第4节　空间直线、平面的垂直

第4节空间直线、平面的垂直课标要求1.

了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.

能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的

直线都垂直，我们就说

直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直

线l的垂面；任意一条

（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定

理如果一条直线与一个平面内的

两条

直线垂直，那么

该直线与此平面垂直

性质定

理垂直于同一个平面的两条直

线

⁠

相交

平行

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的

所成的角，叫做这条直

线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是

，一

条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是

⁠；②范围：

⁠.射影

0

（3）直线和平面所成的角2.

平面与平面垂直（1）二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半

平面内分别作

的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面

角的平面角；③范围：

⁠.两个半平面

垂直于棱

[0，π]

（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角

是

，就说这两个平面互相垂直；（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面

的

，那么这两个平面

垂直

性质定理两个平面垂直，如果一个平面

内有一直线垂直于这两个平面

的

，那么这条直线与

另一个平面垂直

直二面角

垂线

交线

3.

空间距离（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足

间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该

平面的距离；（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意

一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的

任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面

间的距离.

1.

若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.

垂直于同一条直线的两个平面平行.3.

一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也

垂直.4.

两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个

平面.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.

（

×

）（2）垂直于同一个平面的两平面平行.

（

×

）（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平

面.

（

×

）（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.

（

×

）××××2.

已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的

（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分又不必要条件√解析：

n⊂α，m⊥n⇒/

m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n⊂α，则

m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.3.

如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一

点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（

）A.

平面ABC⊥平面BCDB.

平面BCD⊥平面ACDC.

平面ABD⊥平面ACDD.

平面BCD⊥平面ABD√解析：

因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直

于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为

BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故选B.

02PART研透核心考点直线与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：（1）CD⊥AE；证明：在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）PD⊥平面ABE.

证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.

又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.

证明线面垂直的常用方法及关键（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传

递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

④面面垂直的性质；（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面

垂直的性质.训练1如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面

PBC，E为垂足.（1）求证：PA⊥平面ABC；证明：

如图，在平面ABC内取一点D，过点D作

DF⊥AC于点F.

因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF⊂平面

ABC，所以DF⊥平面PAC.

因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.

过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.

因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.

（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.证明：

如图，连接BE并延长交PC于点H.

因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.

又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.

因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE.

又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.

由（1）知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.

因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.平面与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）

（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面

ABC，∠ACB＝90°.（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；解：

证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.

（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.

因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.

因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以

BC⊥AA1.因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.

因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD.

因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面

BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.

因为AA1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.

1.

判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.2.

已知面面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交

线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.训练2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面

ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点.求证：（1）PE⊥BC；证明：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.

（2）平面PAB⊥平面PCD.

证明：因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面

ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面

PAB，又因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.

平行与垂直的综合问题（师生共研过关）

如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正

方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；解：

证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.

设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则

MN∥BD，连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，所以四边形FMNG为平行四边形，所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.

由于AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD.

所以FG⊥AE，又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE.

所以FG⊥平面ACE.

又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.

（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的

长；若不存在，请说明理由.

1.

垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综

合应用.2.

对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，

利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.训练3在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面

ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.（1）在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，

给出证明；若不存在，请说明理由；证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

解：

存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.

三垂线定理及其逆定理1.

三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，

则l⊥PC.

2.

三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，

l⊥PC，则l⊥CO.

（1）〔多选〕如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中

点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（

）√√解析：

由三垂线定理易知B、C正确.（2）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝

2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD.

求证：PC⊥CD.

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则

“m⊥n”是“m⊥β”的（

）A.

必要不充分条件B.

充分不必要条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√解析：

如图所示，当m⊥n时，显然m与平面β不垂直，

反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，

所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.故选A.

2.

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1

在底面ABC上的射影H必在（

）A.

直线AB上B.

直线BC上C.

直线AC上D.

△ABC内部√解析：

连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，

AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面

ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.

√

4.

如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为

G，H.

为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（

）A.

EF⊥平面αB.

EF⊥平面βC.

PQ⊥GED.

PQ⊥FH√解析：

因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.

若EF⊥平面

β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.

又EG与EF为相交直线，且EG，

EF⊂平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.

5.

〔多选〕设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，则下述

四个命题正确的是（

）A.

若m∥n，则n∥α或n∥βB.

若m⊥n，则n⊥α或n⊥βC.

若n∥α且n∥β，则m∥nD.

若n与α，β所成的角相等，则m⊥n√√

6.

〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷9题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的

中点，则（

）A.

AD⊥A1CB.

B1C1⊥平面AA1DC.

AD∥A1B1D.

CC1∥平面AA1D√√解析：

A.

由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假

设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥

平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；B.

因为三棱柱

ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为

BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平

面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，

故B正确；C.

AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；

D.

CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面

AA1D，故D正确.故选B、D.

7.

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则

△ABC的形状为

⁠.解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，

PB⊥BC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所

以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.直角三角形

8.

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相

等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②

DM⊥PC，③BM⊥PC中的

时，平面MBD⊥平面PCD

（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.②（或③）

解析：连接AC（图略），因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.

因为底面各边都相等，所以AC⊥BD.

因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.

当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.

9.

（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD

为菱形，E为CD的中点.（1）求证：BD⊥平面PAC；证明：

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所

以PA⊥BD.

因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.

又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.

（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.

证明：

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所

以PA⊥AE.

因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中

点，所以AE⊥CD.

所以AB⊥AE.

又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以AE⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.

10.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动

点，则满足与DD1垂直的直线MN有（

）A.1条B.2条C.3条D.

无数条√解析：

如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接

DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有

DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.

因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN，所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条.11.

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1

的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ＝

（

）D.1√解析：

由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，

A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面A