第一章空间向量与立体几何单元检测高二数学上学期同步课堂2

第一章空间向量与立体几何

（能力挑战卷）

一、单选题

1.己知空间四点A（4,1,3）,3（2,3,1）,C（3,7,-5）,。（苍-1,3）共面,则x的值为（）

A.4B.1C.1（）D.11

2.如图，在平行六面体ABC。—A玛G。中，AB=AD=\,A4,=&,/84A=/。叫=45,2840=60,

D\C]

0

AB

A.1B.x/3C.9D.3

3.已知空间向量〃，b»c满足G+〃+C=0,同=1，W=2,卜|=J7,则a与8的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.已知平面a内两向量a=（lJ1）,8=（0,2,-1）,若°为平面a的法向量且c=/〃a+汕+（4,-4』），则切，〃

的值分别为（）

A.—1,2B.19—2C.192D.—19—2

5.如图，在圆锥S。中，,8为底面圆的两条直径8=。，且如CD,SO=OB=3,SE=%B,

异面直线SC与0£所成角的正切值为（）

6.已知三棱锥A-8c。的所有棱长均为2,三为8。的中点，空间中的动点尸满足PCIAB,

则动点P的轨迹长度为（）

A.饕B.叵C.也D.信

1682

7.如图，在棱长为3G的正方体A8C。-A4GA中，点，是平面A8G内一个动点，且满足

|。?|+|尸4|=5+2后，则直线8/与直线A0所成角的取值范围为（）（参考数据：sin53=psin37=|）

A.[37,143]B.[37,90]C.[53,143]D.[37,127]

8.如图，在菱形ABC。中，NB/”>=60。，线段A。,8。的中点分别为E,F,现将△480沿对角线8。翻

折，则异面直线6E与Cf所成的角的取值范围是

(nln\

»li'Tj

二、多选题

9.设4》工•是空间一个基底，下列选项中正确的是（)

A.若aJ_〃，6_Lc,则a_Lc

B.则a,Ac,两两共面，但a,Ac不可能共面

C.对空间任一向量〃，总存在有序实数组（x,y,z）,使〃=,m+y/?+zc

D.则a+人力+1a+Z一定能构成空间的一个基底

10.在正三棱柱ABC-ABC中，AC=O,Cq=l,点D为BC中点,则以下结论正确的是（）

A.AyD=^AB+^AC-AA]

B.三棱锥。的体积为立

6

C.从4_14。且44〃平面40。

D.ABC内到直线AC.BB、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

11.（多选题）在四面体P-A8C中，以上说法正确的有（）

->I-2—

A.^AD=-AC+-AB,则可知3C=38。

JJ

B.若。为△A8C的重心，则尸Q=

333

C.若尸A・4C=0，PC・A4=0，则04・AC=0

D.若四面体P-ABC各棱长都为2,M,N分别为PA4C的中点，则|MN|=1

12.如图1,在边长为2的正方形A8CO中，E,F,G分别为8C,CD,跳:的中点，沿4E、八尸及E尸把

这个正方形折成一个四面体，使得3、。、。三点重合于S,得到四面体S-AE/Y如图2）.下列结论正确的是

（）

A.四面体S-4石尸的外接球体积为太兀

B.顶点S在面AM上的射影为一AEE的重心

C.SA与面AM所成角的正切值为正

4

13

D.过点G的平面截四面体S-AE尸的外接球所得截面圆的面积的取值范围是-H,-7T

三、填空题

(1)设"=(1,0,0),v=(o,o,l),若〃〃)二1，，求向量〃；

(2)对于V中的任意两个向量x，y,证明：f(x)f(y)=xy-

(3)对于V中的任意单位向量1,求|/(月—耳的最大值.

18.如图，在三棱台ABC-AeG中，底面.A3c是边长为2的正三角形，侧面ACGA为等腰梯形，且

AG=AA,=1,。为AG的中点.

Ci

(1)证明：ACA.BDi

—一

(2)记二面角A-AC-8的大小为。，Owpy时，求直线4A与平面88CC所成角的正弦值的取值

范围.

