第4节　简单的三角恒等变换

1/1第4节简单的三角恒等变换1.会运用相关公式进行化简和求值.2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.三角函数式的化简（师生共研过关）（1）化简：2tan（45°－（2）（2026·四川德阳模拟）已知α∈（0，π），化简：（1+sin解：（1）原式＝tan（90°－2α）·12sin2αcos2α＝sin（90°－（2）因为α∈（0，π），所以α2∈（0，π2），所以原式＝2cos＝2cosα2cosα2cos三角函数式的化简要遵循“三看”原则训练1（1）（1tanα2－tanα2）·（1＋tanα·tanα2）A.1sinαB.1cosα C.2解析：原式＝（cosα2sinα2－sinα2cosα2）·（1＋sinαcosα·（2）21+sin4＋2+2cos4＝（B）A.2cos2 B.2sin2C.4sin2＋2cos2 D.2sin2＋4cos2解析：21+sin4＋2+2cos4＝2sin22+2sin2cos2+cos22＋2+2（2cos22－1）＝2（sin2+cos2）2＋4cos22＝2｜sin2＋cos2｜＋2｜cos2｜.∵π2＜2＜π，∴cos2＜0，∵sin2＋cos2＝2sin（2＋π4），π2＜2＋π4＜π，∴sin2三角函数式求值（定向精析突破）考向1给角求值（1）求值：cos20°cos35°1－sin20A.1 B.2C.2 D.3解析：原式＝cos20＝cos2＝2（2＝2cos35°cos35（2）求值：3tan12°－3sin12°（解析：原式＝3＝3＝2＝43sin（12给角求值问题的求解策略观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：（1）特殊角的三角函数值；（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.考向2给值（式）求值（1）（2025·江苏淮阴中学二模）已知sinαsin（α＋π6）＝cosαsin（π3－α），则tan（2α＋π4）＝（DA.3 B.3C.2－3 D.－2－3解析：由sinαsin（α＋π6）＝cosαsin（π3－α），得32sin2α＋12sinαcosα＝32cos2α－12sinαcosα，即32（cos2α－sin2α）＝sinαcosα，所以32cos2α＝12sin2α，所以tan2α＝3，所以tan（2α＋π4（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin（α＋β）＝－223解析：由题知tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝41－2－1＝－22，即sin（α＋β）＝－22cos（α＋β），又sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，可得sin（α＋β）＝±223.由2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋3π2，m∈Z，得2（k＋m）π＋π＜α＋β＜2（k＋m）π＋2π，k＋m∈Z.又tan（给值（式）求值问题的求解思路（1）化简所求式子或已知条件；（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.考向3给值求角（2026·浙江杭州质检）已知α，β∈（0，π2），sin（α－β）＝12，tanα＝3tanβ.则α＋β＝（A.π4B.π3 C.π2解析：C因为sin（α－β）＝12，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝12①.因为tanα＝3tanβ，所以sinαcosα＝3sinβcosβ，即sinαcosβ＝3cosαsinβ②.由①②得，sinαcosβ＝34，cosαsinβ＝14，所以sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝1，因为α，β∈（0，π2），所以α＋β∈（0，π“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为－训练2（1）（2025·浙江杭州一模）已知1sin10°－λcos10°＝4，则λ＝（A.1 B.2C.3 D.2解析：由1sin10°－λcos10°＝4可得λ＝（1sin10°－4）cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°（2）已知α∈（0，π），sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α＝（C）A.34 B.－C.－34或0 D.解析：∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；当cosα≠0时，sinα＋cosα＝12，两边平方得sin2α＝－34.