微专题　空间直角坐标系的构建策略

微专题空间直角坐标系的构建策略

坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运

用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐

标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利

用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见

的建系方法予以说明.建立空间直角坐标系的策略：策略一：利用共顶点且相互垂

直的三条棱建系

策略二：利用线面垂直建系

策略三：利用面面垂直建系

策略四：利用正棱锥的中心与

高所在直线建系

利用共顶点且互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系

如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD

＝1，AE＝BC＝2CF＝2.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.建系方法

由AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，则AE⊥AB，AE⊥AD，

又AD⊥AB，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，AB＝AD＝1，AE＝

BC＝2CF＝2.所以B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）.

利用互相垂直的三条棱建系策略

“利用互相垂直的三条棱建系”的核心是“找原点→定三轴→标坐

标”，关键在于识别几何体中“天然垂直的三条棱”，优先选择包含已知

条件的棱作为坐标轴，确保轴的两两垂直性.这种方法适用于大多数“有

垂直侧棱或垂直底面”的几何体，是空间几何问题中最基础、最高效的建

系策略之一.

利用线面垂直关系构建空间直角坐标系

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝CD＝1，AB＝BC＝

2，PC＝3，AB∥CD.

（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求平面APD与平面PDC所成角的余弦值.建系方法

由题干和（1）知，PA⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，故

PA⊥AB，AB⊥BC，得不到共顶点且互相垂直的三条棱，因此可以B为

原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D

（1，2，0），P（2，0，1）.

利用线面垂直关系建系策略

在空间几何问题中，当几何体不存在天然的“三条互相垂直的棱（如

长方体、正方体的棱）”时，线面垂直关系是构建空间直角坐标系的核心

依据.采用此种方法建系要注意的是：①要尽可能利用题中的垂直关系；

②要使点的坐标求解尽可能简单（有时一些点的坐标求解需要利用平行或

比例关系，或化归到三角形中利用正、余弦定理求解）.

利用面面垂直关系构建空间直角坐标系

如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为

BD的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且

二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

利用面面垂直关系建系策略

利用面面垂直关系建立空间直角坐标系，是解决立体几何问题（如求

线面角、二面角、空间距离等）的核心方法之一，其核心思路是借助两个

垂直平面的交线，在交线上找一点，分别在两个平面内作交线的垂线，从

而构造出三条两两垂直的直线作为坐标轴.

利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系

如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面

ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）求异面直线AP，BC所成角的大小；（2）在线段AP上存在点M且AM＝3，探究二面角A-MC-B的大小并说

明理由.建系方法

如图，以O为坐标原点，过O点作OE∥DB交AB于点E，OE

所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐

标系，则A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）.

正棱锥的“中心-高建系法”本质是利用几何体的对称性搭建“便捷坐

标系”，其核心思路是依托正棱锥的对称性，将坐标系的原点、坐标轴与

几何体的关键结构（底面中心、高、底面边的中垂线等）重合，其核心步

骤可概括为：定中心（原点）→立高（z轴）→找基准（x轴）→补垂直

（y轴）→算坐标.

1.

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点A1在底面ABC上的射影

恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.（1）求证：A1C1⊥平面ABB1A1；解：

证明：因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，

AB⊥AC，所以A1C1⊥A1B1，因为点A1在底面ABC上的射影恰为点B，AC⊂平面

ABC，所以A1B⊥AC，所以A1B⊥A1C1，又A1B∩A1B1＝A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面

ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.（2）求AA1与BC所成的角的大小；

（1）求AA1与BC所成角的余弦值；解：

连接A1B，因为A1在平面ABC上的射影为B，

所以A1B⊥平面ABC，取AC的中点F，连接