高考数学一轮复习 新思路 2.5 函数图像与零点

2.5函数图像与零点考向1函数图像的变换知识点图像变换的五大模型1.平移变换:上加下减，左加右减关于由的图像沿轴方向平移关于由的图像形沿轴方向平移2.伸缩变换:关于保持纵坐标不变,横坐标变为原来的倍关于保持横坐标不变,纵坐标变为原来的倍3.翻转变换:关于保留轴右侧图像,再把轴右侧图像翻折到轴的左侧关于保留轴上方图像,再把轴下方图像翻折到轴的上方4.对称变换:关于由的图像作关于轴的对称变换得到关于由的图像作关于轴的对称变换得到关于原点:由的图像作关于原点的对称变换得到5.反函数:与关于直线对称题型1图像平移变换例1（2025北京卷）为得到函数的图像,只需把函数的图像上的所有点（）A.横坐标变成原来的倍,纵坐标不变B.横坐标变成原来的2倍,纵坐标不变C.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变D.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变例2函数的图像如图所示,那么函数的图像是（）例3设分别是方程与的根,则_____.例4已知是函数的图像上两个不同的点,则（）A.B.C.D.知识点1零点存在性定理1.零点存在定理一般地,我们有:函数零点存在定理如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,且有,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解.2.如果函数图像通过零点时穿过轴,则称这样的零点为变号零点,如图左图中,都是变号零点;如果没有穿过轴,则称这样的零点为不变号零点,如图右图中,二次函数有一个不变号零点（或叫二重零点）.考点分析:1.零点存在定理只有在连续函数上才成立.2.零点存在定理可以判断连续函数在上有零点,但不能确定零点个数,零点个数问题需要结合函数单调性判断.3.连续函数能确定区间内一定有零点,但连续函数不能确定区间内一定没有零点,如函数存在零点.4.连续函数能确定区间内一定有零点,但函数在区间上有零点,不能确定函数连续或,如存在零点,但.知识点2二分法1.区间中点:一般地,称为区间的中点.2.二分法的概念:对于在区间上图像连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.利用二分法求函数零点的方法:1.确定零点的初始区间,验证.2.求区间的中点.3.计算,并进一步确定零点所在的区间:（1）若（此时），则就是函数的零点；（2）若（此时），则令；（3）若（此时），则令.4.判断是否达到精确度:若,则得到零点近似值（或）;否则重复步骤.由函数零点与相应方程解的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.考点分析:为了刻画与准确值的接近程度,这里给出了精确度,由可知,区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值题型2函数的零点区间例5（2025·天津卷）函数的零点所在区间是（）A.B.C.D.例6（2026·广东月考）函数的零点所在区间为,则A.0B.1C.2D.3题型3函数零点交点个数问题例7函数与的图像的交点个数是（）A.0B.1C.2D.3例8（2026·新疆模拟）定义在上的函数满足,若函数与的图像有8个交点,则交点横坐标的和为（）A.24B.12C.8D.6例9（2026·甘肃校级一模）已知函数且,则的所有零点之和为（）A.2B.-4C.-6D.-8例10（2026·梅河口市校级一模）定义在上的奇函数满足:,当时,,则函数的零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3题型4利用数形结合与函数零点求参数例11（2026·中山区校级一模）已知函数.若函数（为自然对数的底数）恰有4个零点,则的取值范围是A.B. C.D.例12（2026·龙川县校级模拟）已知函数若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（）A.B.C.D.例13（2026·焦作一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例14（2026·吴桥县校级一模）已知函数，若函数至少有7个零点,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.