专题2.13函数与方程（举一反三复习讲义）（教师版）

专题2.13函数与方程（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)理解函数的零点与方程的解的联系

(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用(3)了解用二分法求方程的近似解高考真题统计考点2024年2025年2026年函数与方程新课标Ⅱ卷：第6题，5分全国甲卷（文数）：第16题，5分天津卷：第7题，5分上海卷（秋考）：第21题，18分全国二卷：第13题，5分北京卷：第15题，5分命题规律分析1、函数与方程函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。考点1考点1函数与方程知识点1函数零点所在区间1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.知识点2函数的零点个数和求参问题1．函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2．已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.知识点3嵌套函数的零点问题1．嵌套函数的零点问题的解题策略函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.【题型1函数零点所在区间的判断】【例1】（2026·山东泰安·一模）函数f(x)=(x−1)2x−26A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)【答案】C【解题思路】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间.【解答过程】f(1)=(1−1)f(2)=(2−1)f(f(f(5)=(5−1)因为f(3)<0,f(4)>0，且函数f(x)是连续函数，所以零点在区间(3,4)故选：C.【变式1-1】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数fx=2A．2,3 B．0,12 C．12【答案】D【解题思路】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间.【解答过程】由函数fx=2x+又y=2x与y=lnx在0,+∞因为f1所以f1f2<0，根据零点存在性定理可知，函数故选：D.【变式1-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数fx=4A．12,1 B．1,32 C．【答案】B【解题思路】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案.【解答过程】因为函数y=4x和所以函数fx又f1=−1<0，所以f1所以由零点存在定理可知函数fx=4故选：B.【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）函数f(x)=x3−(1A．(2,3) B．(1,2) C．(0,1) D．(−1,0)【答案】C【解题思路】先判断函数单调性，再计算区间端点函数值，最后根据函数零点存在性定理解答即可.【解答过程】因为y=x3在y=−12x在R则两个增函数的和仍然是增函数，因此f(x)=x3−f(0)=0f(1)=1因为f(x)单调递增，且f(0)⋅f(1)<0，所以在区间(0,1故选：C.【题型2求函数的零点或零点个数】【例2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数fx=2A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解题思路】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案.【解答过程】由fx=0，即2x由函数y=2x为增函数，函数则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解，当x=2时，f2=2故选：C.【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数fx=1−lnA．e B．−e C．e和−e D．e【答案】C【解答过程】直接解方程fx=0即得函数【解题思路】令fx=1−lnx=0所以函数fx的零点为e和−故选：C.【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数f(x)=lnx,x>0x2A．6 B．7 C．10 D．11【答案】D【解题思路】先通过换元将方程等价转化为四个方程f(x)=e2+2，f(x)=e−2【解答过程】令t=f(x)−2，则f(t)=2.当t>0时，则lnt=2，得t=e当t≤0时，则t2+2t+2=2，得t=0或再由t=f(x)−2，即f(x)=t+2，所以原方程f(f(x)−2)=2等价于下面四个方程的根：f(x)=e2+2——①，f(x)=e−2再由f(x)=lnx,x>0x2在(−∞,−1)上单调递减，在对方程①f(x)=e2+2所以x>0时，lnx=e2+2，得lnx=e当x<0时，x2+2x+2=e2+2所以方程f(x)=e对方程f(x)=e−2+2所以x>0时，lnx=e−2+2，得lnx=e当x<0时，x2+2x+2=e−2+2所以方程f(x)=e对于方程f(x)=2——③，所以x>0时，lnx=2，得lnx=2或−lnx=2当x<0时，x2+2x+2=2，得x=0或所以方程f(x)=2共有4个根.对于f(x)=0——④，由函数的图象可知方程有唯一的根x=1.综上所述，方程的根共有3+3+4+1=11个根.故选：D.【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数f(x)=2x,0<x≤112f(x−1),x>1，则函数A．2 B．0 C．3 D．无穷【答案】A【解题思路】根据函数表达式确定函数f(x)在(n−1,n]（n∈N*）上是增函数且f(n)=12n−2，零点个数转化为函数【解答过程】由f(x)=2x,0<x≤112f(x−1),x>1，得f(x)在区间又0<x≤1时，f(x)=2x是增函数，即所以f(n)=12n−2，因此x∈(n−1,n]令h(x)=2x，它在(0,+∞)上是减函数，h(n)=2当n≥3时，h(n)=2作出y=f(x)和h(x)=2x在在x>2时，f(x)的图象与h(x)的图象没有交点，所以在(0,+∞所以g(x)的零点个数为2.故选：A．【题型3根据函数零点的个数求参数】【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数fx=x2+4x+3,x≤01+logA．−1,3 B．0,3 C．−1,0 D．