19.《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书''中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000

多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵

ABC-AqG中，ABA.AC,AA.=AB=AC=\tM,N分别是CQ,BC的中点，点P在线段A片上.

(1)若。为的中点，求证：PN〃平面AA1c°.

(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45。？若存在，试确定点尸的位置；若不

存在，请说明理由.

20.如图1,菱形ABCZ)中4BC=120。，动点E,尸在边AD,AB上(不含端点)，且存在实数4使话=力晶,

沿M将-4E尸向上折起得到.庄F,使得平面PE厂J■平面8CD£7"如图2所示.

G)若BF人PD,设三棱锥P-BCO和四棱锥夕—/比＞口的体积分别为匕，匕，求才；

(2)试讨论，当点石的位置变化时，二面角石-尸尸-8是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不

是，说明理由.

21.已知多边形A8CD瓦'是边长为2的止六边形，沿对角线AO将平面AD四折起，使得8尸=#.

(1)证明：平面A8CDJ.平面4DE产；

(2)在线段4。上是否存在一点G,使二面角A-8/-G的余弦值为巫，若存在，请求出AG的长度；

5

若不存在，请说明理由.

22.如图，已知四棱锥夕-八4CE中，"_L平面"CE,平面PA3L平面PBC,且A3=l,BC=2,BE=2叵,

点A在平面PCE内的射影恰为.PCE的重心G.

(1)证明：BCA.AB；

(2)求直线CC与平面P8C所成角的正弦值.

参考答案

1.D

【分析】

求得AB、AC、AO的坐标，根据题意可知存在实数4、〃，使得AO=/UZ?+〃AC,利用空间向量的坐

标运算可得出关于4、〃、x的方程组，进而可求得实数x的值.

【详解】

依题意得AB=(—2,2,—2),AC=(-i,6,-8),AD=(x-4,-2,0),

A、4、C、。四点共面，「.AB、AC、AO共面，

••・存在实数4、4,使得=+

x-4=-2A-//A=-4

-2=22+6〃,解得,〃=1.

I0=-22-84/x=11

故选：D.

【点睛】

本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.

2.D

【分析】

根据图形，利用向量的加法法则得到4G=A8+4O+A4,,

再利用卜4Q+AAJ求患的模长.

【详解】

在平行六面体八8CO-A禺GR中，

WAC=AB+AD，AC\=AC+AA,=Ab+ALf+AAt,

由题知，Af3=AD=\,A4,=V2,=45,/朋0=60,

所以kq=k4=l,|/V\卜后，AS与4。的夹角为44>=60°.

与A4；的夹角为=45。，AO与小\的夹角为人力=45。，

所以

AC：

=(A8+4O+AAJ

=网2++同『+2AB•AD+24A•44+2AD•A4

=l+l+2+2xlxlxcos600+2x1x点>:cos450+2xlx>/2xcos450

=9.

所以阿=3.

故选:D.

3.C

【分析】

将”+6=-c，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.

【详解】

设a与/?的夹角为9.由4+0+c=0,彳'Ja+Z?=—c，两边平方,得〃~+2a-〃+Z?~=J.

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cos0=g,又ew[0,句，所以6=60，

故选：C.

4.A

【分析】

利用空间向量的数乘和加法运算求出c的坐标，再由垂直关系的数量积等于0,列方程组即可求解.

【详解】

因为々=(1,1,1),/?=(0,2,-1),

所以c=ma+nh+(4,-4,1)=(/w,m,m)+(0,2〃,一〃)+(4,-4,1)

=(.77+4,in+2n-4,ni-n+\),

因为c为平面。的法向量，

ca=m+4+m+2n-4+m-〃+1=0f3〃？+〃+1=0

'"以cb=2(/n+2/2-4)—(/??-n+l)=0，〃?+5〃-9=0

解得：\m=~\所以小，〃的值分别为T，2,

n=2

故选；A.

