微专题　抛物线中的常见结论

1/1微专题抛物线中的常见结论抛物线的焦点弦典题探究如图，设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B作抛物线准线的垂线，交其于M，N，若AB的倾斜角为α.求证：（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p证明：设直线AB的方程为y＝k（x－p2），与y2＝2px联立，消去y得k2x2－p（k2＋2）x＋k2p则有x1x2＝k2p2由抛物线方程得y12＝2px1，y22＝两式相乘得（y1y2）2＝4p2x1x2＝p4，所以y1y2＝－p2（正值舍去）.（2）｜AF｜＝p1－cosα，｜证明：由抛物线定义易得｜AF｜＝x1＋p2cosα＝x1－p2｜AF｜整理得｜AF｜＝p1同理可得｜BF｜＝x2＋p2＝p（3）｜AB｜＝2psin2α，且1证明：由（2）知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝p1－cosα＋1｜AF｜＋1｜BF｜＝1＝x1＋x（4）S△OAB＝p2证明：S△OAB＝12｜OF｜｜y2－y1｜＝p4＝p42p（x设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB与x轴的夹角，则（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）焦半径｜AF｜＝x1＋p2＝p1－cosα，｜BF｜＝x2（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，且1（4）S△OAB＝p22sinα（5）若AF＝λFB，则｜cosα｜＝｜1－（6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；以焦半径AF（BF）为直径的圆与y轴相切.（1）已知抛物线y2＝4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若BA＝4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（D）A.32B.3 C.233解析：设直线l的倾斜角为α，由题意可知AF＝3BF，结合焦半径公式有p1－cosα＝3p1+cosα，解得cosα＝12，α＝π3，故直线AB的方程为y＝3（x－1），与抛物线方程联立可得3y2－43y－12＝0，则｜y1－y2｜＝（433）2－4×（－4）＝83，故△（2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－3（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（AC）A.p＝2B.｜MN｜＝8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形解析：由于y2＝2px的焦点为（p2，0），直线y＝－3（x－1）过焦点，所以－3（p2－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立y2=4x，y＝－3（x－1),消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝103，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝163，B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为x1＋x22＝53，圆心到准线l的距离d＝53＋1＝83＝12｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝13，x2＝3，所以y1＝233，y2＝－23，所以｜ON｜＝阿基米德三角形1.定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.2.阿基米德三角形的常见性质性质1：阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的对称轴；性质2：若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点D，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以点D为中点的弦平行；性质3：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点，若直线l的方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C（ca，－bpa性质4：底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3性质5：若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且QA⊥QB，QF⊥AB，此时阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.〔多选〕（2026·山东聊城模拟）设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则（ACD）A.直线l经过一定点B.抛物线C的焦点为（12，0C.点P到坐标原点的距离不小于2D.△PAB的面积的最小值为33解析：对于A：l：y＝kx－k＋2化简为k（x－1）＋2－y＝0，无论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定点为（1，2），A选项正确；对于B：C：x2＝2y的焦点在y轴且2p＝2，所以p2＝12，所以抛物线C的焦点为（0，12），B选项错误；对于C：将l：y＝kx－k＋2与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－4，由y＝x22⇒y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2，又因为y1＝x122，y2＝x222，则两切线PA：y＝x1x－x122，PB：y＝x2x－x222，联立两直线方程解得x＝x1＋x22＝k，y＝x1x22＝k－2，所以P（k，k对于D：点P到l的距离为d＝｜k2+4－2k｜k2+1，｜AB｜＝k2+1·｜x1－x2｜＝k2+1·4k2－4（2k－4）＝2k2+1·k2－2k+4，所以S△PAB＝12d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜k2－2k+4＝（1.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝（）A.12 B.C.32 D.解析：D直线AB的方程为y＝x－p2，与抛物线方程联立消去y得x2－3px＋14p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义，得｜AB｜＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.〔一题多解〕过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，以AF，BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则｜MN｜＝（）A.3 B.23C.233 D解析：D法一（性质法）由抛物线的几何性质可知，｜MN｜＝12·｜AB｜·sinα＝psinα法二（代数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜OM｜＝12｜y1｜，｜ON｜＝12｜y2｜，直线AB的方程为y＝3（x－1），联立y＝3（x－1),y2=4x，可得3y2－43y－12＝0，∴y1＋y2＝433，y1y2＝－4，∴｜MN3.〔多选〕已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，若过A，B两点（A在B的左侧）的直线的方程为3x－3y＋6＝0，则下列结论正确的是（）A.｜AB｜＝32B.PA⊥PBC.PF⊥ABD.点P的坐标为（3，－2）解析：ABC联立方程3x－3y+6=0，x2=8y，消去x得3y2－20y＋12＝0，解得y1＝23或y2＝6，即A（－433，23），B（43，6），则｜AB｜＝323，A正确；∵x2＝8y，即y＝x28，y'＝x4，对于A（－433，23），B（43，6），切线斜率分别为kA＝－33，kB＝3，∴kAkB＝－1，即PA⊥PB，B正确；在点A处的切线方程为y－23＝－33（x＋433），即3x＋3y＋2＝0.同理可得在点B处的切线方程为3x－y－6＝0，联立方程3x+3y+2=0，3x－y－6=0，解得x＝433，y＝－2，即P（4.〔一题多解〕〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（A.｜AD｜＝｜AF｜ B.｜AE｜＝｜AB｜C.｜AB｜≥6 D.｜AE｜·｜BE｜≥18解析：ACDA.直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确；法一（通解）B.当AB⊥x轴时，A（32，3），B（32，－3），E（－32，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝32，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋32，A（x1，y1），B（x2，y2），由x＝my＋32，y2=6x，得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；D.当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝32，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－1my＋32，E（－32，3m），｜EF｜＝9+9m2，S△AEB＝12｜AE｜｜BE｜·sin∠AEB＝12｜AB｜·｜EF｜＝12（6＋6m2）·9+9m2＝9（1＋m2）32＞9，所以｜AE｜·｜法二（优解）B.以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，故B错误；C.抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，故C正确；D.由选项B可知AE⊥BE，如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝12｜AE｜·｜BE｜＝12｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝2psin2θ·pcos（π2－θ）＝2p2sin5.（2026·浙江杭州模拟）已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且AF＝tFB（t＞1），｜AB｜＝163，则t＝3解析：由题意得焦点F（1，0），