微专题 数列中的构造问题

微专题数列中的构造问题求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘

法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为

特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解.

an＋1＝pan＋f（n）型考向1

形如an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，n∈N*，则an＝

⁠

⁠.

3n－2

考向2

形如an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）

〔一题多解〕在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6

（n∈N*），则{an}的通项公式为

⁠.

an＝3n－2（n－1）

法二

因为an＋1＝3an＋4n－6（n∈N*），所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6

＋2n＝3[an＋2（n－1）]，因为a1＝3，所以a1＋2×（1－1）＝3，所以

{an＋2（n－1）}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2（n－1）＝

3·3n－1＝3n，所以an＝3n－2（n－1）.考向3

形如an＋1＝can＋dn（c≠0，1，d≠0，1）

已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}

的通项公式为（

）A.

an＝（2n＋1）·3nB.

an＝（n－1）·2nC.

an＝（2n－1）·3nD.

an＝（n＋1）·2n√

形式构造方法an＋1＝can＋d引入参数λ，构造新的等比数列{an－λ}an＋1＝can＋dn＋b引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝can＋dn两边同除以dn＋1，构造新的数列{}

D

√

（3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列.

“特征根法”求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式

已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*），则

an＝

⁠.

1＋2n－1

特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式，an＋2＝pan＋1＋qan对应

于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.（1）若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，

B由a1，a2的值决定；（2）若特征根方程只有一个实根α，则an＝（An＋B）·αn，A，B由

a1，a2的值决定.

1.

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1（n∈N*），则

通项公式an＝（

）A.

2nB.

2n－1C.

2n＋1D.

2n√解析：

因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，因此Sn＋1＋1＝2（Sn

＋1）.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等

比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，

a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1（n∈N*）.

√

3.

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an（n∈N*），则an

＝（

）√

4.

〔多选〕已知数列{an}，下列结论正确的有（

）A.

若a1＝2，2（n＋1）an－nan＋1＝0，则an＝n·2nB.

在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3（n≥2），则数列{an}的通项

公式为an＝2n＋1－3D.

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式

为an＝2n－n＋1√√

C.

{an}为递减数列√√√

6.

若x＝1是函数f（x）＝an＋1x4－anx3－an