3,+【答案】A【解题思路】转化为函数y=fx与y=a的图象有3个交点，结合f【解答过程】若函数gx即函数y=fx与y=afx当x=0时，fx=3，当x=−2时，函数y=fx结合图象可得−1<a≤3.故选：A.【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数fx=log2x+1,x>0−2xA．−2, +∞ B．−∞, 【答案】D【解题思路】利用分类讨论a≥0, 【解答过程】当a≥0, x≤0时，fx=−2x2+ax令fx=t, y=ff即fx=t=0或fxfx=t=1当a<0，x≤0时，fx=−2x所以fx在−∞,令fx=t, y=ffx=f根据图象fx=t=a又y=ffx至少有7个零点，所以即a<0fa4故选:D．【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数f(x)=x3,x≥0−x,x<0，若方程f(x)=xA．(−∞,0) C．(−∞,0)∪(0,1【答案】B【解题思路】根据给定条件，按x<0,x≥0分段，结合一元二次方程实根分布列式求解.【解答过程】方程f(x)=x当x<0时，方程为−x−x2+kx=0，则x+1−k=0，即k=x+1当x≥0时，方程为x3−x当x>0时，方程化为x2−x+k=0，要使方程当且仅当方程x2−x+k=0有两个不同的正根，则Δ=1−4k>0所以k的取值范围是(0,1故选：B.【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数fx=x3,x≥0−x,x<0，若函数gxA．−∞,−1C．−∞,0∪【答案】D【解题思路】由g(0)=0，结合已知，将问题转化为y=kx−3与h(x)=f(x)|x|有3【解答过程】注意到g(0)=0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx−3|=f(x)令h(x)=f(x)|x|，即y=|kx−3|与h(x)=f(x)|x|而h(x)=f(x)x=x2当k=0时，此时y=3，如图1，y=3与h(x)=f(x)|x|有当k<0时，如图2，此时y=|kx−3|与h(x)=f(x)|x|恒有当k>0时，如图3，当y=kx−3与y=x2相切时，联立方程得令Δ=0得k2−12=0，解得k=2综上，k的取值范围为−∞故选：D.【题型4根据零点的范围求参数】【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数fx=lgx+t在1,10上有零点，则A．−10,0 B．−110,0 C．0,1【答案】D【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.【解答过程】因为fx在1,10所以f1f10解得−1<t<0．故选：D.【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间1,4A．−4,1 B．−4,1 C．−1,4 D．−1,4【答案】D【解题思路】令gx=k+log2x−4x，分析可知函数gx=k+【解答过程】当x∈1,4时，由fx=kx−4+x令gx因为函数y=log2x、y=k−故函数gx=k+log因为函数fx在区间1,4内有零点，则函数gx在区间所以，g1=k−4≤0g因此，实数k的取值范围是−1,4.故选：D.【变式4-2】（25-26高一上·河南信阳·期末）函数f(x)=2x−2ax的一个零点在区间(1,2)A．(1,3) B．(1,4) C．(0,3) D．(1,2)【答案】B【解题思路】先根据零点分析得a>0，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数f(x)=2x−【解答过程】当a≤0时，f(x)=2x−2ax>0在要使函数f(x)=2x−2ax因为函数y=2x和y=−2ax在(1,2)单调递增，所以函数由零点存在性定理可知f(1)=2−2a<0,f(2)=4−a>0，解得1<a<4．故选：B.【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间[4,8)内有零点，则实数kA．−2,−1 B．(−2,−1] C．−52,−1【答案】D【解题思路】函数fx=kx−4+xlog2x在区间[4,8)内有零点，即方程kx−4+xlog2x=0在区间[4,8)内有解，即方程k=4【解答过程】函数fx=kx−4+xlog2x在区间[4,8)内有零点，即方程kx−4+xlog2令函数gx=4x−因为函数y=4x在[4,8)上单调递减，函数y=−log2x因为g4所以函数gx的值域为(−52,−1]，所以实数故选：D.【题型5嵌套函数的零点问题】【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3【答案】A【解题思路】解方程fx2−a+5fx+5a=0得fx=a或fx=5【解答过程】由fx2−a+5f当x≤0时，fx当0<x≤2时，fx当x>2时，fx作出函数fx、y=5、y=a由图可知，直线y=5与曲线y=fx有0个交点，即方程f所以由题方程fx=a有3个不同的解，即直线y=a与曲线y=fx有3故选：A.【变式5-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数fx=4−x2,x≤0lnA．2,e2 B．ln2+2,4 C．ln【答案】C【解题思路】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.【解答过程】由gx则关于x的方程ff令fx=m，问题转化为满足fx作出函数fx由图易得：当t<2时，关于m的方程fm=t仅有一个实根m0此时fx当t=2时，fm=t仅有两个相异实根而fx当2<t≤4时，fm=t仅有3个实根且m1且两实根均小于−3，则fx=所以ln2+2=f又2<t≤4，所以ln2+2<t≤2即gx当t>4时，fm=t仅有2个相异实根m4此时fx=m所以实数t的取值范围为ln2+2,2故选：C.【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数fx=x2−2x+1,x≥01−ln−x,x<0，若关于xA．0,1 B．0,1 C．0,1 D．1,+【答案】D【解题思路】将所求方程因式分解后可知当a≠0时，fx=2或fx=1a；作出fx【解答过程】由afx2当a≠0时，fx=2或作出fx则fx=2有三个不等实根，∴fx∴0<1a≤1当a=0时，fx=2，此时方程有综上所述：实数a的取值范围为1,+∞故选：D.【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数fx=−2−x+1，x≤0，fx−1A．110，15 B．0，1【答案】B【解题思路】先作出fx上的图象，令fx=t，再将问题转化为方程2t2+3−3a【解答过程】先作出fx在(−