题型5嵌套函数与零点问题①先看外层零点，把外层零点一一列出:;②再在外层函数作直线，，．．．，交点个数即为复合函数零点个数。例15（多选）定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下列四个命题中正确的结论是（）A.方程有且仅有三个解B.方程有且仅有三个解C.方程有且仅有九个解D.方程有且仅有一个解例16（2026·乌兰察布模拟）已知函数，若函数恰有5个零点,则实数的取值范围为（）A. B. C.D.题型6零点和积范围问题①巧用韦达定理，把；②巧用对数运算法则，如，一定有；③统一变量，构造函数求和积范围.例17（2026·兴义市校级一模）已知函数,若函数有三个不同的零点,则的取值范围为（）A.B.C.D.例18（2026·巢湖市模拟）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为,则的取值范围为（）A.B.C.D.例19（2026·凯里市校级模拟）已知关于的方程有三个不等的实根,,且,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例20（2026・淮北校级一模）已知函数若关于的方程有三个不同的实根,且,则的取值范围是.拓展思维●拓展1对勾函数与类对勾函数1.“对勾函数”的定义我们把形如（为常数,）的函数称为“对勾函数”.因为函数（为常数,）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名.2.的性质性质结论图像名称对勾双曲线定义域 值域 顶点坐标下顶点，上顶点单调性增区间:和减区间:和奇偶性奇函数渐近线一条是直线，另一条是对称性图像关于原点中心对称类对勾函数及性质形如,与对勾函数具有相同的对称轴、渐近线性质结论定义域 （续表）性质结论值域顶点坐标无顶点单调性增区间奇偶性奇函数渐近线一条是直线,另一条是对称性图像关于原点中心对称；例1（武侯区校级期末）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.例2（2020全国Ⅲ理16）关于函数，有如下四个命题:①的图像关于轴对称；②的图像关于原点对称；③的图像关于直线对称；④的最小值为2.其中真命题的序号是_____.例3函数的图像为（）例4已知函数,若关于的方程恰有6个不同的实数解,则的取值范围是（）A.B.C.D.拓展2复杂曲线函数1.反比例平移型也可通过分离常数法由反比例平移得到,但过程较繁锁,可以先求出反比例平移后的对称中心,再按照反比例函数的一三或二四象限的图像画在对应区域.①对称中心横坐标:函数分母不为0，则令分母，得竖直渐近线（对称中心横坐标），因为自变量可以无限趋向于分母零点,所以函数图像就必会无限逼近于直线,所以一定是竖直渐近线;②对称中心纵坐标:当分子不为0时，分数值也不为0，则分离常数，,当分数值为0时,得水平渐近线（对称中心纵坐标）,因为令趋向无穷,,即得水平渐近线.③竖直渐近线与水平渐近线的交点必为函数图像的对称中心，再看反比例前的符号判断反比例函数的一三或二四象限,再画到渐近线所划分的对应区域（也可以利用特殊值判断区域位置）.如图例5（2021・全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.例6已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_____.2.指数复合反比例型（1）当时（对的情形可以变换为的情形）①令分母为,得竖直渐近线,因为自变量可以无限趋向于分母零点,所以函数图像就必会无限逼近于直线,所以一定是竖直渐近线.②分离常数，，得水平渐近线，而不止一条水平渐近线,分子、分母同除以,函数变形为,令趋向正无穷大,;令趋向负无穷大,,即得两条水平渐近线.③竖直渐近线与两条水平渐近线的中间水平线的交点必为函数图像的对称中心.④取特定点,确定函数图像的分布位置,一般取（或）,（或）,看点或落在哪个区域,即定图像位置.如图所示:（2）当时（对的情形可以变换为的情形）①令分母为，无解，说明竖直渐近线不存在.②分离常数，，得水平渐近线，而不止一条水平渐近线,分子、分母同除以,函数变形为,再令趋向正无穷大,令趋向负无穷大,,即得两条水平渐近线.③两条水平渐近线的中间水平线与图像的交点为方程组的解）必为函数图像的对称中心.④取特定点，确定函数图像的分布位置，一般取，看点落在哪个区域，即定图像位置.如图例7已知函数,求其值域、对称中心、单调区间,画出简图.例8已知函数，求其值域、