5.D

【分析】

以。208,OS为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值.

【详解】

由题意以OD。氏os为xy，z轴建立空间直角坐标系，如图，

>4(0,-3,0),5(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE=：SB,

]139

OE=OS+SE=OS+-S8=(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,一).

4444

5C=(-3,0,-3),

_27

则cos<OE、SC>=代含=---=一餐，

|。耶12VH)X3V21。

设异面直线SC与OE所成角为氏则8$0=卜0$<0£5。>卜哈，。为锐角，

V55

755”…sin。inVFT

sin6=------,所以tana="=/-=—z-.

10cos。3j53

而

故选:D.

6.C

【分析】

将正四面体A-〃cr>放入正方体，建立空间直角坐标系，求得〃点满足的方程，判断出〃点的凯迹为圆，求

得圆的半径，由此计算出圆的周长也即2的轨迹长度.

【详解】

正四面体A-8CO放入正方体，则正方体的棱长为0,建立空间直角坐标系如图所示,

，亭,0),。(&,&,0),4(0,血,应),设尸(x,y,z),

PE=\与-x,与-义五-z,AP=(x,y,z),PC=(四一—z).

由于PA_L正，PCLAB,所以^4"尸石"。

PCAB=O

使-；U也-yy+(&_z)z=O

即22

V2(x/2-3')-x/2z=0

x2-^-x+y2y+z2-2z=0

即《22,

y+z-\f2=0

表示球心为(¥，¥，¥[,半径为R=等的球.

y+z-V2=0表示垂直于"z平面的一个平面.

所以〜的轨迹是上述平面截球面所得圆.

fV2V2

球心到平面y+z-拒=0的距离为"=

,4’4'24

所以截得的圆的半径「=g2-/上一_!_=姮,

V4164

所以截得的圆，也即夕点的轨迹的长度为2〃=2乃'姮=亚》.

42

故选：C

【点睛】

空间中求动点轨迹长度，可考虑采用坐标法求得动点轨迹方程，结合轨迹方程求得轨迹的长度.

7.B

【分析】

首先以点。为原点建立空间直角条标系，证明。用1平面A^G，并求用。=3,。0=6,然后将导面在线AR

与所成的角，转化为BG与用P所成的角，再如图建立第二个坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角

的余弦值，再求角的范围.

【详解】

如图，建立空间直接坐标系，连结与。，交平面A3G于点。，

0(0,0,0),B©瓜3瓜,a(3限0,3⑹，B(35/3,3x/3,O),^(0,36,3⑹,

DB，=(3x/3,35/3,3x/3),48=(。,36-3@,8G=(-3右,0,3、国，

。443=0,DB^BQ=0.1.DB［工AB,DBiJ.BCi，A、BcBCi=B,

Z)B11平面ABG,

根据等体积转化可知%.A四，

即1x_Lx（3«）'立xqO=，x，x（3G），解得：BQ=3,

32232

4。=3岛⑺=9,..00=6,

•••AR//BG，.•.异面直线A"与用P所成的角，转化为3G与4P所成的角，

如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取8G的中点E,过点。作。/3BG，则以

点。为原点，OF,O£Og为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

P(x,y,0),4(0,0,3),Z)(0,0,—6),B—x/6,-^—,0^,C)——>/6,,0

BF=(x,y,-3),BC[=(-3倔0,0),

归周+|叫=5+2月，

即y/x2+y2+9+Jx2+[+36=5+2届,A2+y2+9<A2+y2+36，

即陶=5

:.x2+y2+9=25,B[Jx2+y2=16,xe[-4,4]

BPBC[-3瓜xx44

COS<B、P,BC、>=]--i-----=7=—=—G

忸Cj3V6x55555

因为异面直线所成的角是锐角，并设为。，则cos6w（o1

44

.sin53=—,/.cos37=—二.同37,90]

55

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用空间直角坐标系，解决异面直线所成的角，关键是如何建立坐标系，解决

问题，本题建立两个坐标系，目的是方便解决问题.

