初升高数学衔接 专题03 集合的基本运算（精讲）

预备预备新高一数学专题03集合的基本运算1．通过实例理解并集、交集、补集的含义．2．掌握交集、并集、全集、补集的数学符号与表达形式．3．能借助数轴、韦恩图求解数集的交、并、补运算．4．熟记交并补满足的运算性质，并能灵活运用化简集合．5．会结合集合运算求解含参数集合的参数取值范围．一、并集1．定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集．2．符号表示：，读作“并”．3．数学表达式：．4．通俗理解：把两个集合全部元素合并在一起，重复元素只保留一个．二、交集1．定义：由所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集．2．符号表示：，读作“交”．3．数学表达式：．4．通俗理解：取两个集合公共重合部分的元素，无公共元素时交集为空集．三、全集1．定义：如果一个集合包含我们研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集．2．符号表示：全集记作．3．通俗理解：全集是当前题目规定的全部取值范围，常见全集为实数集．四、补集1．定义：对于全集，由全集中所有不属于集合的元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集．2．符号表示：．3．数学表达式：．4．通俗理解：在全集范围内，剔除集合剩余的所有元素构成的集合．五、交、并、补基础运算性质1．交换律：，．2．结合律：，．3．自身运算：，．4．空集运算：，．5．包含关系性质：若，则，．6．补集自身性质：，，．六、德摩根定律1．2．通俗理解：交的补等于补的并，并的补等于补的交．题型01直接计算有限集合的交集、并集1．交、并集判定规则（如：集合合并为并集，取公共元素为交集，重复元素只保留一份，符合集合互异性）并集负责整合两个集合全部元素，交集只保留两个集合重叠的元素．2．完整解题逻辑（1）观察两个集合所有元素，标记重复出现的元素．（2）求并集：合并全部元素，剔除重复元素，写成规范集合形式．（3）求交集：筛选同时出现在两个集合中的公共元素，无公共元素结果为空集．3．核心作用：区分“全部合并”与“公共重叠”两种运算，是集合运算基础题型．学以致用学以致用【例1】（2026•平谷区一模）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】分别求出集合，，再利用并集定义能求出．【解答】解：集合，，则．故选：．【例2】（2026•佛山模拟）设集合，3，5，，，则（）A．， B．， C．， D．，3，5，【答案】【分析】结合集合交集运算即可求解．【解答】解：因为集合，3，5，，，则，．故选：．【例3】（2026春•开福区校级期末）已知集合，，则（）A．， B． C． D．【答案】【分析】先求出集合，然后结合集合并集运算即可求解．【解答】解：由题集合，，，则．故选：．题型02利用数轴求解不等式数集的交、并运算1．数轴使用依据（如：连续实数范围集合无法一一列举，数轴可以直观标出取值区间，快速找到重叠、合并范围）数轴是处理连续实数集合运算的工具，能直观区分交集、并集对应的区间．2．完整解题逻辑（1）把每个集合对应的不等式范围在同一数轴上标注，空心、实心端点严格区分．（2）求交集：取数轴上两段区间同时覆盖的重叠部分．（3）求并集：取数轴上两段区间全部覆盖的整体范围．3．解题关键：端点是否包含要和原不等式保持一致，不能随意更改实心、空心标记．学以致用学以致用【例4】（2026•沧州校级模拟）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，利用交集的运算法则，找出集合、的公共元素组成的集合，可得答案．【解答】解：集合，，既属于，又属于的元素，满足不等式，即．故选：．【例5】（2025秋•长治校级期末）已知集合，，则（）A． B． C． D．或【答案】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：．【例6】（2026•丰台区模拟）已知全集，集合，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，集合，则．故选：．题型03全集下求单个集合的补集1．补集运算依据（如：全集限定整体范围，补集只在全集内部剔除原集合元素，全集以外的数不参与计算）补集运算不能脱离给定全集，全集不同，同一个集合的补集结果完全不同．2．完整解题逻辑（1）明确题目给出的全集范围，确定所有元素的取值边界．（2）剔除全集内属于集合的全部元素，剩余元素构成补集．（3）不等式集合借助数轴，全集区间内去掉的区间，剩余区间即为补集．3．易错提醒：不能把全集外的数值纳入补集，补集元素一定属于全集．学以致用学以致用【例7】（2026春•双城区校级期中）设全集，，，则（）A．， B．， C．， D．，3，【答案】【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案．【解答】解：，解得，全集，则，3，．故选：．【例8】（2026•楚雄市模拟）已知全集，集合，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，，由补集的定义可知，．故选：．【例9】（2026•丰台区校级模拟）已知全集，集合，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合．【解答】解：，，则．故选：．题型04交、并、补混合多层运算1．混合运算顺序（如：带括号先算括号内部，先求交并，再计算补集；无括号从左到右依次运算）括号会改变运算先后顺序，优先处理括号内的集合运算，再进行外层计算．2．完整解题逻辑（1）先计算括号内交集或者并集，化简得到单层集合．（2）再根据全集对化简后的集合求补集．（3）多层混合逐步化简，分步书写，避免一步运算出现遗漏．3．辅助方法：多层混合运算可借助韦恩图标出各区域，直观区分交、并、补对应的区域．学以致用学以致用【例10】（2026•武清区校级模拟）设全集，集合，3，，，4，5，，则（）A．， B．， C．，4， D．，5，【答案】【分析】根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，，4，5，，则，4，6，7，，故，4，．故选：．【例11】（2025秋•广东月考）已知集合，0，1，3，，全集和集合．若，则可能正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由集合的运算可得．【解答】解：由题可得：，，0，1，，综合选项判断可得正确．