《风险模型》课件8 保费原理

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风险度量孟生旺保费计算原理引言：如何计算风险附加个体风险的损失分布如下：均值=60损失大于均值的概率=0.4060损失大于100的概率=0.1546损失大于150的概率=0.0404损失大于199的概率=0.01注：破产风险不超过1%，风险保费为199，风险附加为199-60=139#个体风险shape=2scale=30x=seq(0.1,200,0.1)y=dgamma(x,shape=shape,scale=scale)plot(x,y,type='l',lwd=3,col=2,main='Gamma(shape=2,scale=30)',ylab='f(x)')mu=shape*scale1-pgamma(mu,shape=shape,scale=scale)1-pgamma(c(100,150,200),shape=shape,scale=scale)

#n个独立同分布的风险n=10000shape2=shape*nx2=seq(570000,630000,1)y2=dgamma(x2,shape=shape2,scale=scale)plot(x2,y2,type='l',lwd=3,col=2,main='Gamma(shape=20000,scale=30)',ylab='f(x)')mu2=shape2*scale1-pgamma(mu2,shape=shape2,scale=scale)qgamma(1-0.01,shape=shape2,scale=scale)保费=纯保费+风险附加+利润附加+费用附加100个独立同分布的个体风险的损失之和：总均值=6000，每份保单的均值=60损失大于均值的概率=0.4906损失大于7031的概率=0.01注：破产风险不超过1%，每份保单的风险保费大约70.31，风险附加=10.3110000个独立同分布的个体风险的损失之和：总均值=600000，每份保单的均值=60损失大于均值的概率=0.499损失大于609914的概率=0.01注：破产风险不超过1%，每份保单的风险保费=60.99，风险附加=0.99保费原理（PremiumPrinciples）风险保费：纯保费+风险附加保费原理：将随机损失转化为风险保费的一个函数。符号：X

损失随机变量（风险）H保费原理H(X)风险保费（1）纯保费原理

适用于风险中性的保险人。

（2）期望值原理

r

≥0（3）方差原理（4）标准差原理

（5）指数原理

其中

r>0为风险厌恶系数。风险保费随着r

的增加而增加（练习）。当r0时，指数保费=纯保费。r越大，风险保费越高。shape=2;scale=500GAM=function(a)-shape*log(1-scale*a)/acurve(GAM(x),xlim=c(0,1/501),xlab='指数原理的风险厌恶系数',ylab='指数保费原理下的风险保费',col=2,lwd=3)text(0.0007,4000,'X~Gamma(shape=2,scale=500)')text(0.0007,5000,expression(H(r)==frac(1,r)*log(E(e^{r*X}))))（6）零效用原理

其中u(.)是保险公司的效用函数R为保险公司的资本金P为风险保费

若令R=0，则有注：效用是消费商品或服务时，你主观上感受到的满足或快乐的程度。

效用函数的经济学含义：风险厌恶:凹效用函数（边际效用递减）风险中性:线性效用函数风险追求:凸效用函数CARA:绝对风险厌恶系数不变，适用于加法风险CRRA:相对风险厌恶系数不变，适用于乘法风险例：若效用函数，则零效用原理=指数原理。零效用原理：

左边：

右边：令两边相等:（7）Esscher原理

是对X的加权平均，权数随着X的增大而增大：Esscher保费也可以表示为：其中：表示X

的矩母函数可以证明（练习），越大，Esscher保费越大。当

很小时，Esscher原理近似于方差原理：（一阶泰勒近似）（7）资本成本原理（Cost-of-CapitalPremiumCalculationPrinciple）其中，i是资本收益率例：计算个体风险的保费（自上而下的方法）承保上述业务的资本为R，则破产概率不超过e的保费为（参见破产理论）：

保险公司承保n个相互独立的风险：上式为指数保费原理，

为风险厌恶系数。

破产概率的上界（Lundberg上界）当a较小时，指数原理的风险保费可以近似表示为由此可得方差原理：

即当风险厌恶系数a较小时，指数原理近似于方差原理。

假设资本的收益率为i，则考虑资本成本（利润附加）的保费可以表示为

问题：当资本占用R

多大时，上述保费最具市场竞争力，即保费最小？风险附加利润附加

上式对R求导数并令其为零，可得最优资本为（注：此时安全附加=利润附加）

（三个影响因素）故最具竞争力的总保费为

总保费个体风险的保费之和

小结：假设总风险为，如何计算总保费和个体风险Xj的保费？第一步：根据总风险S

计算最优资本：第二步：应用方差原理计算个体风险Xj的保费：验证：个体风险的保费之和等于总保费

例：假设风险集合包含两类风险，相互独立，其中风险X的损失分布为风险Y

的损失分布为

风险均值（1/

）方差（1/

2）X（=0.2）525Y（=1）11总风险626

风险X的保费风险Y的保费总保费34.68.331.139.46应用方差原理计算个体风险的保费：总保费及其分配

风险均值