第5节　幂函数与二次函数

第5节幂函数与二次函数课标要求1.

通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.

掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；（2）常见的五种幂函数的图象y＝xα

①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点

和

，且在

（0，＋∞）上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点

，且在（0，＋∞）上单

调递减；④当α为奇数时，y＝xα为

，当α为偶数时，y＝xα为

⁠

⁠.（3）幂函数的性质（1，1）

（0，0）

（1，1）

奇函数

偶函

数

2.

二次函数解析式的三种形式（1）一般式：f（x）＝

（a≠0）；（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为

⁠

⁠；（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f

（x）的

⁠.ax2＋bx＋c

（h，

k）

零点

3.

二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a

＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象

定义域RR值域

解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a

＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）单调性对称性函数的图象关于直线x＝

⁠对称

∞）

提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小

于零两种情况讨论.

1.

幂函数的性质（1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记

为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象

越远离x轴（简记为“指大图高”）；（2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数

的图象都不过第四象限；（3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，

0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数

的公共点；

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.

（

√

）（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.

（

×

）（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

（

√

）×√×√

B.4√

A.

[2，＋∞）B.

[－2，＋∞）C.

（－∞，2]D.

（－∞，－2]√

4.

若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m

与n的取值情况为（

）A.

－1＜m＜0＜n＜1D.

－1＜n＜0＜m＜1√解析：

幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递

增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在

（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜

0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D.

5.

已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，

且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为

⁠.解析：由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－4（a＞0），又图象过原点，

所以f（0）＝4a－4＝0，a＝1，所以f（x）＝（x－2）2－4＝x2－4x.f（x）＝x2－4x

02PART研透核心考点幂函数的图象与性质（基础自学过关）1.

（2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f

（x）的解析式可能是（

）C.

y＝x3√

2.

〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常

数），则下列说法正确的是（

）A.

函数f（x）的图象恒过定点（0，0）B.

当α＝－1时，函数f（x）是减函数C.

当α＝3时，函数f（x）是奇函数√√

3.

已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b

＝f（e），c＝f（1），则（

）A.

b＜c＜aB.

c＜b＜aC.

a＜b＜cD.

c＜a＜b√

1.

对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区

域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞

1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其

单调性进行比较.二次函数的解析式（师生共研过关）

〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－

1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.

法三（利用二次函数的零点式）

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，

x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

求二次函数解析式的方法训练1

（1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f

（x）＝（

B

）A.

x2－2x＋1B.

x2＋2x＋1C.

2x2－2x＋1D.

2x2＋2x－1

B（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段

长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）

＝

x2－4x＋3

.解析：

（零点式）

因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所

以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为

2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）

（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所

以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2

－4x＋3.x2－4x＋3二次函数的图象与性质（定向精析突破）考向1

二次函数的图象

（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则

（

C

）A.

f（m＋1）≥0B.

f（m＋1）≤0C.

f（m＋1）＞0D.

f（m＋1）＜0

C（2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，

图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（

AD

）A.

b2＞4acB.

2a－b＝1C.

a－b＋c＝0D.

5a＜bAD

识别二次函数图象应学会“三看”考向2

二次函数的单调性与最值

已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g

（t）.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间

定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的

位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分

类讨论.训练2

（1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是

（

D

）D解析：

A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞

0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，

a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D.

（2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2

－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的

取值范围是（

C

）A.

[0，＋∞）B.

（－∞，0]C.

[0，4]D.

（－∞，0]∪[4，＋∞）C解析：由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线

x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得

0≤a≤4.

A.

（0，4]B

一元二次方程根的分布

关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.（1）一个根小于2，一个根大于4；解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m.

（2）有两个不相等的正根；

（3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；

（4）两个不相等的根都在（0，2）内.

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.2B.3D.

－1解析：

由题意可得α＞0且α为奇数，所以α＝3，故选B.

123456789101112131415√

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

b＜a＜cD.

c＜a＜b

√1234567891011121314153.

若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则

g（x）的解析式为（

）A.

g（x）＝2x2－3xB.

g（x）＝3x2－2xC.

g（x）＝3x2＋2xD.

g（x）＝－3x2－2x

√1234567891011121314154.

已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函

数f（x）的图象可能是（

）解析：

由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开

口向上，排除A、C；又f（0）＝c＜0，排除B.

故选D.

√1234567891011121314155.

已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函

数y＝x2－2x的图象上，则（

）A.

y1＜y2＜y3B.

y3＜y2＜y1C.

y1＝y3＜y2D.

y2＜y1＝y3解析：

二次函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴方程为x

＝1，而（1－m）＋（1＋m）＝2，所以y1＝y3，当x＞1时，函数单调递

增，因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以y2＜y3，综上，y2＜y1＝y3.√1234567891011121314156.

〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列

结论正确的有（

）A.

m＝1B.

函数f（x）在定义域内单调递减C.

f（－2）＜f（3）D.

函数f（x）的值域为（0，＋∞）√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任

意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范

围为

⁠.解析：二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a

－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即

f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0

或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）.（－∞，0]∪[3，＋∞）

123456789101112131415

4

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415（2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围.

123456789101112131415

A.

③⑦B.

③⑧C.

④⑦D.

①⑤√123456789101112131415

12345678910111213141511.

函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a

的取值范围是（

）A.

[0，2]B.

[2，4]C.

[0，4]D.

[4，＋∞）解析：

解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－

2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f

（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此

时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a

取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取

值范围是[2，4].√12345678910111213141512.

〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个

零点x1，x2，以下结论正确的是（

）A.

a＜1C.

f（－1）＝f（3）D.

函数y＝f（｜x｜）有四个零点√√√123456789101112131415

12345678910111213141513.

已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于

1，则实数a的取值范围是

⁠.解析：关于x的方程ax