当t∈(−1,0]时，方程fx=t在当t∈(−∞,−1]时，方程fx令fx=t，因为方程2f所以方程2t2+3−3at+2a=0有一个根为−1或者有一个根在(−1,0]内，另一个根在(−∞令gt=2t即3−3a2解得0≤a<15，综上可得故选：B.【题型6用二分法求方程的近似解】【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数fx=lnx+2x−6在2,3内的零点近似值，若精确度要求为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解题思路】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为1，则第一次使用二分法后区间长度变为0.5，第二次使用二分法后区间长度变为0.25，第三次使用二分法后区间长度变为0.125，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.【解答过程】解：原始区间长度为3−2=1，第一次，区间长度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25>0.1，第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复四次.故选：B.【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程ln2x+6+2=3x根的近似解时，令fx=ln2x+6+2−x1.001.251.3751.50f1.07940.1918−0.3604−0.9989A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【答案】B【解题思路】利用二分法判断即可得出结果.【解答过程】设函数fx的零点为x因为f1>0，f1.5<0，则f1取区间1,1.5中点，f1.25>0，则所以x0∈1.25,1.5取区间1.25,1.5的中点1.375，f1.375<0，则所以x0∈1.25,1.375取区间1.25,1.375的中点1.3125，则x0∈1.25,1.3125此时区间长度为0.0625<0.1，故方程ln2x+6+2=3故选：B.【变式6-2】（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程2x+x−8=0在1,5上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（A．1,1.5 B．2,3 C．1,2 D．3,5【答案】B【解题思路】构造fx【解答过程】记fx=2x+x−8，由于y=2x因为f1且f1⋅f3<0，所以函数又因为f2所以f2所以函数fx的零点落在区间2,3即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为2,3.故选：B.【变式6-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数fx=xx11.51.251.3751.43751.40625f−20.625−0.984−0.2600.162−0.054那么当精确度达到0.04时，可作为方程x3+xA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【答案】D【解题思路】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间1.40625,1.4375内，结合精确度要求即可判断.【解答过程】由表格中的数据知，f1.40625所以函数fx的一个正数零点在区间1.40625,1.4375且区间的长度为1.4375−1.40625=0.03125<0.04，此时，区间(1.40625,1.4375)内的任一值均可作为方程的近似根，选项D中的1.4375是该区间的端点，符合题意故选：D.【题型7多零点的大小与范围问题】【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数f(x)=3x+3x,g(x)=log3x+3x,h(x)=xA．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a>b>c【答案】A【解题思路】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.【解答过程】fx=3x+3x的零点即为方程3gx=log3x+3x的零点即为方程loghx=x3+3x的零点即为方程x∵函数fx,gx作出函数y=−3x,y=x由图可知：b>c>a，

故选：A.【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数fx=x⋅10x−1,gx=x⋅A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．c<a<b【答案】B【解题思路】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.【解答过程】由f0=−1≠0及fx由x>0及gx=x⋅lg由h0≠0及hx由函数fx=x⋅10可得函数y=10x，y=lgx，y=x在同一坐标系中分别作出函数y=10x，y=lgx，由图知a<c<b，故选：B.【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数f(x)=−14x2−x+1,x≤0|log2x|,x>0，若存在不相等的实数A．−2, 14 B．−2, 14【答案】C【解题思路】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得x1+x2=−4【解答过程】函数y=−14x2−x+1函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，函数值集合为(−∞,2]，在在(0,1]单调递减，函数值集合为[0,+∞)，在[1,+∞令f(x1)=f(x2在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=t，观察图象，得1≤t<2，x1+x2=−4由|log2x3|=|函数y=x3+1x3在所以x1+x故选：C.【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数fx=x2−4x+3−aa>0,若fx有四个不同的零点A．1,9+427 B．1,2 C．2,3【答案】A【解题思路】作出函数g(x)=x2−4x+3的图象，结合直线y=a与函数g(x)图象的交点个数可得出a的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令t=【解答过程】令gx由fx则g(x)=x2−4x+3g(x)=令x2−4x+3=0，解得x=1或故当x≤1或x≥3时，g(x)=x2−4x+3；当1≤x≤3且当x=2，gx解方程x2−4x+3=1，得作函数g(x)的图象，对称轴为x=2.