8.C

【分析】

设菱形的边长为1，则BE=CF=gBD=l,利用向量的平行四边形法则得到

2

B£=1（BA+BD）.CF=1（BD-2SC）,再利用数量积运算求出BEC尸，再由

cos（8E,CT）=g6-；cos（/M,BC“，根据（朋,8C）的范围，利用余弦函数的性质求解.

【详解】

设菱形的边长为1,则8£=。尸=正.8。=1,

2

4E=g（ZM+4Q）,b=g（C3+CD）=g（4O—24C）,

BECF=^BA+BD^\BD-2BC],

1.1.1.21.

=-BA・BD——BABC+-BD——BDBC,

4242

=---cos（BA,Be}+---,

82'/44

所以cos俾，⑦=背防=/一加俾坳,

由图可知：a«BA*B0.,

所以_；vcos（B4,Bd}vl,

所以-gvcos（BE,b）vg,

所以（〈麻泪今,

所以异面直线跖与CV所成的角的取值范围是与自

故选：c

【点睛】

关键点点睛：本题关键是得到4E・b=g-gcos(“BC)，转化为余弦函数求得其范围，进而求出(随b)

的范围.

9.BCD

【分析】

根括空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.

【详解】

由是空间一个基底，知：

在A中，若a_L〃，/?_Lc，则〃与c的夹角不一定是]，故A错误；

在8中，两两共面，但a,不可能共面，故8正确；

在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；

在D中，因为a,仇c不共面，假设〃+8,〃+\,a+c共面，设〃+b=x(A+c)+(l-％)(a+c),化简得

c=xa+(\-x)b,可得a也c共面，与已知矛盾，所以“+6，力+]a+2不共面，可作为基底，故。正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：

(1)如果4,/?,(?是基底，则4,6,C一定不共面；

(2)对空间中任意向量,都可以用基底向量〃，瓦。进行表示；

(3)如I果。=+〃=1,则a,b,c共面.

10.ABD

【分析】

A.根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B.根据右一破0=匕.gG，然后计算出对应三棱维的高4。和

底面积S^G，由此求解出三棱锥的体积；C.先假设4用然后推出矛盾；取A8中点E,根据四点

共面判断物//平面AC。是否成立；D.将问题转化为。A姓内到直线AC和点4的距离相等的点”的轨迹,

然后利用抛物线的定义进行判断.

【详解】

A.AO=AA+AD=AO-A4]=：(48+40)-例=《/18+3A(?-^4],故正确;

B./一他弓=匕即，因为。为BC中点且A8=AC,所以APJ.BC,

又因为34_1平面A8C,所以B4_LAD且所以AD_L平面。4G,

又因为AO=J5BD=立8。=亚，s口g=LXBB]KB[G=*,

2222

所以％ARC=匕DB1c='xA£)XSD&c=，故正确；

D-agA-D叫a3叫J3226

C.假设16c成立，又因为6与_L平面A8C,所以6用_L6C且35nA用=与，

所以AC,平面488，所以显然与几何体为正三楂柱矛盾，所以ABJBC不成立:

取AB中点E，连接ERE'Ag,如下图所示：

因为D,E为8cA8中点，所以小〃AC,且AC〃AG，所以DE//AG，所以O,£AC四点共面,

又因为其£与4片相交，所以44〃平面ACQ显然不成“：,故错误;

D.“A8C内到直线AG的距离相等的点”即为“.AAC内到直线AC和点8的距离相等的点”,

根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的•部分，故正确：

故选:ABD.

【点睛】

方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：

（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；

（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容

易，由此求解出三棱锥的体积.

