第3节　等式性质与不等式性质

第3节等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式的性质.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

两个实数比较大小的方法

＝

bc

3.

不等式的性质性质1对称性：a＞b⇔b＜a；性质2传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；性质3可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c

b＋d；＞

＞

＜

＞

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的

一种.

（

√

）

（3）a＝b⇔ac＝bc.

（

×

）√××2.

设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（

）A.

M＞NB.

M≥NC.

M＜ND.

M≤N√解析：

因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3

＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.

故选A.

3.

已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（

）A.

－1B.0C.1D.2√解析：

因为－2＜b≤－1，所以－4＜2b≤－2.又2＜a≤3，所以－2

＜a＋2b≤1.4.

（2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一

定成立的是（

）A.

a＋c＜b＋cC.

ac＜bc√

02PART研透核心考点比较数（式）的大小（基础自学过关）

A.

M＞NB.

M＜NC.

M＝ND.

不能确定√

2.

〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（

）D.

a3＋b3≥a2b＋ab2√√

＜

不等式的基本性质（师生共研过关）

（1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（

D

）A.

a2＞b2D.

a｜a｜＞b｜b｜D

A.

｜a｜＜｜b｜B.

ac＜bcACD

判断不等式的常用方法（1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；（2）作差法；（3）利用特殊值法排除错误项；（4）构造函数，利用函数的单调性.训练1〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确

的是（

）B.

ab2＞cb2C.

a＋b＞cD.

a2＋c2＞b2√√

不等式性质的应用（师生共研过关）

已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（

）B.21＜a＋2b＜78C.

－12＜a－b＜45√

利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点（1）必须严格运用不等式的性质；（2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先

建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”

不等关系的运算求解范围.训练2

（1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加

书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加

折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，

则参加这三项比赛的总人数至少为

⁠；解析：

设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得

a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋

1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.12

（－3，－

1）

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

m≥nB.

m＞nC.

m≤nD.

m＜n123456789101112131415√

A.

ab＞0B.

ab＜0C.

a＋b＞0D.

a＋b＜0√

1234567891011121314153.

已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（

）A.

若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋dB.

若a＞b，c＞d⇒ac＞bd√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

（1，3）√

1234567891011121314156.

〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（

）B.

｜a｜＜｜b｜D.

（a－1）（b－1）＜1√√√

1234567891011121314157.

（2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比

越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时

增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2

倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最

大为

平方米.

90

123456789101112131415

－1，1（答案不唯一）

1234567891011121314159.

（13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.（1）求实数a，b的取值范围；

123456789101112131415（2）求3a－2b的取值范围.

123456789101112131415

A.

p＜m＜nB.

p＜n＜mC.

m＜p＜nD.

n＜p＜m√

123456789101112131415

√

12345678910111213141512.

〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞

c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（

）B.

a－c＞2bC.

a2＞b2D.

ab＋bc＞0√√

123456789101112131415

（0，2）

12345678910111213141514.

（15分）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.（1）求证：b＋c＞0；解：

证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所

以b＋c＞0.123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

15.

〔创新设问〕在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服

务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长

之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，