上海中学高中数学竞赛教程之数论与多项式 A-§9.3 不定方程的常用解法

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第9章

不定方程A§9.3

不定方程的常用解法

判断一个不定方程是否有解，求出方程的所有解，研究方程解的过程等均可称为解不定方程。此过程中一般都找不到统一的方法，对称地，针对同一问题又会出现本质上不同的多种方法都有效的情况。

我们介绍一些在解不定方程时经常用到的自然思路和处理技巧。1.代数式变形

将方程的一边化为常数（或者“极简式”，例如：素数的幂、平方式等），另一边作代数式变形（因式分解、配方等），然后结合相关定理将方程变为若干个方程（组）去处理。过程中代数式变形的能力是基本功。

说明

关注“对称”和“齐次”是做好代数式变形的关键，也是提升数学能力的基础。

2.不等式估计

不等式出现在数学的各个分支之中，处理不等式往往需要较强的分析能力。在求解不定方程问题时，不等式经常被当作“工具”来使用，通过对字母的估计，达到简化的目的，当然，它需要对式子变形，只是这种变形指向明确，就是要估计出某些变量的大小。

[解析]

说明

这里在整除与代数式变形之间相互交替，很有数论味道，不等式估计使这种交替变得合理、有效。3.借助同余

说明

当未知数出现在幂次上时，经常用同余方法来处理，这时恰当地选取模尤为重要，尽量避免多兜圈子。4.恰当构造

有时，我们可以通过直接（或间接）构造的方法给出不定方程的一组解，甚至是某种类型的无穷多组解，从而证明方程有解或者有无穷多组解。此过程往往有益于部分地掌握方程的特性，给出一些有趣的例子，培养一些数学直觉。

说明

递推构造的方法几乎遍布数学的每个分支，不定方程中有很多时候是借助韦达定理导出另一个解，然后依次递推。

说明

借助恒等式来构造解并非易事，获得了则会带来一种“爽”的感觉。第9章

不定方程A§9.3

不定方程的常用解法习题9.3A组1.填

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