40.新定义问题教学课件

1/140.新定义问题1.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A.a＝－2B.点（22，0）在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4解析：ABD对于A：设曲线上的动点P（x，y），则x＞－2且（x－2）2＋y2×｜x－a｜＝4，因为曲线过坐标原点，故（0－2）2＋02×｜0－a｜＝4，解得a＝－2，故A正确.对于B：又曲线方程为（x－2）2＋y2×｜x＋2｜＝4，而x＞－2，故（x－2）2＋y2×（x＋2）＝4.当x＝22，y＝0时，（22－2）2×（22＋2）＝8－4＝4，故（22，0）在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2＝16（x+2）2－（x－2）2，取x＝32，则y2＝6449－14，而6449－14－1＝6449－54＝256－24549×4＞0，故此时y2＞1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于2.（2024·北京高考21题）已知集合M＝{（i，j，k，w）｜i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i＋j＋k＋w为偶数}.给定数列A：a1，a2，…，a8和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt＝（it，jt，kt，wt）∈M（t＝1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i1，j1，k1，w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T1（A）；将T1（A）的第i2，j2，k2，w2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T2T1（A）；……；以此类推，得到数列Ts…T2T1（A），简记为Ω（A）.（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a1＋2，a2＋6，a3＋4，a4＋2，a5＋8，a6＋2，a7＋4，a8＋4？若存在，写出一个Ω，若不存在，说明理由；（3）若数列A的各项均为正整数，且a1＋a3＋a5＋a7为偶数，求证：“存在序列Ω，使得Ω（A）的各项都相等”的充要条件为“a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8”.解：（1）Ω（A）：3，4，4，5，8，4，3，10.（2）不存在.理由如下：若存在Ω，则a1，a2与a3，a4增加值之和应该相等，注意到a1，a2一共增加了8，而a3，a4一共增加了6，从而不存在符合题意的Ω.（3）证明：因为存在序列Ω，使得a1＝a2＝…＝a8，所以a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8.又每次进行变换时，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8均增加1，故经过n（n∈N*）次变换后，a1＋a2＋n＝a3＋a4＋n＝a5＋a6＋n＝a7＋a8＋n，可得a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8恒成立.如果a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，且还有a1－a2＝a3－a4＝a5－a6＝a7－a8＝0，则有a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝a6＝a7＝a8，即Ω（A）为常数列，由于每次变换后均有a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，故我们只需证明可在某一步变换后有a1－a2＝a3－a4＝a5－a6＝a7－a8＝0.设（S1，S2，S3，S4）＝（a1－a2，a3－a4，a5－a6，a7－a8），从而（S1，S2，S3，S4）在每次变换后相当于在偶数个位置上加1，其余减1，由a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，可得初始情况下S1，S2，S3，S4同时为奇数或同时为偶数.不妨设为偶，则a1＋a3＋a5＋a7为偶，所以S1＋S2＋S3＋S4为4的倍数，且在变换后仍同时为奇数或同时为偶数，且和为4的倍数.经过若干次变换后，不妨设max｜Si｜达到最小值，且取max｜Si｜的Si最小，不妨设成｜S1｜且S1＞0.当S1≥2时，①假设还有｜S2｜≥2.若S2≥2，则（S1，S2，S3，S4）→（S1－1，S2－1，S3－1，S4－1）→（S1－2，S2－2，S3，S4），若S2≤－2，则（S1，S2，S3，S4）→（S1－1，S2＋1，S3－1，S4＋1）→（S1－2，S2＋2，S3，S4），（*）总可使｜S1｜，｜S2｜同时减小，与假设矛盾.②假设｜S2｜，｜S3｜，｜S4｜＜1，若S2，S3，S4中有小于零的，设为S2，同（*）即可，若S2，S3，S4均大于等于零，所有位置同时减2，与假设矛盾.当S1≤1时，Si要么为0，要么为±1，由于S1＋S2＋S3＋S4是4的倍数，只可能为以下几种及其轮换：a.（0，0，0，0），b.（1，1，－1，－1）→（0，0，0，0），c.（1，1，1，1）→（0，0，0，0），d.（－1，－1，－1，－1）→（0，0，0，0），故均与假设矛盾，即max｜Si｜最小值为0，即总能使得（S1，S2，S3，S4）→（0，0，0，0），即存在序列Ω，使得Ω（A）为常数列.3.（2024·新高考Ⅰ卷19题）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列.（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列；（3）从1，2，…，4m＋2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞18解：（1）（i，j）＝（1，6），（1，2），（5，6）.（2）证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，可分成三组：a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，每组均为公差为3d的等差数列，∴m＝3时符合.当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m＋2去掉a2，a13以后，分成m组，只需让前面的3组还按m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，后面的每4个相邻的项一组即可，即a15，a16，a17，a18；…；a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2，每一组都能构成等差数列，∴数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列.（3）易知a1，a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列⇒1，2，…，4m＋2是（4p＋1，4q＋2）—可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}.当0≤p≤q≤m时，删去4p＋1，4q＋2，其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列1，2，…，4m＋2是（4p＋1，4q＋2）—可分数列，可分为（1，2，3，4），…，（4p－3，4p－2，4p－1，4p），…，（4（q＋1）－1，4（q＋1），4（q＋1）＋1，4（q＋1）＋2），…，（4m－1，4m，4m＋1，4m＋2）.p，q的可能取值方法数为Cm+12＋m＋1易知a1，a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列⇒1，2，…，4m＋2是（4p＋2，4q＋1）—可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}.当q－p＞1时，删去4p＋2，4q＋1，将1～4p与4q＋3～4m＋2从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列.考虑4p＋1，4p＋3，4p＋4，…，4q，4q＋2是否可分，等同于考虑1，3，4，…，4t，4t＋2是否可分，其中t＝q－p＞1，可分为（1，t＋