微专题　平面向量与三角形的“四心”

1/1微专题平面向量与三角形的“四心”在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.平面向量与三角形的重心（1）已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（D）A.外心 B.内心C.垂心 D.重心解析：因为动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），所以AP＝λAB＋AC，取BC中点D（图略），则AP＝2λAD，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选（2）在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝－43解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以BO＝23BD＝23（BA＋AD）＝－23AB＋23×12AC＝－23AB＋13AC，所以λ＝－23设O是△ABC的重心（三边中线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA＋OB＋OC＝0；②PO＝13（PA＋PB＋PC）；③动点P满足AP＝λAB＋AC或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞），则动点平面向量与三角形的垂心（1）P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的（D）A.外心B.内心 C.重心D.垂心解析：由PA·PB＝PB·PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·（PA－PC）＝0，即PB·CA＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足OP＝OA＋λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosCA.重心B.外心 C.垂心D.内心解析：OP－OA＝λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC，AP＝λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC，所以BC·AP＝λBC·AB｜AB｜cosB＋BC·AC｜AC｜cos设O是△ABC的垂心（三条高线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；②｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；③动点P满足AP＝λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC或OP＝OA平面向量与三角形的内心（1）在△ABC中，｜AB｜＝3，｜AC｜＝2，AD＝12AB＋34AC，则直线AD通过△ABC的（A.重心 B.外心C.垂心 D.内心解析：由题知，12｜AB｜＝34｜AC｜＝32.设AE＝12AB，AF＝34AC，则｜AE｜＝｜AF｜.因为AD＝12AB＋34AC＝AE＋AF，所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC（2）（2026·陕西西安模拟）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（BA.1063 BC.43 D.62解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12（a＋b＋c）r，解得r＝263，所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.设O是△ABC的内心（三条角平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜AB｜·OC＋｜BC｜OA＋｜CA｜OB＝0（或aOA＋bOB＋cOC＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足AP＝λAB｜AB｜＋AC｜AC｜或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC平面向量与三角形的外心（1）设P是△ABC所在平面内一点，若AB·CB＋CA＝2AB·CP且AB2＝AC2－2BC·AP，则点P是△ABC的（A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析：由AB·CB＋CA＝2AB·CP，得AB·CB＋CA－2CP＝0，即AB·[（CB－CP）＋（CA－CP）]＝0，所以AB·PB＋PA＝0，（PB－PA）·（PB＋PA）＝0，｜PB｜＝｜PA｜.由AB2＝AC2－2BC·AP，得AB＋AC·AB－AC＝－2BC·AP，即BC·（AB＋AC）＝2BC·AP，同理可得，｜PB｜＝｜PC｜.所以｜PA（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则AO·AB＝8，AO·BC＝10.解析：由题意得O为△ABC的外心，故AO·AB＝12AB2＝8.如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则AO·BC＝（AD＋DO）·（AC－AB）＝12（AC＋AB）·（AC－AB）＋DO·（AC－AB）＝12（｜AC｜2－｜AB设O是△ABC的外心（三条边的垂直平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜⇔OA2＝OB2＝OC2；②（OA＋OB）·AB＝OB＋OC·BC＝OA＋OC·AC＝0；③动点P满足OP＝λ（AB｜AB｜cosB＋1.已知点O是边长为6的等边△ABC的内心，则（OC＋OA）·（OA＋OB）＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：B设D为BC的中点，因为点O是边长为6的等边△ABC的内心，所以OA，OB，OC两两夹角为120°，且｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝23｜AD｜＝23×32×6＝2.所以（OC＋OA）·（OA＋OB）＝OA2＋OC·OA＋OC·OB＋OA·OB＝2－2×12－2×12－2.如图所示，在△ABC中，G为重心，PQ过点G，AP＝mAB，AQ＝nAC，则1m＋1n＝（A.1 B.2C.3 D.4解析：C设AB＝a，AC＝b，根据题意，AG＝23AD＝23（12AB＋12AC）＝13a＋13b.因为AP＝mAB，AQ＝nAC，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得PQ＝λPG，即AQ－AP＝λ（AG－AP），即nb－ma＝λ（13a＋13b－ma）＝（λ3－mλ）a＋λb3，所以－m＝3.已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且OA＋OB＝CH，则以下结论正确的是（）A.点O为△ABC的内心B.点O为△ABC的外心C.∠ACB＝90°D.△ABC为等边三角形解析：B在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，由OA＋OB＝CH，得（OA＋OB）·（OA－OB）＝CH·（OA－OB）＝CH·BA＝0，则OA2＝OB2，即｜OA｜＝｜OB｜，又AH＝AO＋OC＋CH＝AO＋OC＋（OA＋OB）＝OC＋OB，显然AH⊥BC，同理得｜OC｜＝｜OB｜，因此点O为△ABC的外心，B正确，无判断A、C、D成立的条件.故选4.已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC＝45°，则BD·BC＝30；若BD＝12BA＋13BC，则BD＝解析：如图，AH是△ABC的边BC上的高，则AH·BC＝0.设AD＝λAH，因为∠ABC＝45°，面积为15，所以12BABCsin45°＝15，即BABC＝302