………此时点E到平面PAD的距离为：,所以符合题意，所以点E的坐标为.……………………分13分14分15分18.【答案】(1)单调递增区间为：(一∞,0),(1,+∞);单调递减区间为：(0,1),极小值为e²,无极大值(2)详见解析【解析】(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},1分则……………3分所以函数f(x)的单调递增区间为：(一∞,0),(1,+∞);单调递减区间为：(0,1),………………6分当x=1时，函数f(x)取极小值，且极小值为f(1)=e²,无极大值；………………7分则,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增，……………15分又因为t>1,所以g(t)>g(1)=0,所以x₂+x₃>2成立；…………16分因为x₁+x₂>0且x₂+x₃>2,所以x₁+2x₂+x₃>2.