湘教版数学八年级下册 1.5.1 矩形的性质 同步分层练习

湘教版数学八年级下册1.5.1矩形的性质同步分层练习一、夯实基础1．（2023八下·中山期末）下列选项中，矩形一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角2．（2025八下·惠阳期中）下列命题是假命题的是（）A．有三个角为直角的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形；D．矩形的对角线相等且互相平分．3．（2024八下·镇海区期末）已知矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不一定正确的是()A．AC=BD B．OA=OB C．4．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．53 5．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，若∠AOB=60°,BD=63，则DCA．43 B．33 C．6 6．（2024八下·防城港期末）如图，已知矩形ABCD中，OC=CD，则∠BOC度数为（）A．80° B．100° C．120° D．140°7．（2025八下·东莞月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，∠ACB=30°，则BC的长度为．8．（2024八下·莆田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为．9．（2024八下·忠县期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为．10．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AC=13，则四边形ABOM的周长为11．（2024八下·诸暨期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且BC=BE，∠ABE=40°，求∠ECD的度数．12．（2024八下·陆丰期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD=8，∠AOD=120°．求边AB的长．二、能力提升13．（2025八下·岳阳期中）顺次连结任意四边形ABCD四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形 B．菱形C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形14．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB=4,AD=8，则AE的长为（）A．33 B．3 C．4 D．15．（2024八下·南昌期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（）A．5 B．52 C．5316．（2023八下·丛台月考）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．17．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=3，则BC的长是．18．（2025八下·岳阳期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E为BC的中点．若AB=6，BC=8，则△AOE的周长为．19．（2024八下·黔东南期末）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点P处，连接BP，若AB=2，BC=3，则BP的最小值为．20．（2024八下·武威期中）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）求证：AE=EF．（2）已知AB=4，AF=6，求AD的长．21．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．将矩形沿直线MN折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求线段AN的长．三、拓展创新22．（2024八下·岳阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE．请你选择一位同学的说法，并进行证明．23．（2024八下·宁波期末）如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG，EG，EG交BD于点M．（1）求证：BE⊥AO．（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．（3）如图2，当▱ABCD为矩形时，若AB=4，求四边形BEFG的面积．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；

B、C、D均为菱形所具有的性质，

故答案为：A.

【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、“有三个角为直角的四边形是矩形”是真命题，则此项不符题意；B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，则此项不符题意；C、“对角线相等的平行四边形是矩形”，则原命题是假命题，此项符合题意；D、“矩形的对角线相等且互相平分”是真命题，则此项不符题意；故答案为：C．

【分析】根据矩形的判定与性质、平行四边形的判定逐项判断即可得．3．【答案】C【解析】【解答】

解：∵四边形ABCD为矩形

∴AC=BD，OA=OB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°

因此：A，B，D正确，C错误

故选C.

【分析】依据矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分，可以判定A，B，D的正确性，对角线相等不是矩形的性质，因此C是错误的.

4．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=2OB=10，故答案为：A．

【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，∴DO=CO=1∵∠AOB=∠COD=60°∴△ODC为等边三角形．∴DC=OD=33故选：B．【分析】根据矩形性质可得DO=CO=16．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵OC=CD，∴OC=OD=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠BOC=120°；故答案为：C.

【分析】先利用矩形性质及等量代换可得OC=OD=CD，再证出△OCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠COD=60°，最后利用角的运算求出∠BOC=120°即可.7．【答案】2【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=2，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∴BC=A故答案为：23．

8．【答案】4【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形∴OC＝OA，BD＝AC又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4∴BD＝AC＝4故答案为：4．【分析】根据矩形性质即可求出答案.9．【答案】10【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=1，∴BC=AD=1,∠ABC=90°，∴AC=B∴AM=AC=10∴点M表示的数为10−1故答案为：10−1【分析】根据矩形的性质得到BC=AD=1,∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC，再根据边之间的关系即可求出答案.10．【答案】20【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=5，∴AD=BC=AC2∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴OB=1∵M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线，AM=1∴OM=1∴四边形ABOM的周长为：AB+OM+AM+OB=5+5故答案为：20．【分析】由矩形的性质可知OB是Rt△ABC斜边AC上的中线，OM是△ACD的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形ABOM的周长可求．11．【答案】解：∵矩形ABCD，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∵∠ABE=40°，

∴∠AEB=90°−∠ABE=50°，

∵BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC=180°−50°2=65°，

∴∠DEC=180°－∠AEB－∠BEC=180°－50°－65°=65°，

∴∠ECD=90°−∠DEC=90°−65°=25°.

