高等基础数学 1

———教案一：二重积分的概念与性质基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：1学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析二重积分的概念与性质是定积分从一维区间向二维平面区域的推广。通过“曲顶柱体体积”这一经典的实际问题，沿用定积分的分割、近似、求和、取极限的思想，抽象出二重积分的定义，建立二维积分的数学模型。教学目标素质目标1.培养学生数形结合、极限逼近、微元累加的严谨数学思维，养成逻辑推理、严谨论证的科学素养；2.引导学生体会“由简到繁、由一维到二维、由有限到无限”的辩证思维，提升数学抽象、归纳总结、迁移总结的核心素养。知识目标1.理解二重积分“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；2.理解二重积分的定义；3.掌握二重积分的几何意义和性质。能力目标1.能识别平面积分区域；2.能将简单的曲顶柱体体积转化为二重积分；3.能利用二重积分的性质进行相关运算。教学重点二重积分的几何意义和性质教学难点二重积分的定义和几何意义教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一元函数定积分的定义（强调定积分的思想：分割-取近似-求和-取极限）和几何意义学习通发布任务测试题1.完成预习自测；2.记录疑问点。

课中（45分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）课前测试作业点评课前作业巩固旧课知识【引例-曲顶柱体的体积】新课前引入（15分钟）【引例】曲顶柱体的体积。1.分割闭区域的面积分别记为.2.取近似将平顶柱体的体积作为第个曲顶柱体体积的近似值，即，.求和，从而得到曲顶柱体体积的近似值，即.3.求极限曲顶柱体的体积由定积分的分割、近似、求和、取极限的思想求曲顶柱体体积，并引入新课1.认真听讲，跟随老师思路曲顶柱体体积；2.理解二重积分的定义。【二重积分的定义】（5分钟）定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，在每个闭区域上任的一点,作乘积,(),并求和.当时,该和式的极限存在，那么称此极限为函数在闭区域上的二重积分,记为，即，其中为被积函数,为被积表达式，为面积元素，为积分变量，为积分区域.曲顶柱体体积抽象出二重积分的定义；重点讲解积分区域。1.做好笔记；2.理解二重积分的定义，理解并掌握积分区域。性质1其中，为常数.性质2性质3，其中为的面积，被积函数.二重积分的性质】（12分钟）性质4如果在区域上有，则.性质5如果和分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则.性质6（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续，为的面积，则存在一点，，使得.1.请学生回答定积分的性质；2.根据学生的回答讲解二重积分的性质。性质4、5、6选讲认真思考回答老师的提问；做好笔记，理解抄写性质1、2、3性质4、5、6自愿选择学习【例题讲解】例题讲解（8分钟）例1利用性质比较两个积分和的大小，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成.例2估计二重积分的值，其中为圆形区域.讲解例题，引导学生回答例题的解题方法记笔记，在老师的引导下，回答例题的计算。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书布置课后作业完成并相互批改作业 教学反思教案二：二重积分对的计算基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析二重积分是定积分在二维区域的推广，本节主要解决二重积分的求值问题，将二维平面区域的积分转化为学生已经掌握的两次一元积分（累次积分）。其核心分为两大计算体系，一是直角坐标系下（X型、Y型区域）二重积分的计算；二是极坐标系下二重积分的计算。教学目标素质目标1.培养严谨的数学逻辑推理能力与规范的解题习惯，契合高职职业教育“工匠精神”中精准细致的要求；2.衔接专升本考试素养，通过真题演练提升应试思维，树立“以考促学、以学促用”的学习意识；3.体会数学在工程计算、经济分析中的应用价值，增强数学知识与职业岗位、升学考试的关联性认知。知识目标1.理解X型区域、Y型区域的判定标准，掌握直角坐标系下二重积分转化为二次积分的方法；2.熟记极坐标变换公式；3.掌握两种坐标系的适用场景。能力目标1.能熟练识别X型/Y型区域，将二重积分转化为对应的二次积分并准确计算；2.能自主判断题目用直角坐标还是极坐标，选择最简解法；3.能熟练完成交换积分次序题型。教学重点1.直角坐标系下X型、Y型区域的判定与二重积分计算；3.判断题目用直角坐标还是极坐标；3.二次积分的积分次序交换。教学难点1.非规则区域的X型/Y型判定；2.以及积分次序的灵活交换。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一元函数求定积分的计算学习通发布定积分知识测试题1.完成自测题；2.记录疑问点。

课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）点评测试作业，复习定积分的计算.1.点评课前作业情况；2.强调定积分的计算巩固旧课知识，回顾定积分的计算。【二重积分的计算（直角坐标系）】新课讲解（20分钟）1.当为X型区域设积分区域其中函数与在区间上连续，这样的区域称为X型区域，2.当为Y型区域设积分区域，其中函数与在区间上连续，这样的区域称为Y型区域，则引导学生根据X型和Y型区域将二重积分转化为累次积分（二次积分）记笔记，跟随老师思路记忆二重积分如何变成二次积分，并回顾区域的判断方法。【例题讲解】（35分钟）例1计算，其中是由直线、及所围成的闭区域.例2计算二重积分，其中是由直线、及所围成的闭区域。1.先做积分区域的图像，引导学生判断积分区域类型；2.仔细讲解如何确定积分上限和下限，从而将二重积分化成二次积分；3.根据学生的回答讲解二次积分的计算。认真听讲并记笔记；2.会做积分区域的图像并判断类型；3.在老师的讲解下的学会判断积分上限和下限；4.掌握二重积分的计算（直角坐标平面）。【课堂练习】练习（25分钟）课堂练习：书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.根据做题情况评讲。1.同组同学讨论解题；2.在老师的点评下改正错误；3.总结二重积分的计算。【二重积分的计算（极坐标系下）】新课讲解（10分钟）换算关系如下由此得到在极坐标系下二重积分的计算公式.在极坐标系下二重积分的面积元素为.于讲解二重积分极坐标系下的变换，并引导学生总结在什么情况下用极坐标变换求解二重积分。1.理解二重积分在极坐标系的求解方法；2.记忆公式。【例题讲解】（15分钟）例3计算二重积分，其中.分析讲解被积函数和积分区域的特点，从而利用极坐标系计算方法更加简单；2.根据公式转化为极坐标系下求二重积分。认真听讲记笔记；2.掌握在什么条件下利用极坐标系计算二重积分；3.掌握二重积分的计算（极坐标系下）。【积分次序交换】新课讲解（10分钟）积分次序交换如果给定的积分次序不利于二重积分的计算，可通过积分次序交换来帮助计算，其一般步骤如下:第一步，先依据给定的积分限写出积分区域的不等式表达式，并依次画出区域的图形；第二步，再依据积分区域的图形，按确定积分限的步骤，确定出另一种积分次序的积分限.引导学生思考如何计算；由于无法求解，从而讲解何时需要交换积分次序以及如何交换积分次序。1.认真听讲，明白何时需要交换积分次序；2.跟随老师思路总结记忆交换积分次序的步骤。【例题讲解】（10分钟）例4请写出二重积分在交换积分次序后的形式.画出积分区域的图像，引导学生观察并改写积分上限和下限在教师的引导下，根据例题回答二重积分的积分