高考物理一轮复习 第五章　第23课时　开普勒行星运动定律　万有引力定律及应用（教师版）

第五章万有引力与宇宙航行考情分析生活实践类地球不同纬度重力加速度的比较学习探究类开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型

第23课时开普勒行星运动定律万有引力定律及应用目标要求1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。考点一开普勒三大定律开普勒三大定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等a3T2=k注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。(1)v1与v2大小什么关系？(2)试证明v1v2答案(1)v1>v2(2)证明：由开普勒第二定律可得12Δl1·r1=12Δl2·r2，则有12v1Δt·r1=12v2Δt可得v1v22.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。答案由GMmr2=m4π2T2r得：r3例1(2025·广东卷·5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是()A.公转周期约为6年B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的1答案D解析根据题意，设地球与太阳间距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为5R+7R2=6R，由开普勒第三定律有(6R)3T2=R3T地2，解得T=63T地2=66年，故A错误；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离逐渐减小，由万有引力定律F=Gm1m2r2开普勒定律的适用范围(1)开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用于绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是，不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系，它对具有中心天体的引力系统(如行星—卫星系统)和双星系统[L3T2=G(m1考点二万有引力定律及其应用1.万有引力定律(1)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=Gm1m2r2，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11N·m(2)适用条件①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg=GMmR2，得g=(2)地球上空的重力加速度大小g'地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=GMm(R+h)例2(2025·江苏高邮市调研)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5答案B解析万有引力定律表达式为F=Gm1m2r2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为F火引F地引=例3(2026·河南周口市检测)中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球(视为质量分布均匀的球体)具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕AB轴自转，半径为R，A、B所在的位置为“南、北两极”，C、D所在的位置为“赤道”平面内，OM连线与“赤道”平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为34g，则下列说法正确的是()A.该星球的自转角速度大小为gB.该星球的自转周期为2πRC.该星球M位置的自转向心加速度大小为gD.该星球D位置的自转向心加速度大小为34答案C解析在A处，根据万有引力等于重力有GMmR2=mg，在D处根据牛顿第二定律有GMmR2=m·34g+mω2R，联立可得该星球的自转角速度大小为ω=12gR，A错误；该星球的自转周期为T=2πω=4πRg，B错误；由于OM与“赤道”平面夹角为60°，根据a=ω2r可知M处的自转向心加速度大小为aM=ω2Rcos60°=18g，C正确；该星球D位置的自转向心加速度大小为a[变式](2025·北京市海淀区期中)由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重力会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧测力计称量一个相对于地面静止的小物体的重力，设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F1；在赤道地面称量时，弹簧测力计的读数是F2。求：(1)在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小F；(2)在纬度为45°的地面称量时，弹簧测力计的读数F3。答案(1)F1-F2(2)F解析(1)设地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G，则在地球北极地面称量时，万有引力等于重力，则有GMmR2=根据平衡条件有mg1=F1在赤道地面称量时有GMmR2=mg2+其中向心力F=m4根据平衡条件有mg2=F2，解得F=F1-F2(2)在纬度为45°的地面，万有引力F万=GMmR2=该位置所需向心力F向=m4该位置的重力大小等于弹簧测力计的读数F3，根据余弦定理有F32=F万2+F向2-2F联立解得F3=F1万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：GMmR2=mg1+mω2(2)在两极上：GMmR2=mg(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2=例4已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为()A.R-dR+h BC.R3(R答案C解析设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有GMmR2=mg，由于地球的质量M=ρV=ρ·43πR3，联立解得g=43πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R-d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=43πGρ(R-d)，联立可得g1=R-dRg，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2=GMm(R+h)2，解得加速度万有引力的“两个推论”推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=GM'考点三天体质量、密度的计算1.利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由GMmR2=mg，得天体质量M=(2)天体密度ρ=MV=M432.