11.ABC

【分析】

作“四面体2-A8C直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

【详解】

—12—

对于A，vAD=-AC+-AB,：.3AD=AC+2AB^:.2AD-2AB=AC-AD，:.2BD=DC，

：.3BD=BD+DC=BC即3BD=BC，故A正确：

对于8,•・•。为△ABC的重心，则QA+QB+QC=O,/.3PQ+QA+QB+QC=3PQ

...(PQ+QA)+(PQ+Q3)+(PQ+QC)=3PQ,/.PA+PB+PC=3PQ

即,PQ=gB4+；尸B+；PC,故8正确；

对于C,若PA・BC=O，PC>AB=O>则P4・8C+Pe・A8=0，

:.PA>BC+PC>(AC+CB)=(),.•.PA-BC+PC-AC+PC・CB=0

二.PA・BC+PC・AC-PC・BC=0,.(PA-PC)・BC+PC^AC=0

CA・BC+PC.AC=0,AC.CB+PC-AC=0

:.AC»(PC+CB)=O,.•.AC.PB=O，故。正确；

对于。，MN=PN-PM=-(PB+PC)--PA=-(PB+PC-PA)

222

：.\MN\=^\PB+PC-P^=^\PA-PB-PC\

\PA-PB-P(^=4PA'+M+PC,-2PA・PB-2PA・PC+2PC・PB

222

=A2+2+2-2x2x2x-!—2x2x2xl+2x2x2xl=25/2

N222

.•.|例叫=&,故O错误.

故选：ABC

【点睛】

用已知向最表示某一向量的三个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始

点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

12.ACD

【分析】

折叠问题，关键是抓住其中的不变量.

选项A：说明W、SE、SF两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题；

选项B：由丁•丛、56、5/两两垂直，可证5在面4石厂上的射影为_g'的垂心；

选项C：线面角的定义法求解；

选项D：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.

【详解】

对于A项，易知SA、SE、"两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长/=，22+1+1=6，

外接球半径R呼，故外接球体积为一兀［用=隔，

故A项正确；

对于B项，由于SA、SE、S/两两垂直，故S在面AEV上的射影为二AEV的垂心,

理由如下:如图，过点S作S0_L'|湎AE",交平面A*.于点0,

因为SOJ•平面AEE,£Fu平面AE/L所以SO_LQ,

又因为SA_LSE,SA1SF,SE,S/都在平面SE/7内，且相交于点S,

所以SA_L平面SE尸，又EFu平面SEF,所以%_LEF,

又SOSA=A,所以律_L平面S47,又AOu平面SAO,所以AO_LEF.

同理可证EO_LA/，FOA.AE,所以S在面AE产上的射影为~4£尸的垂心.

故B项错误：

对于C项，设加为£尸中点，则斯JLSM,AM±EF^SMcAM=M,

故EV_L平面SAM,故平面4E/U平面SAM,所以SA在平面AEV上的射影为AM,

S4与平面AM所成角为NSAM,SA=2,SM=—,^ASM=^-,tanZ5/W=—»

224

故C项正确：

对于D项，设。为四面体S-A砂的外接球球心，QM_L平面SEF,连接MG,0G,

当过点G的截面经过球心。时截面圆面积最大，面积为g兀；

当0G垂直微面圆时，械面圆面积最小，

此时GM=』SF=L,OM=I,OG7OM、GM?二正,

222

小五一心“（咚）-停）=1,截面圆面积为：，

得械面圆面积取值范围是［；兀,.

故D项正确.

故选:ACD.

【点睛】

方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一股从以下角度出发：

（1）外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不

能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解.

（2）空间角的处理一般是建系，用向量法求解：若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的

定义求解.

13.-

4

【分析】

以AC、BO交点。为原点，射线O4O&OP为x、），、z轴正方向构建空间直角坐标系，设以0,0力），A（a，0，°），

3（040）,。（0,-40）,C（-aAO）,进而写出相、PC、PD、而坐标，可得PE，PF，由九瓦“。四

点共面有24=”石+泮尸+2尸6,设PG=/IPO（°<2<1），求义值即可.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设尸（0,0力），A（©0,0）,8（0必0）,。（0,—。,0）,C（—40,0）⑷〃均不

为0）,则PB=（0,a,—3，PC=（-a、0「b）,PD=（0-a-b）tPA=（a,0-b）,

33a3b}

PE=-PB=PF=-PC=

5I55J2

由题意A£F，G四点共面，PA=xPE+yPF+zPG,其中x+y+z=l,设

PG=ZPD=(O,-a^-bA),XG(OJ),

./八?\(八3〃3b\,(ab\..(ay3ax.3bxby.,、

..(fl.0,—b)=.V0,—,+y—,0,—+tz(/A0,—(iA,—bA.)=|,-------aZz,----------------bAz

'7^55JI22)v，(2552)

y=-2

2

3x...

