重难专攻8　数列的奇偶项问题

重难专攻8数列的奇偶项问题重难解读

数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.已知奇偶项（师生共研过关）

1.

已知数列的奇偶项求前n项和的策略

（2）当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其

中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an.2.

对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－

2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关

系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求

出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.

（1）是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ

的值；若不存在，请说明理由；

（2）求数列{an}的前2k－1项和S2k－1.

通项含有（－1）n型（师生共研过关）

已知数列{an}满足an＝（－1）nn（n＋1），求数列{an}的前n项和Sn.

对n分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解.当项数不确定

时，要分奇数和偶数讨论求解.训练2

（2026·陕西安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3

＝13，S6＝36.（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n

项和T2n.

通项含有三角函数型（师生共研过关）

已知数列{an}满足an＝2n－1，设bn＝an·cos

nπ，试求数列{bn}的前

n项和Sn.

（1）求数列{an}的通项公式；

数列中连续两项和或积问题（师生共研过关）

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.（1）求数列{an}的前100项和S100；解：

因为an＋1＋an＝4n，所以S100＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a99＋a100）＝4×1＋4×3＋…

＋4×99＝4×（1＋3＋5＋…＋99）＝4×502＝10

000.（2）求数列{an}的通项公式.解：由题意，an＋1＋an＝4n，

①an＋2＋an＋1＝4（n＋1），

②

2.

若an＋an－1＝dn，则an＋1＋an＝d（n＋1），相减得an＋1－an－1＝d.

当n为奇数时，数列为以a1为首项，d为公差的等差数列；当n为偶数时，

数列为以a2为首项，d为公差的等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求Sn.

课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：66分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.0B.100C.

－100D.10

2001234567√解析：

由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42

＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）－（4＋3）

＋…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3

＋…＋100＋101）＝－50×101＋50×103＝100.2.

已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，an＋1·an＝2n（n∈N*），则

S2

026＝（

）A.22

026－1B.3×21

013－1C.3×21

013－2D.3×21

013－3√

12345673.

〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1·（an－n）＋

n，记{an}的前n项和为Sn，则（

）A.

a48＋a50＝100B.

a50－a46＝4C.

S48＝600D.

S49＝601√√√1234567

1234567

an＝3n

1234567

12345675.

（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等

差中项.（1）求数列{an}的通项公式；解：

因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝Sn＋2，

①当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2，

②①－②得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1（n≥2），又a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.1234567（2）若bn＝（－1）n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

1234567

（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

1234567（2）求{an}的前20项和S20.

12345677.

（15分）（2026·河北衡水调研）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋

4n（n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；解：

由题意得，当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－（n－1）2－4（n－1）＝2n＋3，当n＝1时，a1＝5适合上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋3.1234567（2）若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*

都成立，求c1的取值范围.

1234567

1234567②当n为偶数时，n≥