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微专题几何法求空间角与距离

几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平

面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.

几何法求空间角角度1

求线线、线面角

（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1

的中点，则直线PB与AD1所成的角为（

D

）D

（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱

PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（

D

）D

几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这

个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所

成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求

角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂

线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射

影所成的角就是所求角的平面角.角度2

求二面角

A.30°B.45°C.60°D.75°C

（2）（2025·广东佛山二模）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面

是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝

CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（

D

）A.1B.2D

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面

内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂

线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

几何法求距离

（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝

2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（

A

）D.4A

（2）（2025·江西一模）已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆

周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母

线，则点P到平面ABC的距离为（

D

）A.4C.3D

1.

求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解.2.

求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可

根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.

√

A.3πB.2πC.π√

3.

（2026·河北唐山模拟）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M，

N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（

）√

B.1C.2D.3√

5.

〔多选〕（2026·湖北武汉调研）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-

A1B1C1D1中，O为BD

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