-----A.Z=0

-------aAz=053

由方程组（5，即＜；,解得：A=4,

3xy.,4

-----1-----1-Az=1

52

52

x+y+z=l

x+y+z=\

【点睛】

关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有A4=xP£+）W〃+zPG且x+y+z=l,再设PG=NPQ

（0＜以＜1）,应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数，

21,5

14.—a+—b+—c

326

【分析】

4G=AO+OG=4/18+AO）+4OA+OG）」仅+c）+；；（BA+BC）+DQ+J（4B+AO）+CcJ,由止匕

2323_22」

能求出结果.

【详解】

解：在正方体ABC。-A8[C]Q]中，A^A=a=b.AiDl=c,

。为底面的48CO的中心，G为，AG。的重心，

•*-AG=AO+OG

=<(AB+AO)+《OA+OCj

，J

二9+c)+1；(8A+8C)+£)A+；(AB+AQ)+Cc]

=g仅+c)+\bb+c)+g4+\(b+c)+ga

2-1r5-

=-a+—b+—c.

326

9-1-s-

故答案为：~^+~+-

326

【点睛】

本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查，属于中档题.

15.[26,4伺

【分析】

建立空间直角坐标系，设。与棱CG的交点为产，利用空间向量计算P到5R的最小距离和最大距离可得面

积的最值.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,2,2),〃(0,0,0),设a与棱cq的交点为〜，与棱的交点为G

则四边形8GAp为平行四边形.

在面a内过P作吟的垂线，垂足为Q,则截面的面积为5=忸2忸0|=2到PQ].

设。（xx,x）,P（02y）,则〃B=（2,2,2）,PQ=（Xix-2,x-y）.

因为ABPQ=O,故2x+2（x-2）+2（x-y）=0即3x-y-2=0,故y=3x-2.

24

I''10<3x—2<2,故一Kx4一.

33

又同卜小2+（1）“―»=商+（1『+（2）—2『

=^6X2-12X+8=^6（X-1）2+2,其中

JJ

所以应［PQ上城，故2#4SW4垃，填［2#,4&］.

【点睛】

空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果

找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.

16.>/7

【分析】

由〃/=GC=/”C=-；,可知a、b、C三个向量的夹角，建立空间直角坐标系，用向量坐标进行运算.

【详解】

共面的三个单位向量a,b,c满足。=a・c=〃・c=-g,a,b,c彼此夹角为120

如图,以〃起点作为坐标原点。，〃所在直线为x轴.以共面的三个单位向量〃.h,A所在江面为TN平

面，在其中以与G垂直方向为y轴，过。点作平面的垂线，以此垂线为z轴，建立空间直角坐标系.

々=(1,0,0)c=—g，一半，°

X/\/

设〃?=(〃?,〃,z)

机对于任意X,yeR,恒有卜-(W+)町闫〃7-"c=JJ,

上式表示，〃与。，力所在平面中的任意向量的差向量的模最小值为G，即忖之6

品卜卦三二3

又因为|〃?一〃一4=6

所以，z="T，一等川片广

ma=mc符合题意.

m-b=，-李一等,"一。=(1,-6,6)

\m-b\=0+3+3=77

【点睛】

解决空间向量的问题常利用空间直角坐标系下的坐标，做解析变换.

17.(1)a=(^^，。，巧^或〃=-弓>。，一咚见解析；(3)最大值为2.