利用运行天体已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由GMmr2=m4π2T2(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ=MV=M43(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=3πGT2例5(2025·河北保定市三模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的()A.10倍 B.30倍C.100倍 D.300倍答案D解析设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有GMmr2=mg，解得M=gr2G，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有M星M地=例6(多选)(2025·安徽卷·9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则()A.r=a+b+R2 B.C.M=4π2r3G答案BC解析对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有(a+b+2R2)3T2=r3T2，可得r=a+b2+R，故A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得GMm针对训练(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为()A.3π(1+k)3C.π(1+k)3GT2k答案D解析设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力GMm[(k+1)R]2=m月球的体积V=43πR月球的平均密度ρ=M联立可得ρ=3πGT2(1+k)3课时精练[分值：54分][1~6题，每题4分]1.(2025·新课标卷·15)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时()A.受月球的引力大小保持不变B.相对月球的速度大小保持不变C.离月球越近，其相对月球的速度越大D.离月球越近，其所受月球的引力越小答案C解析“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，其与月球的距离不断发生变化，根据F=GMmr2可知“天都一号”离月球越近，其所受月球的引力越大，故A、D错误；根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，2.(2025·贵州贵阳市二模)考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是()答案D解析P点处万有引力指向地心，充当合力，是平行四边形对角线，随地球自转的向心力指向地轴，根据矢量三角形可得重力加速度g的方向在PO连线的左下方。故选D。3.(2025·江西赣州市二模)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则下列说法正确的是()A.地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长B.立夏时地球的公转速度比谷雨时大C.夏至时地球受太阳的引力比冬至大D.地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数答案A解析地球从芒种到夏至和从大雪到冬至均转过15°，因前者在远日点附近，角速度较小，后者在近日点附近，角速度较大，由t=θω可知地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长，故A正确；由开普勒第二定律可知立夏时地球的公转速度比谷雨时小，故B错误；因夏至时地球离太阳的距离r更大，由F=GMmr2可知夏至时地球受太阳的引力比冬至小，故C4.(2025·云南卷·5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于()行星水星金星地球火星木星土星天王星海王星轨道半径R/AU0.390.721.01.55.29.51930A.金星与地球的公转轨道之间B.地球与火星的公转轨道之间C.火星与木星的公转轨道之间D.天王星与海王星的公转轨道之间答案C解析根据开普勒第三定律可知r行3T行2=r地3T地2，其中r地=1AU，T地=1年，T行=5.8年，代入解得5.(2026·河南新乡市检测)2025年5月29日，“天问二号”探测器踏上新征程，前往小行星2016HO3开展探测任务。若“天问二号”绕小行星2016HO3做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，小行星2016HO3的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是()A.小行星2016HO3的质量为4B.小行星2016HO3表面的重力加速度为4C.小行星2016HO3的密度为3πD.小行星2016HO3的第一宇宙速度为2π答案B解析根据万有引力提供向心力GMmr2=m4π2T2r，可得小行星2016HO3的质量M=4π2r3GT2，故A错误；根据GMmR2=mg'，结合A选项分析可得小行星2016HO3表面的重力加速度g'=4π2r3T2R2，故B正确；小行星2016HO3的密度ρ=MV，又V=43πR3，结合A6.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的()A.0.001倍 B.0.1倍C.10倍 D.1000倍答案B解析设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有GM1m1r12GM2m2r22联立得M1M2=(r1r2)由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得M1M2≈0.1[7~10题，每题6分]7.(2025·山西吕梁市三模)2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。该行星的体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在该行星表面与地球表面做平抛运动，若水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为()A.4∶1 B.2∶1C.1∶2 D.1∶4答案C解析根据万有引力提供向心力，得GMmR2=mg，可得星体表面的重力加速度g=GMR2，该行星和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则该行星表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h=12gt2，可得物体在该行星表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x=v0t，可得物体第一次落地时水平距离之比为18.(多选)(2025·湖南邵阳市三模)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103km，远月点B距月心约为1.8×104km，CD为椭圆轨道的短轴，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2。下列说法正确的是()A.利用题中的条件可以估算月球的质量B.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12hC.鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1∶9D.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1答案AD解析假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的运行周期为24h，根据万有引力提供向心力有GMmr2=m4π2T2r，可得月球的质量为M=4π2r3GT2，则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A正确；鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故B错误；鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得12vAΔt·rA=12vBΔt·rB，可得鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比为vA∶vB=rB∶rA=1.8×104∶2.0×103=9∶1，故C错误；根据牛顿第二定律可得GMmr29.(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于()A.GMmR2 B.mC.