【解析】12．【答案】解：∵∠AOD=120°∴∠AOB=180°−∠AOD=60°

∵四边形ABCD是矩形，BD=8

∴OA=OB=12BD=4

∴△AOB是等边三角形

【解析】【分析】首先根据给定的条件，利用矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，可以得到OA=OB=4。结合已知的∠AOD=120°，可以推导出∠AOB=60°。进而得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可以得到AB=OA=OB=4。13．【答案】D【解析】【解答】解：如图，

设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∵四边形EFGH是矩形，∴HE⊥EF，∵E、F、H分别是AB，∴EH∥BD，∴BD⊥AC，∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形．故答案为：D．【分析】先根据矩形的性质得到HE⊥EF，再利用三角形中位线定理得到EH∥BD，EF∥AC，从而可得14．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAC=∠ACE，

由折叠得，∠DAC=∠FAC，

∴∠ACE=∠FAC，

∴AE=CE，

设AE=CE=x，则BE=8−x，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，AB=4，

∴42+8−x2=x2，

解得x=5，

∴AE=5，

故答案为：D15．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=10，∴BC=A故选：C．【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到AO=BO=CO=DO，进而可证△AOB是等边三角形，所以∠BAC=60°，因此有∠ACB=30°，在Rt∆ABC中，根据勾股定理有BC=A16．【答案】C【解析】【解答】解：由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm，则BE=DE=9−x由长方形的性质可得∠A=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB∴x2解得x=4，∴AE=4cm，∴S△ABE故答案为：C．

【分析】由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm，则BE=DE=9−x17．【答案】3【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，∴OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠ACB=1∴AC=2AB=6，∴BC=A故答案为：33．

【分析】利用矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°18．【答案】8+2【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，∴AD=BC=8，CD=AB=6，∠BAD=90°，∴BD=A∵点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E为BC的中点．∴OE=12DC=3，AO=∴AE=A∴△AOE的周长为AO+OE+AE=5+3+213故答案为：8+213【分析】根据勾股定理求得BD，进而求得AO，根据中位线的性质求得OE，勾股定理求得AE，即可求解．19．【答案】13【解析】【解答】解：∵是四边形ABCD是矩形，BC=3，

∴∠A=90°，AD=BC=3，

∵将△AEF沿EF折叠，使点A落在点P处，

∴∠EPF=∠A=90°，BC=AD=FP=3，

∴当BP⊥EP，即点B，P，F三点共线时，BP的值最小，如下图：

此时点P在对角线BD上，∵AB=2，∴BD=A∴BP=BD−FP=13故答案为：13−3【分析】根据矩形的性质与折叠的性质得∠EPF=∠A=90°，BC=AD=FP=3，从而得当BP⊥EP，即点B，P，F三点共线时，BP的值最小，此时点P在对角线BD上，进而利用勾股定理求得BD=13，最后求出BP=BD−PF20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是CD的中点，∴AD∥CF，DE=CE，∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE=FE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠∵AB=4，AF=6，∴BF=∵△ADE≌△FCE，

∴AD=FC，∵AD=BC，∴BF=2BC=25∴AD=BC=【解析】【分析】（1）先利用AAS证明△ADE≌△FCE，再根据全等三角形的性质可得AE=FE．（2）根据及勾股定理得BF=A（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是CD的中点，∴AD∥CF，DE=CE，∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE=FE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠∵AB=4，AF=6，∴BF=由（1）知△ADE≌△FCE，则AD=FC，∵AD=BC，∴BF=2BC=25∴AD=BC=21．【答案】（1）证明：如图所示，连接AN，由折叠可知∠ANM=∠CNM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM．∴∠ANM=∠AMN，∴△AMN是等腰三角形（2）解：设AN=x，则CN=x，BN=8−x．在Rt△ABN中，根据勾股定理可得A即6解得：x=所以AN的长为25【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出∠ANM=∠AMN，利用等腰三角形的性质，可证得结论.（2）设AN=x，则CN=x，BN=8−x．在Rt△ABN中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．（1）证明：如图所示，连接AN，由折叠可知∠ANM=∠CNM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM．∴∠ANM=∠AMN，∴△AMN是等腰三角形．（2）解：设AN=x，则CN=x，BN=8−x．在Rt△ABN中，根据勾股定理可得A即6解得：x=所以AN的长为25422．【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：如图，连接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE=BD，∵BD=CB，∴AE=CB，又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上，∴AE∥CB，∴四边形AEBC是平行四边形，又∵∠C=90°，∴四边形AEBC是矩形，∴BE⊥CD；②选择小红的说法，证明如下：如图，连接CE，BE，由①可知四边形AEBC是矩形，∴CE=AB，∵四边形