【解析】

2x2-1=0

分析：(1)f(u)=-u+2(ua)a=v,设。=(x,y,z),代入运算得：•2孙=(),从而可得结果；(2)设

2xz=1

x=e，Ac),)，=(〃?,〃,/),a=(q,的,%),则利用“向量函数”的解析式化简/(。/(、)，从而可得结果；(3)

设*与〃的夹角为。，则x*a=WMcosa=cosa,则

|/(x)-x|=|2x-2(x-«)«|=^(2x-2cosafl)'=J"4cos2a«2,即最大值为2.

详解：(1)依题意得：f(u)=-u+2(ua)a=v,设a=(x,y,z),代入运算得：

-2X>=°=。=停◎争或J冬a当；

2xz=1

(2)设x=(a,〃,c),y=(/〃,〃")，a=(4，6,6)，则

/(元)•/(》)=[—+2(无。问｛-y+2(》”问

=A-y-4(y-6f)(jr-«)+4(ytz)(^<7)(«)2=x♦y-4(ya)(xa)+4(y・a)(xa)=x-y

从而得证；

(3)设尤与发的夹角为则元•/=1斗同cosa=cosa,

贝,f(x)—x|=眼―2(%.a)a卜J(2t—2cosaa)~=74—4cos2a<2,故最大值为2.

点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义

的函数的简单应用，如在某些条件下,满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，

此时需结合新函数的新性质，探究“旧''性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，

创造性证明更新的性质.

18.(1)讦明见解析：(2)理，粤.

【分析】

(1)通过证明4C_LOM,AC14M得出ACL平面5D”，即可由线面垂直的性质得出；

(2)以M为坐标原点建立空间直角坐标系，可得功WR为二面角河-人。-3的平面角，NDMB=9,求出

平面88CC的法向量和恒，利用向量关系可表示出直线4A与平面BBCC所成角的正弦值，即可根据夕范

围求出.

【详解】

(1)证明：如图，作AC的中点M,连接ZW，BM,

在等腰梯形ACGA中，D,M为AC，4c的中点，

・•・AC1DM,

在正中，”为AC的中点，

/.AC工BM,

VAC±DM,AC1BM,DM、BM=M,DM,平面3ZM7,

・••ACA.平面BDM,

又BOu平面BOM,AACJ.BD.

(2)解：:AC_L平面

在平面A/W内作用z_L4M,以"为坐标原点，以MA，MB，彷，分别为了，)'，工，轴正向，如图建

立空间直角坐标系,

VDM1AC,8例_147,・・・〃班为二面角4一4。一8的平面角，即NOM8=£,

_14C0S，4sin4

A(!,0,0),B(0,V3,0),C(-1,O.O),D0,—cos0,—sin,C.

I221222

fl4cos^sinA

A222

化与。s0,与14

设平面B8CC的法向量为〃=(x,y,z),CB=(1,AO),CC,=

222

x+Gy=0

CBn=()

则有，即1G6

CC(n=0—x+—cos^-y+—sin^-z=0

[22'2

如lz£2^f-l^COS

则可取〃=,乂M=sin6,

sin022

设直线AA与平面〃片CC所成角为。，

6

sina=cos(/V\,〃'=6

,l-2cos^+cos20’3+2

44+

1+cos0

八71Inc「1「

,/.cosc^e,

y-22

叵3713

/.sinae

13

19.(I)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.

【分析】

⑴取AG的中点“，连接尸”,HU,利用中位线定理证明四边形P”CN为平行四边形，从而得到尸N//CH,

由线面平行的判定定理证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，设=(%(),0),其中尤引0,”,求出所需点的坐标和向吊的

坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案.

【详解】

解析(1)证明：取AC|的中点〃，连接产〃，HC.

在堑堵ABC-A4G中，四边形5CGM为平行四边形，

所以4G〃8c且4G=8C.

在MBC中，p,”分别为44，AG的中点，

所以PH〃片G且尸与G.

因为N为3C的中点，所以NC=《BC,

从而NC=PH且NC7/PH,

所以四边形尸"CN为平行四边形，于是PNHCH.