故选：．【例12】（2026春•恩平市期中）已知集合，0，1，，，则（）A．，0，1， B．，0， C． D．【答案】【分析】结合集合的基本运算即可求解．【解答】解：因为，则根据集合补集运算可得，，又，0，1，，所以，0，．故选：．题型05利用交并补运算性质化简集合表达式1．运算性质使用依据（如：满足时，直接化简为，直接化简为，无需展开计算）各类恒等式、包含性质可以简化复杂集合式子，减少计算步骤．2．完整解题逻辑（1）观察式子结构，匹配交、并、空集、补集、包含对应的运算公式．（2）套用交换律、结合律调整集合顺序，套用德摩根定律拆分补集．（3）利用空集、自身运算、包含关系直接化简，消去多余集合．3．核心作用：简化复杂混合运算，减少数轴画图、列举元素的繁琐步骤．学以致用学以致用【例13】（2025秋•张家界期末）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据交集的运算性质进行求解即可；（2）根据并集的运算性质进行求解即可．【解答】解：（1），，且，，故的取值范围为；（2）集合，，由，得，，故实数的取值范围为．【例14】（2025秋•迪庆州期末）已知集合，，．（1）求；（2）求；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3），．【分析】（1）利用集合的基本运算求解；（2）利用集合的基本运算求解；（3）由可得，进而列出不等式，求出的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，集合，，所以；（2）因为，所以或，又因为，所以；（3）若，则，所以，解得，故的取值范围为，．【例15】（2025秋•承德期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）解二次不等式求出集合，再由补集定义和交集定义即可计算求解；（2）先由并集结果得到，接着分和两种情况进行分析即可计算求解．【解答】解：（1）因为，所以或，当时，，所以．（2）因为，所以，当时，，即，符合条件；当时，要使，则有，不等式组无解；综上，实数的取值范围是．题型06已知交并结果求集合中的参数1．解题核心依据（如：交集含某数值，说明该数值同时属于两个集合；并集包含全部元素，参数取值要满足对应元素归属）交、并集的结果限制了参数的取值，可建立方程求解参数候选值．2．完整解题逻辑（1）根据交集、并集给出的结果，确定参数对应的元素满足的等式．（2）解方程得到所有参数候选取值．（3）将参数代回原集合，检验集合互异性、交并结果是否与题干一致．（4）舍去不符合条件的参数取值，保留合法解．3．解题关键：求出参数后必须回代验证，防止出现元素重复、交并结果不符的情况．学以致用学以致用【例16】（2026春•南京期末）已知集合，，，，若，则（）A．1 B．2 C． D．【答案】【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：当时，集合不满足互异性，故错误，错误；当时，集合不满足互异性，故错误，当时，，，，，满足，故正确．故选：．【例17】（2026春•望都县校级期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】利用集合并集运算的定义求解．【解答】解：由题意可知，，，且，所以，所以实数的取值范围为，．故选：．【例18】（2026•皋兰县模拟）已知集合，2，，，若恰有4个子集，则的取值范围为（）A．， B． C．， D．【答案】【分析】利用交集定义、不等式性质求解．【解答】解：集合，2，，，恰有4个子集，中恰有2个元素，，的取值范围为，．故选：．题型07子集结合集合运算求参数范围1．子集与运算结合的含义（如：等价于，等价于，两种式子表达同一种包含关系）交并运算的特殊结果可以转化为集合包含关系，转化后利用子集思路求解参数．2．完整解题逻辑（1）将、转化为．（2）分两类讨论集合为空集、非空集合两种情况．（3）非空集合借助数轴列出不等式组，求解参数范围．（4）合并空集与非空情况的参数取值，得到完整解集．3．易错提醒：极易遗漏为空集的情况，造成参数范围缺解．学以致用学以致用【例19】（2026春•滨湖区校级月考）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）根据得出，然后分和两种情况讨论，进而求出实数的取值范围；（2）根据，同样分和两种情况讨论，从而求出实数的取值范围．【解答】解：（1）集合，．若，则，当时，，即，当时，，解得，实数的取值范围为或；（2）若，当时，，解得，此时满足，当时，因为，则，解得或，综合，实数的取值范围是或．【例20】（2025秋•广安期末）已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题知，，再根据集合交集，补集运算求解即可；（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，集合，所以或，当时，，所以；（2）因为，所以，①当时，，解得，②当时，则，解得，综上，的取值范围是．【例21】（2025秋•河南月考）已知，，全集．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），，．【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可；（2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解．【解答】解：（1）当时，，所以或，又因为，所以；（2）由可得，当时，有，解得，当时，有，解得；所以的取值范围为，，．题型08韦恩图解读集合运算综合题1．韦恩图区域含义（如：两个圆重叠区域代表交集，两个圆整体覆盖区域代表并集，圆外部全集内部区域代表补集）韦恩图将交、并、补转化为平面区域，可快速读取各部分元素．2．完整解题逻辑（1）拆分韦恩图的各个独立区域，标注每个区域对应的集合运算．（2）根据图中标注的数字或范围，分别写出交集、并集、补集对应的元素．（3）结合题干条件，求解区域内未知参数、未知元素．3．适用场景：多集合混合运算、实际统计类集合应用题优先使用韦恩图分析．学以致用学以致用【例22】（2025秋•集美区校级月考）已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．【答案】【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分表示的集合．【解答】解：由，可得或，又，所以图中阴影部分表示的集合为．故选：．【例23