湘教版数学八年级下册 1.5.2 矩形的判定 同步分层练习

湘教版数学八年级下册1.5.2矩形的判定同步分层练习一、夯实基础1．要使▱ABCD成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．AB=CD D．AC=BD2．木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直3．在□ABCD中，有下列条件：①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD．其中能说明ABCDA．① B．② C．③ D．④4．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）.A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面.（填“合格”或“不合格”）6．荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为米.7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且BD=AC，若∠OBA=40°，则∠OBC=9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．求证：四边形AECF为矩形．二、能力提升10．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形，如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（）A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直C．相等 D．互相垂直11．已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（）A．45 B．90 C．140 D．18012．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（）A．1.45米 B．1.50米 C．1.60米 D．1.70米13．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，AM=CN，则下列说法正确的是（）A．若∠AME=90°，则四边形ENFM是矩形B．若MN=2AM，则四边形ENFM是矩形C．若MN=MF，则四边形ENFM是矩形D．若MN=AD，则四边形ENFM是矩形14．如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，BA=10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．515．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为．18．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，顺次连接其各边中点得到四边PQMN，若AC=5，BD=6，那么四边形PQMN的面积为．19．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB=60°，AB=6，求BC的长．20．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．（1）求证：四边形AEFD为矩形；（2）若AB=3，OE=2，BF=5，求DF的长．三、拓展提升21．山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算FG的长度．课题校史馆展柜设计调查方式走访调研、实地察看测量测量过程及计算调研内容及图示相关数据及说明机器人从出口正中心（即HE的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为10cm计算结果……

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、添加AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明▱ABCD为菱形，故A不符合题意；B、添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明▱ABCD为菱形，故B不符合题意；C、添加AB=CD，不可以证明▱ABCD是矩形，故C不符合题意；D、添加AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明▱ABCD为矩形，故D符合题意；故答案为：D．【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.据此逐项进行判断，即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；故答案为：C．

【分析】利用矩形的判定方法（①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形）分析求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：​A、AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；B、AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，正确，该选项符合题意；C、AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；D、AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意．故答案为：B.【分析】根据矩形的判定定理，逐一进行分析即可．4．【答案】C【解析】【解答】①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．5．【答案】不合格【解析】【解答】解：不合格，理由：∵80即：AD∴∠D≠90°，∴四边形ABCD不是矩形，∴这个桌面不合格.故答案为：不合格.【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.6．【答案】5【解析】【解答】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米

∴BE⊥OA

∵AC⊥CD，BD⊥CD

∴四边形CDBE是矩形

∴CE=BD=1.5米

∴AE=CE-AC=1米

设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米

在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2

即(x-1)2+32=x2

解得：x=5

∴秋千的拉绳OA的长度为5米故答案为：5【分析】由题意可得BE⊥OA，根据矩形判定定理可得四边形CDBE是矩形，则CE=BD=1.5米，根据边之间的关系可得AE，设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米，再根据定理建立方程，解方程即可求出答案.7．【答案】AC⊥BD【解析】【解答】解：如下图，

∵E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，若四边形EFGH是矩形，则有∠EHG=90°，∵GH∥BD，∴∠1=∠EHG=90°，∵EH∥AC，∴∠2=∠1=90°，即AC⊥BD，∴还要添加AC⊥BD的条件，才能保证四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD．【分析】

本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边可得：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC，根据平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行可知：EF∥GH，EH∥FG，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形EFGH是平行四边形，由矩形的性质可知：矩形的四个角都是直角可知∠EHG=90°，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：∠2=∠1=90°，由此可知：AC⊥BD，由此可得出答案．8．【答案】50【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的对角线BD=AC，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠OBA=∴∠OBC=∠ABC−∠OBA=90°−40°=50°，故答案为：50．

【分析】先证出四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得∠ABC=90°，再结合∠OBA=409．【答案】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，

∵AE⊥BC，CF⊥AD，

∴∠AEC=∠AFC=90°．

∴∠EAF=180°−∠AEC=90°．

∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，

∴四边形AECF为矩形．【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到AD//BC，再由AE⊥BC，CF⊥AD得到∠AEC=∠CFA=90°，从而证得四边形AECF为矩形。10．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意画出图形如下：AC与BD的位置关系是互相垂直，

证明：点E、F、H、G分别是AD、AB、BC、CD的中点，

连接EF，FG，HG，EH，EH与BD交于点M，

∵四边形EFGH是矩形，

∴∠EEH=90°，

∵E、F、分别是AD、AB的中点，

∴EF//BD，

∴∠FEH=∠OMH=90°，

∴∠E、H、分别是AD、CD的中点，

∴EH//AC，

又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，

∴∠OMH=∠COB=90°，

即AC⊥BD.