因为u平面AG%,PNa平面AGC4,所以PNH平面AA^C.

(2)以A为原点,48,AC,AA所在直线分别为x轴、)，轴、z轴,建立空间直角坐标系，则4(0,0/),

rz1\

M-—

2

\1/

易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)•

假设满足条件的点P存在，令人尸=4八4=(20,0),

1I1

则NM=，1

2,2,2

设平面PMN的一个法向量是〃=（X,y,z）,

〃NM=O,

n-PN=O

令m=3,得y=1+22,z=2—2z,

所以〃=(3,1+242-2/1).

解得人=-；，故点?不在线段4蜴上.

由题意得IC=j9+0+：荣］2升孝

方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：

1.设分别设出两个平面的法向量罔=（M,yi,Zl）；〃2=（X2,）2Z2）

2.求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面内所有直线，建立方程组（3元一次方程组，仅两个方程）

（1）建立的条件是，两个相互垂直的向量,乘积为0

（2）由于法向量有3个未知数，我们通常只用建立两个方程组成的方程组.

（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值，

4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.

5.判断范围，注意正负取值.

20.（1）y；（2）-正；

55

【分析】

根据题目信息建立空间直角坐标系，

S9

（1）将直线BF,尸。的方向向量表示出来，根据数量积等于0求解题目中；I的取值，进而可以求得不皿二三,

»BDEF°

最后获得体积之比；

(2)分别将两个平面的法向量求解出来，根据面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根据角是钝角得出

结果即可.

【详解】

(l)SXEF的中点为G,

因为EF=ZBD即EF11BD,所以PE=PF,

所以PG_LEF，又因为平面PM_L平面BCDEF,

平面'平面BCDEF=EF,

所以PG1平面BCDM,

连接GC,由题意可知GC_L斡，

以点G为坐标原点，分别以GRGCGP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则尸(九0,0),B(L>/3(1-A),O),P(0,0,x/3A),D(-l,>/3(I-x),0),

所以血=(l_ZG(l_九),0)'DP(l,-\/3(l-/l),>/3/l)»

因为8尸_LPD，所以疝脐=(1,一6(1—;1),6/1).(1一/1,6(1—/1),0)=1—/1一3(1—团2=。，

2

解得：％=§或者丸=1(舍)；

囚为三棱镇户-88和四棱锥P-BDEF的体积分别为匕，匕，

VSV9

所以

匕3BDEF3BDEF,

(2)二面角石一秒'一△是定值，证明如下：

由(1)知，面砂产的法向量〃；=(0』,0),

由港=(i_/i,G(i_/i),o)，厮=(一40,而)，

设面P/4的法向量为［=(x,y,z)

(l-2)x+\/3(l-2)>'=0

n2-FB=0

所以=

-2x+-V3Az=0

n2FP=0

取y=l,则工=-/,z=l,即、=(一

设二面角“一夕/一4的平面角为e,

所以|cos6|=cos</Z),%〉卜=步，

由图可知二面角E-PF-B的平面角为钝角,

所以二面角8的平面角的余弦值为-正.

5

【点睛】

用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、

运算，注意和平面向量类比.

21.(1)证明见解析；(2)存在，|AG|=；.

【分析】

(1)利用线面垂直的判定定理证得尸0_L平面ABCD,进而证得面面垂直；

(2)建立空间直角坐标系设G(0«⑼(TWa«3),求平面A3厂和平面BRS的法向量，利用空间向量法求

得二面角A-8尸-G,得到关于a的方程，即可得解.

【详解】

(1)证明：过尸作R9JLAO,连接B0

由正六边形的性质知/。=8。="，RBF=«,，FO2+OB2=BF?,:.B()工FO

因为ADu平面人BCD,80u平面A8CQ,AD\')BO=O

所以F。JL平面ABCD，又F。u平面ADEF,所以平面ABCDJ.平面ADEF.

(2)如图，以。为空间直角坐标系原点，。8为x轴，。