综上可得，sin2α＝－34（3）（2026·天津模拟）已知锐角α，β满足α＋2β＝2π3，tanα2tanβ＝2－3，则α和β中的较小角等于解析：由α＋2β＝2π3，可得α2＋β＝π3，所以tan（α2＋β）＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3，又tanα2tanβ＝2－3，所以tanα2＋tanβ＝3－3，由tanα2＋tanβ=3－3，tanα2tanβ=2－3，解得tanα2=2－3，tanβ三角恒等变换的综合应用（师生共研过关）已知f（x）＝sin（2x－π3）＋23sin（x－π4）·cos（x＋3π（1）求f（π3）的值解：f（x）＝sin（2x－π3）＋23sin（x－π4）cos（x＋＝sin（2x－π3）－23sin（x－π4）cos［π－（x＋＝sin（2x－π3）－23sin（x－π4）cos（x－＝sin（2x－π3）－3sin（2x－π＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＋3cos＝12sin2x＋32cos2x＝sin（2x＋π故f（π3）＝sin（2×π3＋π3）（2）若锐角α满足f（α）＝33，求sin2α的值解：∵α∈（0，π2），f（α）＝3∴f（α）＝sin（2α＋π3）＝33，2α＋π3∈（π3又∵sin（2α＋π3）＝33＜∴2α＋π3∈（2π3，∴cos（2α＋π3）＝－1－（sin2α＝sin［（2α＋π3）－π3］＝sin（2α＋π3）cosπ3－cos（2α＋＝33×12＋63×3进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.训练3（1）已知函数f（x）＝12sinxcosx－12cos2x＋14.若f（12α）＝25，则sin2α的值为解析：f（x）＝14sin2x－12·1+cos2x2＋14＝14sin2x－14cos2x＝24sin（2x－π4）.因为f（12α）＝25，所以24sin（α－π4）＝25，所以sin（α－π4）＝45，sin2α＝sin［2（α－π4）＋π2］＝cos［2（α－π4）］＝1－（2）已知f（x）＝sinxsin（x＋π3）－14，则f（x）的值域为［－12，1解析：因为f（x）＝sinxsin（x＋π3）－14＝sinx（12sinx＋32cosx）－14＝12sin2x＋32sinxcosx－14＝12×1－cos2x2＋34sin2x－14＝34sin2x－14cos2x＝12和差化积与积化和差公式人A必修一P225例8与P226练习4题、5题给出了两组公式：（1）积化和差公式①sinαcosβ＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β②cosαsinβ＝12[sin（α＋β）－sin（α－β③cosαcosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β④sinαsinβ＝－12[cos（α＋β）－cos（α－β（2）和差化积公式①sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2②sinθ－sinφ＝2cosθ＋φ2③cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2④cosθ－cosφ＝－2sinθ＋φ2应用上述公式可实现三角函数式“积”与“和”的相互转化.（1）化简下列各式：①sin54°－sin18°＝12②cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝－12解析：①由和差化积公式可得，sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝2×2sin18°cos18°cos36°2cos18°＝2sin36②由和差化积和积化和差公式可得，cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×12（cos120°＋cos26°）＝2×（－12）cos26°＋（－12）＋cos26（2）y＝sinxsin3x的最大值为916解析：y＝sinxsin3x＝－12[cos4x－cos（－2x）]＝－cos22x＋12cos2x＋12＝－（cos2x－14）2＋916，由于cos2x∈[－1，1]，故当cos2x＝14时，y＝sinxsin3（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.cos70°cos20°A.34B.32 C.12解析：Ccos70°cos20°1－2sin2252.化简：sin（180°+2αA.－sinα B.－cosαC.sinα D.cosα解析：D原式＝－sin2α·cos2α3.已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tanα2＝（A.3 B.12C.2 D.12或解析：A∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴sinα＝35，cosα＝－45，∴tansinα2cosα2＝2sinα2cosα24.（2026·重庆调研）已知α∈（0，π3），且2sin2α＝4cosα－3cos3α，则cos2α＝（A.29 B.C.79 D.解析：C因为α∈（0，π3），所以cosα≠0，0＜sinα＜32，因为2sin2α＝4cosα－3cos3α，所以4sinαcosα＝4cosα－3cos3α，所以4sinα＝4－3cos2α＝4－3（1－sin2α），解得sinα＝13或sinα＝1（舍），则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×19＝75.已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则2α－A.π6 B.C.π3 D.解析：C因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin（2α－β）＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π26.