专题2.5幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.5幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质

(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）高考真题统计考点2024年2025年2026年幂函数与二次函数天津卷：第2题，5分上海卷（春考）：第14题，4分上海卷（春考）：第15题，5分命题规律分析1、幂函数与二次函数幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质。考点1考点1幂函数与二次函数知识点1幂函数的解题技巧1．幂函数的解析式幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.2．幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3．比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.知识点2二次函数的解题技巧1．二次函数解析式的求法(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.2．二次函数的图象问题(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3．二次函数的单调性与最值闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4．二次函数的恒成立问题不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.【题型1比较幂值的大小】【例1】（2026·湖南·一模）若a=log772，b=70.1，c=2A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．c<b<a【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知a=32,b=A．b<a<c B．a<b<cC．c<b<a D．a<c<b【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知a=log0.50.2,b=A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数fx=m−1x1−m为幂函数，若a=log0.3A．fab<fa+bC．f1<fa+b【题型2幂函数图象的判断及应用】【例2】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中C1,C2,C3A．0.5,3,−1 B．−1,3,0.5 C．0.5,−1,3 D．−1,0.5,3【变式2-1】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数y=logax−15+4a>0，a≠1A． B．C． D．【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数fx=m2+m−1A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2【变式2-3】（25-26高一上·上海松江·期中）已知a为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数y=xa和一次函数y=ax−1a的图像关系可能是（A．

B．

C．

D．

【题型3幂函数的图象和性质】【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数fx=m2−m+1x−2m+1A．0或1 B．−1或1 C．1 D．0【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在(0,+∞)单调递增的是（A．y=x−1 B．y=x12 【变式3-2】（2026·四川·二模）“k=−3”是“fx=(k+2)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈0,+A．a+b<0，ab=0 B．a+b<0，ab>0C．a+b<0，ab<0 D．a+b>0，ab>0【题型4求二次函数的解析式】【例4】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2−2x+2 C．【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数fx=x−1x−a与gxA．-1 B．0 C．1 D．2【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知fx为二次函数且f0=3，fx+2【变式4-3】（25-26高一上·全国·期末）已知gx是二次函数，且g2=−3，g−2=−7，g0=−3【题型5二次函数的图象】【例5】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数y=|x|(x−2)的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式5-1】（2026·河南·二模）已知y=1−alog2x是减函数，则函数fA． B．C． D．【变式5-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象顶点在第一象限，且经过A−1,①abc<0；②−1<a<0；③0<b<1；④0<a+b+c<A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【变式5-3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数fx=ax−b(a>0，且a≠1)的图象如图所示.则函数gA． B．C． D．【题型6二次函数的单调性与最值】【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6A．2,6 B．−C．4,12 D．−【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数y=x2−4x+3在闭区间0,m上有最大值为3，最小值为−1，则m的取值范围是（

A．[2,+∞) B．2,4 C．(−∞【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知fx=2x，x≤mx2A．1,2 B．2,5 C．[2,+∞） D．【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数y=x2−4x+2在区间0,t上的最大值为a，在区间t,2t上的最大值为b．若a≥2b，则tA．2−3,12 B．2−3,1【题型7二次函数的恒成立问题】【例7】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数fx=x2+ax−a，a>0，若对∀x∈−a,1，不等式A．0,1 B．0,2 C．14,3【变式7-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0, 4时，fx=2A．−∞,−11 C．−∞,−5 【变式7-2】（25-26高一下·海南海口·期末）已知函数fx=x2−a2+2ax+16【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）设fx=x2−1，对任意x∈1,+∞一、单选题1．（2026·四川广安·模拟预测）“m=0”是“f(x)=(m2−m+1)A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知fx=4x2−kx−8在区间5,20A．k≤40 B．k≥160 C．40<k<160 D．40≤k≤1603．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数y=xα是奇函数，且在0,+∞上单调递减，则αA．−2 B．2 C．−3 D．34．（25-26高一上·重庆·期末）函数fx=ax2−a−1x−2A．−13,0 B．−13,+5．（2026·宁夏银川·一模）如果点x0,y0在函数f(x)=x2+1的图象上，都有点2A．17 B．5 C．3 D．26．（2026·北京·三模）已知幂函数fx=xA．fx=xC．fx是奇函数 D．fx7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数fx的定义域为R，若f−2−x=fx，f−2<f−1A．−∞,−4 C．2,+∞ D．8．（2026·云南·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+ax−2a，若f(x)<0在[−3,−1]上恒成立，则aA．(−8,0) B．(1,+∞) C．(−∞二、多选题9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（

）A．若α=0，则幂函数y=xB．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(−1,−1)D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y=ax2+bx+cA．c=−1 B．a+b+c>−1 C．a+b+c>−2 D．a+b+c<011．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0

A．a−b=0B．abc<0C．关于x的二次函数y=ax2+bx+cD．关于x的一元二次不等式ax2三、填空题12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数y=xa的图象经过点4,2，则实数a13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数f(x)=m2−5m+5x14．（2026·广东广州·一模）已知函数fx+1为奇函数，当x<1时，fx=ax2−x（a≠0），若fx四、解答题15．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数fx+1(1)求fx(2)设函数gx=a+3x+fx，若g16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数fx=m(1)求实数m的值；(2)若函数gx=fx−ax在区间−1,2上的最小值为17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且x≥0，f(x)=x(1)若m=1，求函数f(x)解析式；(2)求函数f(x)在[1,3]的最小值；(3)若函数y=f(x)在(0,4)有两个不同的零点，求m的取值范围.18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数fx=2x2−ax+10(1)当a=1时，求f2(2)若对任意x∈R，都有fx>g(3)若∀x1∈0,2，∃x19．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点M(2,0)，N(4,0)为二次函数f(x)的图象与x轴的交点，