故答案为：D.【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形名边的中点所得四边形是矩形.11．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过O作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，作GH⊥CD，交CD于H，交AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,AN=CD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°,AD∥BC,CD∥AB，∴EF⊥BC,GH⊥AB，∴∠AEF=∠AGO=90°，∴四边形AGOE是矩形，∴AG=OE,AE=OG，同理四边形EOHD、四边形FOHC，四边形GOFB都是矩形，∴DH=OE=AG,CH=OF=BG,DE=OH=CF,AE=OG=BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，∵∠AGO=∠ABC=90°，∴OG∥BC，∴AG=BG，∴AG=OE=DH=CH=OF=BG，同理AE=OG=BF=CF=OH=DE，设OE=OF=x，则OG=OH=x+4，∵矩形周长是56，∴x+x+x+4+x+4=28，解得：x=5，x+5=9.∴矩形的各边长是10,18,10,18．则该矩形的面积=10×18=180，故答案为：D．

【分析】过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，作GH⊥CD交CD于H，交AB于G，即可得到四边形AGOE、四边形DHOE、四边形BGOF、四边形CFHO是矩形，设OE=OF=x，则OG=OH=x+4，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．12．【答案】C【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于H，如图

则∠AHD=∠BHD=90°，∵∠B=∠BCD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴DH=BC=1.2米，CD=BH，在直角三角形ADH中，AH=A∴BH=AB−AH=2.5−0.9=1.6米，∴CD=1.6米，故答案为：C．【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理等知识。

当作出DH⊥AB时，可以得到矩形BCDH，这时可以放到直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AH的长度，进而得到BH的长度，而矩形BCDH对边相等，此时学生的身高也就求出来了。13．【答案】D【解析】【解答】解：如图，取AC中点O，连接EO、FO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，

∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴OE∥BC，OE=12BC，OF∥AD∴OF∥BC，OE=OF，∴E，O，F三点共线，又∵AM=CN，AO=CO，∴AO−AM=CO−CN，即MO=NO，四边形ENFM是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），A、∠AME=90°不能推出四边ENFM形有90°内角，故不能证明四边形ENFM是矩形；B、C、D选项，只有D选项能由MN=AD、AD=EF，得到MN=EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ENFM是矩形．故答案为：D.

【分析】取AC中点O，连接EO、FO，由平行四边形对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由三角形中位线定理得OE∥BC，OE=12BC，OF∥AD，OF=12AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出OF∥BC，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得E，O，F三点共线，然后根据等式性质可推出MO=NO，OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形14．【答案】A【解析】【解答】解：连接CP，

∵AC=6，BC=8，BA=10，∴AC∴∠ACB=90°．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP．∵M是EF的中点，∴PM=1根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短，可知当CP⊥AB时，CP最短．同样PM也最短．当CP⊥AB时，有12即12解得CP=4.8．∴PM的最小值为，12故答案为：A．【分析】连接CP，根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°．再根据矩形判定定理可得四边形CEPF是矩形，则EF=CP．再根据线段中点可得PM=12CP，当CP⊥AB时，CP最短．同样PM15．【答案】1.2【解析】【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=A∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠BAC=∠AEP=∠PFA=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∠EPF=90°，∵M是EF的中点，∴PM=1根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，S△ABC=1∴AP=3×4∴当PM最短时，PM=故答案为：1.2．

【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，由等面积法即可求得AP最短时的长，然后根据PM=1216．【答案】18【解析】【解答】解：连接BF，过E作EH⊥FC于H，

∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=CE=1由折叠得AF=AB=4，FE=EB=EC=3，∴∠AEB=∠FEA,∠FEH=∠CEH，∴∠AEH=90°，∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴AE=A∵S∴BG=AB⋅BE∵点B与点F关于AE对称，BF⊥AE，FG=BG=∴∠FGE=∠FHE=∠AEH=90°，∴四边形FGEH是矩形，∴EH=GF=12∴FH=E∴CF=2FH=18故答案为185．

【分析】连接BF，过E作EH⊥FC17．【答案】2.4【解析】【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEA=∠PFA=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP，OE=OF=1∴当AP最小时，EF最小，OF最小，即当AP⊥BC时，∵AB=6，AC=8，∴BC=10，∴12∴AP=48∴线段EF的最小值为4.8，∴线段OF的最小值为2.4，故答案为：2.4．【分析】先证明四边形AEPF是矩形，再利用矩形的对角线相等，可知当AP最小时，EF也最小，再利用面积法，得到关于AP的方程求解．18．【答案】15【解析】【解答】解：∵点P、Q是AB、BC的中点，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ=12AC=同理可得，MN=12AC=52，MN∥AC∴MN=PQ，MN∥PQ，∴四边形PQMN是平行四边形，∵AC⊥BD，MN∥AC，PN∥BD，∴MN⊥PN，∴四边形PQMN是矩形，∴S矩形故答案为：152【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形PQMN是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=12AC∵∠1=∠2，∴OB=OC，∴OA=OB=OC=OD，

∴OA+OC=BO+OD，

即AC=BD，∴▱ABCD是矩形．（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=6，∴AC=12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AC=12，AB=6，∴BC=A【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到OA=OC=12AC，OB=OD=（2）先证明△AOB是等边三角形，从而可求得AB，根据勾股定理求得BC．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=