要使gx与y=a有四个不同的交点，如图可得0<a<1又x1,x则2−2<x因为g(x)图象关于x=2对称，所以x1则x3则x2+x4x构造函数h(t)=4+t4−t，由h(t)=4+t4−t=−1−8t−4则0<h(t)<9+427故选：A.一、单选题1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数fx=0.3A．0,0.5 B．0.5,0.7 C．0.7,1 D．1,2【答案】A【解题思路】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可.【解答过程】由题意可知函数的定义域为[0,+∞又因为y=0.3x与y=−x所以fx=0.3因为f0=0.3所以函数的唯一零点所在区间为0,0.5.故选：A.2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数f(x)=lnx+4x−9，利用二分法求函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（A．(2,94) B．(94,【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可.【解答过程】函数f(x)=lnx+4x−9，f(3)=ln3+4×3−9=ln3+3>0，函数f(52)=ln5f(94)=ln9故选：A.3．（2026·天津·二模）函数fx=logA．7,8 B．8,9 C．9,10 D．10,11【答案】C【解题思路】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论【解答过程】fx=log2x−令f′x>0得0<x<3ln所以fx=log2x−f9=log其中103=1000,210=1024，故10由零点存在性定理可得函数fx=log选项C正确，其他选项均错误.故选：C.4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数fx=x2−2x−1,x≤0exA．−1,0 B．−1,0 C．−1,0 D．−1,0【答案】A【解题思路】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可．【解答过程】解：y=x2−2x−1y=ex−1则fx方程fx=k只有一个实数解，则k的取值范围为故选：A.5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数fx=x+lnx,x>0A．−1,0 B．−1,0 C．−1,0 D．−1,0【答案】D【解题思路】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为fx=x【解答过程】①当x>0时，fx=x+lnx，则f′因为f1e=由零点存在定理得，函数fx在1②x≤0时，fx=x要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使fx=x即需使x2+2x−a=0在即Δ=22−4×1×综上可得−1<a≤0.故选：D.6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数fx=3x−1+1,x≤1lnx−1,(x>1)A．(63,C．56,2 【答案】D【解题思路】画出f(x)的图象，结合函数的图象可得方程t2−2at+43=0的解t1、【解答过程】根据解析式知f(x)的图象如图所示：由题意，f2设fx=t，结合图象可知设此关于t方程的解为t1、t2，其中t1由题设可得关于x的方程fx=t1和故t1故t1≠t20<令gt需满足g0>0g1≤0故选：D.7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数fx=13x3−x+e，gx=lnA．x1<x2<x3 B．【答案】B【解题思路】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间x1∈−3,−2，x【解答过程】因为h′x=ex因为h0=1−e由零点存在定理，hx的零点x因为g′x=1x因为g(1)=1−e<0，由零点存在定理，gx的零点x因为f′x=x−1x+1当x<−1时，f′x>0，函数f当−1<x<1时，f′x<0，函数f当x>1时，f′x>0，函数f因为f1=e因此，x>−1时，函数fx又因为f−3由零点存在定理，fx的零点x因为x1所以x1故选：B.8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数fx=−x2−2x+2,x≤0lnA．25,92 B．25,【答案】A【解题思路】先分析函数fx，作出函数大致图象，分析函数gx，把零点问题转化为关于t的方程t2−at+5=0有2个不同的根t1和t2，且关于【解答过程】当x≤0时，fx=−xf−1当x>0时，fx=lnx，f1作出y=fx设fx=t，则关于t的方程t2−at+5=0有2个不同的根且关于x的方程fx不妨设t1<t2，则关于t的方程①若t1,t2∈且t1−2t解得25②若t1=2，则t2=5故选：A.二、多选题9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123456f(x)16.888.66−2.018.88−1.24−10.064在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（

