重难专攻7　三角函数、解三角形中的创新交汇问题

重难专攻7三角函数、解三角形中的创新交汇问题重难解读

随着高考改革的不断深入，各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，

以三角形为背景，其考查的知识内容和范围，涉及平面几何、立体几何、

不等式、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识解题的灵活性要

求有所加强，应予以重视.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测03三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题（师生共研过关）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴

上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，记∠PnAPn＋

1＝θn，n∈N*.

三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题，通常将已知条件转化为

三角函数问题，或利用正、余弦定理进行边角互化，可以考查几何体中的

线段长度或几何体角度之间的关系，或者构造长度、角度的函数求最值.

（1）求｜z｜；

①证明：△ABC是直角三角形；②求△ABC的面积.

三角函数、解三角形的新定义问题（师生共研过关）

如果存在实数对（m，n），使函数f（x）＝m

sin

ωx＋n

cos

ωx

（x∈R），那么我们就称函数f（x）为实数对（m，n）的“ω型正余弦

生成函数”，实数对（m，n）为函数f（x）的“ω型正余弦生成数对”.

（2）若实数对（k，－1）的“2型正余弦生成函数”y＝h（x）在x＝x0

处取得最大值，其中2＜k＜3，求tan

4x0的取值范围.

三角函数、解三角形新定义问题的解题思路（1）找出新定义中包含的要素及其所代表的意义；（2）把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；（3）利用三角函数的公式、性质，正、余弦定理等解答问题.

（2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B，

C；D）＝－4，求△ABC的周长；

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：68分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是

（

）A.

f（x）＝sin（tan

x）B.

f（x）＝tan（sin

x）C.

f（x）＝cos（tan

x）D.

f（x）＝tan（cos

x）12345678√

12345678

√12345678

12345678

12345678

12345678

B.

f（θ）＋f2（θ）≥0D.

f（θ）g（θ）是周期函数√√√12345678

12345678

12345678

12.4

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

123456788.

（17分）（2026·江西萍乡模拟）已知x∈R，n为正整数，对于函数fn

（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，若对任意的θ，都有fn（cos

θ）＝cos

nθ，则称fn（x）为n次切比雪夫函数.例如：因为cos

2x＝2

cos2x－1，所以f2（x）＝2x2－1为二次切比雪夫函数.（1）求f3（x）；解：

因为

cos

3θ＝cos

θcos

2θ－sin

θsin

2θ＝cos

θ（2cos2θ

－1）－2sin2θcos

θ＝4cos3θ－3cos

θ，所以f3（x）＝4x3－3x.12345678（2）证明：对任意正整数n，都有fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）；解：

证明：因为cos[（n＋2）x]＝cos[（n＋1）x＋x]＝cos

[（n＋1）x]·cos

x－sin[（n＋1）x]·sin

x，cos

nx＝cos[（n＋1）x

－x]＝cos[（n＋1）x]·cos

x＋sin[（n＋1）x]·sin

x，两式相加得cos

[（n＋2）x]＋cos

nx＝2cos

x·cos[（n＋1）x]，即fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）.12345678

12345678令t＝x2≥0，得h（t）＝16t3－24t2＋9t＋k，则h'（t）＝48t2－48t＋9，①当x＞1时，即t＞1时，h'（t）＞h'（1）＝9＞0，则h（t）在（1，＋

∞）上单调递增，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，即x＞1时，g（x）＞g（1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g

（x）在（1，＋∞）上无零点；②当x＜－1时，t＞1，h'（t）＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递

增，则g（x）在（－∞，－1）上单调递减，