2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题12　隐形圆

第八章微专题12

隐形圆解析几何有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．模型1|PA|＝λ型1【解析】C变式1如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围为__________．【解析】模型2|PA|＝λ|PB|型

(2025·茂名一模)已知点A(－4,0)，B(－1，0)，若直线l：3x＋4y＋a＝0上有且只有一点P满足|PA|＝2|PB|，则a＝________．2【解析】±10【解析】C模型33【解析】(－∞，2)

(2)已知m，n∈R，m2＋n2≠0，记直线nx＋my－n＝0与直线mx－ny－n＝0的交点为P，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4上的一点，若PQ与圆C相切，则|PQ|的取值范围是 (

)【解析】3【答案】CA．－2

B．－1 C．2

D．0【解析】BD模型4|PA|2＋|PB|2＝λ型在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是__________．4【解析】

设M(x，y)．由|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，化简得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．[0，3]【解析】模型5向量隐圆已知平面向量a＝(2,0)，b＝(0,1)，且非零向量c满足(a－2c)⊥(b－c)，则|c|的最大值是

(

)5【解析】B变式5已知a，b是两个单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，若向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的最大值为 (

)【解析】

由a，b是两个单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，则a·b＝0，即a⊥b．设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，设c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)．B常见的“隐形圆”类型(1)“定义圆”：在平面内，{M||MA|＝r}，其中M为动点，A为定点，r＞0为定值．(2)“斜率圆”：在平面内，{M|kMA·kMB＝－1}，其中M为动点，A，B为定点，且点M的横坐标不等于A，B的横坐标．(3)“平方圆”：在平面内，{M||MA|2＋|MB|2＝λ}，其中M

为动点，A，B为定点，λ为定值．配套精练一、单项选择题1．(2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m＝0和l2：x－my－3＝0相交于点P，则点P的轨迹方程为

(

)A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝4(x≠－1) D．(x＋1)2＋y2＝4(x≠1)【解析】

由m·1＋1·(－m)＝0，则l1⊥l2．由l1：(x＋1)m＋y＝0，则直线l1过定点A(－1,0)，由l2：x－3－my＝0，则直线l2过定点B(3,0)，易知动点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心(1,0)，半径r＝2．由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是(－1,0)，则动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠－1)．C2．已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)，A(－6,0)，B(0,8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为 (

)A．(0,5]

B．[5,15]C．[10,15]

D．[15，＋∞)【解析】

如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M．因为A(－6,0)，B(0，8)，所以圆M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25．B【解析】D【解析】【答案】A【解析】【答案】B【解析】【答案】BCD7．(2025·镇江期初)

已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0,1)，Q(1,2)，则 (

)【解析】【答案】AD【解析】9．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝2，则|c|的最大值为_________．【解析】

由a，b是单位向量，且a·b＝0，则可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，所以c－a＋b＝(x－1，y＋1)，【解析】[28，52]11．已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影点为B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为______．【解析】又因为|MC|＝7＞r，所以点C在圆M外，故|