〔多选〕（2026·山东济南质检）已知cos（α＋β）＝－55，cos2α＝－513，其中α，β均为锐角，以下判断正确的是（A.sin2α＝1213 B.cos（α－β）＝C.cosαcosβ＝8565 D.tanαtanβ解析：AC由题意，易得α＋β∈（π2，π），2α∈（π2，π），所以sin2α＝1－cos22α＝1213，故A正确；sin（α＋β）＝1－cos2（α＋β）＝255，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos2αcos（α＋β）＋sin2αsin（α＋β）＝（－513）×（－55）＋1213×255＝29565，故B错误；cosαcosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β）]＝12×（－55＋29565）＝8565，故C正确；sinαsinβ＝12[cos（α－β）－cos7.已知α为锐角，且cosα（1＋3tan10°）＝1，则α＝40°.解析：由cosα（1＋3tan10°）＝1可得cosα·3sin10°＋cos10°cos10°＝1，所以cosα·2sin40°cos10°＝1，所以cosα＝cos10°2sin40°＝sin80°2sin40°8.（2025·山东泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜π2，cos（α－β）＝45，cosαcosβ＝12，则1tanα－1tan解析：由题意可知cos（α－β）＝45＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以sinαsinβ＝310，即tanαtanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝35，又0＜β＜α＜π2，所以π2＞α－β＞0，sin（α－β）＝1－cos2（α－β）＝35，则tan（α－β）＝34＝tan9.（13分）证明：（1）cos4α＋4cos2α＋3＝8cos4α；（2）1+sin2α2cos2α＋sin2（3）1+sinθ－1－sinθ＝－2sinθ2（3π证明：（1）左边＝2cos22α－1＋4cos2α＋3＝2（cos22α＋2cos2α＋1）＝2（cos2α＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右边.（2）左边＝sin2α＋cos2α+2sinαcosα2co（3）左边＝｜sinθ2＋cosθ2｜－｜sinθ2－cosθ2｜，∵3π2＜θ＜2π，∴3π4＜θ2＜π，从而sinθ2＋cosθ2＜0，sinθ2－cosθ2＞0.则左边＝－（sinθ2＋cosθ210.（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知π4＜θ＜π3，若a＝tanθtan2θ+1，b＝12－12cos2θ，c＝1cosθ－cosA.c＞a＞b B.b＞c＞aC.c＞b＞a D.b＞a＞c解析：Ca＝tanθtan2θ+1＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝sinθcosθ，b＝12（1－cos2θ）＝sin2θ，c＝1cosθ－cosθ＝sin2θcosθ＝sinθtanθ，又π4＜θ＜π3，则sinθ∈（22，32），且tanθ＞1＞sinθ＞22＞11.（2026·山东临沂模拟）已知f（x）＝sin2x＋sin2（x＋α）＋sin2（x＋β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A.满足题意的一组α，β可以是α＝π3，β＝B.α－β＝πC.α＋β＝πD.满足题意的一组α，β可以是α＝π3，β＝解析：Df（x）＝1－cos2x2＋1－cos（2x+2α）2＋1－cos（2x+2β）2＝32－12[cos2x（1＋cos2α＋cos2β）－sin2x（sin2α＋sin2β）]，由题意得cos2α＋cos2β＝－1，sin2α＋sin2β=0，两式平方相加可得cos（2α－2β）＝－12，所以2α－2β＝2π3＋2kπ或2α－2β12.〔多选〕已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α＝45，cos（α＋β）＝－210A.cosα＝－1010B.sinα－cosα＝5C.β－α＝3πD.cosαcosβ＝－2解析：BC因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin2α＝45＞0，故有π2≤2α≤π，π4≤α≤π2，解出cos2α＝－35＝2cos2α－1⇒cos2α＝15⇒cosα＝55，故A错误；（sinα－cosα）2＝1－sin2α＝15，又π4≤α≤π2，所以sinα≥cosα，所以sinα－cosα＝55，故B正确；因为π4≤α≤π2，π≤β≤3π2，所以5π4≤α＋β≤2π，又cos（α＋β）＝－210＜0，所以5π4≤α＋β≤3π2，解得sin（α＋β）＝－7210，所以cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－210×－35＋－7210×45＝－22，又因为5π4≤α＋β≤3π2，－π≤－2α≤－π2，所以π4≤β－α≤π，有β－α＝3π4，故C正确；由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－213.（2026·福建莆田模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos36°的值.先利用sin3α＝sin（2α＋α）可求得sin3α＝3sinα－4sin3α（用单角α的正弦值表示）；再求得cos36°＝5+14解析：sin3α＝sin（2α＋α）＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos2α