）A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(5,6)【答案】BC【解题思路】利用零点存在性定理直接判断即可.【解答过程】因函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且由表格数据可知f2f3<0，即函数同理f3f4<0,f4故选：BC.10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数fx=2x−2A．若关于x的方程fx=a恰有1个实数根，则aB．若关于x的方程fx=a恰有2个不同的实数根，则aC．若gx有5个零点，则m的取值范围是D．gx【答案】BC【解题思路】作出fx的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若gx=fx2−2mf【解答过程】如图，作出fx由图可知，若关于x的方程fx=a恰有1个实数根，则a的取值范围是若关于x的方程fx=a恰有2个不同的实数根，则a的取值范围是令gx=fx2−2mfx若gx有5个零点，则0<m−1≤1,1<m+1<2或1<m−1<2,2≤m+1≤6,若gx有6个零点，则1<m−1<2,1<m+1<2,解得m∈∅，则故选：BC.11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=log3−x,x<02−x,x≥0，若函数y=fA．实数a的取值范围是0,2B．fx的单调递减区间为−∞C．xD．函数y=ff【答案】BCD【解题思路】作出函数fx【解答过程】作出函数fx对于A，因为函数y=fx−a有三个互不相等的零点，则函数y=fx结合图象可得0<a≤2，故A不正确．对于B，由函数fx的图象可知其单调递减区间为−∞,−1对于C，由函数fx的图象可知0≤x3<2，且即x1x2对于D，设t=fx，则y=f令y=0，由函数fx的图象，得t=−1或t=2当t=−1，即fx=−1时，则2−x=−1，解得当t=2，即fx=2时，所以2−x=2或log3−x=2，解得x=0所以函数y=ff故选：BCD.三、填空题12．（2026高一上·全国·专题练习）用二分法求函数fx=lnx+2x−6在区间【答案】4【解题思路】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度.【解答过程】f2=ln2−2<0，f3=ln开区间2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为12故有12n≤0.1，即2所以至少需要操作4次.故答案为：4.13．（2026·山东济宁·一模）已知函数fx=x+2,x≤0lnx+1,x>0若关于x的方程【答案】0,【解题思路】分类讨论，求得函数y=ffx的解析式，利用数形结合求得实数【解答过程】函数fx=x+2,x≤0lnx+1,x>0在−∞当x+2≤0，即x≤−2时，ffx=当−2<x≤0，即0<fx≤2，ff当x>0，即fx>0时，ff因此ff在坐标系内作出函数y=ffx和关于x的方程ffx=m所以实数m的取值范围是0,ln故答案为：0,ln14．（2026·天津红桥·二模）设函数fx=ex+12,x≤0x+4x【答案】5,3+【解题思路】先将函数y=fx−a有四个不同的零点，转化为函数y=fx和y=a有四个不同的交点，利用数形结合得到a的范围，再根据x1,x2为方程e【解答过程】当x≤0时，fx=ex<−1时，f′x<0，fx单调递减，−1<x<0时，所以fx在−∞,−1当x>0时，fx=x+40<x<2时，f′x<0，fx单调递减，x>2时，所以fx在0,2上单调递减，在2,+又f−1=f2又因为函数y=fx所以函数y=fx和y=a如图所示：由图知，1<a≤e设x1,x2为方程所以x1设x3,x4为方程所以x3所以x1令ga=4+a−ln所以ga在1,因为g1=4+1−ln所以ga=4+a−ln即x1x2故答案为：5,3+e四、解答题15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知fx=e2x−ax+2(1)求函数y=fx(2)若关于x的方程fx−2=0有两个不等实根，求【答案】(1)当a≤0时，函数fx的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，函数fx(2)2e,+∞【解题思路】（1）求出导函数，分a≤0和a>0，分类讨论计算函数的单调性；（2）把方程fx−2=0有两个不等实根转化为y=a与【解答过程】（1）函数fx=e2x−ax+2当a≤0时，恒有f′x>0，则函数f当a>0时，由f′x<0，得x<12即函数fx在−∞,所以当a≤0时，函数fx的单调递增区间为−当a>0时，函数fx的单调递减区间为−∞,（2）方程fx−2=0，即e2x−ax=0，当令gx=e2xx，依题意，方程f求导得g'x=2x−1e2xx2，当x<0或所以函数gx在−∞,0，0,而当x<0时，gx<0，当x>0时，gx>0，且当x=1作出函数，y=gx观察图象，当a>2e时