高等基础数学 6

———教案一：定积分的概念与性质基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析定积分概念的体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想，所以无论从内容上还是数学思想方面，本次课在微积分中都处于重要地位。教学重点是源于定积分的实用性和现实性，同时也是其它知识点的基础;难点是因为学生对定积分概念的理解存在困难，因此在教学中，如何使学生学好定积分显得尤为重要。教学目标素质目标1.通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辨证思维能力。2.通过分析解决实际案例问题，培养学生的数学建模能力。知识目标1.了解引例中求“曲边梯形的面积和变速直线运动在一段时间内经过的路程”的步骤；2.理解定积分的几何意义和定积分的性质。能力目标1.能够利用定积分的几何意义完成相关题目的计算；2.能利用定积分的性质解决相关的计算。教学重点定积分的几何意义和定积分的性质教学难点1.定积分的概念；2.利用定积分的几何意义解题。教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识】1.复习不定积分的概念：的含义、积分常数C的意义；2.回顾极限的基本运算（简单和式的极限）；3.思考问题：如何计算“由曲线，x轴、、围成的图形面积”？1.提前1天通过学习平台发布预习任务及思考问题；2.推送求不规则图形面积的微课，辅助学生理解；3.收集学生的预习反馈，梳理共性困惑（不会计算不规则图形面积），明确课堂重点。1.回顾不定积分相关知识，完成基础回顾题；2.观看微课，结合思考问题，尝试思考不规则图形面积的计算方法；3.记录自身疑问，提交预习反馈，主动交流困惑。课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课】（45分钟）【引例1】曲边梯形的面积曲边梯形的定义，设为闭区间上的连续函数,且．由曲线,直线及轴所围成的平面图形称为曲边梯形曲边梯形的面积，(1)分割—将曲边梯形分割成小曲边梯形；(2)取近似—用小矩形面积之和近似代替曲边梯形面积；(3)求极限．【引例2】变速直线运动的路程用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤得；．提问：1.曲边梯形的定义？2.如何求曲边梯形的面积？3.用多媒体动画演示“分割、近似、求和、取极限”的过程，让学生直观理解，讲解第一个引例；4.请学生用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤计算变速直线运动物体在一段时间内的路程。1.看书回答曲边梯形的定义；2.认真听讲，观看动画演示，在教师的讲解下理解“如何求曲边梯形的面积”；3.看书回答：用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤计算变速直线运动物体在一段时间内的路程的路程。【定积分的定义和几何意义】知识学习（40分钟）1.定积分的定义：当分割无限细密时，和式的极限”，记为，积分上下限、被积函数、积分变量；2.关键提醒：定积分的结果是一个“数值”，与积分变量的符号无关；3.几何意义：当时，表示由，x轴、、围成的曲边梯形面积；当时，结果为负，绝对值为面积；4.几何意义得到的结论：(1)若在上连续,且为奇函数,则.(2)若在上连续,且为偶函数,则.板书定积分的定义及说明；定积分的几何意义及由定积分的几何意义的得到的结论；3.强调“定积分是数值、不定积分是函数族”的核心区别，用口诀帮助记忆（“定积分是个数，不定积分带C”）；1.记录定积分的定义和说明；2.在教师的引导下回答定积分的几何意义和由定积分的几何意义得到的结论。【例题讲解】知识学习（15分钟）例1利用定积分的几何意义求定积分：(1)；(2)．例2计算.引导学生回答，教师书写例题在教师的引导下回答解题过程【定积分的性质】知识学习（30分钟）性质1若在上可积,为常数,则.性质2若,在上可积,则.性质3.性质4(积分区间的可加性)对于任意三个实数,有对任何顺序都成立．性质7(积分中值定理)若在上连续,则在上至少存在一点,使得．通常把称称为函数在上的平均值.例题3：已知,,求．(应用区间可加性）请学生看书指出定积分的性质1、2与不定积分性质1、2的共同点；利用定积分的几何意义讲解性质3、4、7；讲解连续函数平均值的公式；4.抽学生回答例题3。1.理解并记忆性质1、2；2.在教师的推导下理解性质3、4、7以及平均值的概念；3.思考并回答例题3。【课堂总结】知识提升（5分钟）1.回顾定积分的核心概念：核心思想（分割、近似、求和、取极限）、定义、几何意义；2.总结定积分与不定积分的核心区别；3.梳理定积分的性质及应用要点；4.强调本节课重点：理解几何意义，掌握性质的简单应用5.应用推广：求不规则图形面积、变速直线运动路程等“不规则总量”的问题，需要用定积分。1.引导学生共同回顾本节课内容，让学生主动复述核心概念、几何意义和性质；2.板书知识框架，帮助学生构建清晰的知识体系；3.解答学生剩余疑问，补充重点知识漏洞，为下节课定积分的计算铺垫。1.主动复述定积分的核心知识，完善课堂笔记；2.梳理自身学习收获，提出未解决的疑问；3.记忆知识框架，明确定积分与不定积分的区别，巩固核心知识。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固提升】课后作业作业1.布置课后作业2.批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案二：微积分基本定理基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念之后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础，因此它在教材中处于及其重要的地位，它曾被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。教学目标素质目标结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新；2.通过教学过程渗透化归、转化的思想方法，提高学生的数学“建模”和解决实际问题的能力。知识目标1理解如何由引例推出牛顿莱布尼兹公式；掌握牛顿-莱布尼兹公式；3.理解积分上限函数。能力目标1.能用莱布尼兹公式计算定积分；2.会求积分上限函数的导数。教学重点重点应用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分教学难点难点计算积分上限函数的导数教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识】1.复习不定积分的求法：基本积分公式、简单换元法；2.思考问题：上节课学习的定积分，只能通过几何意义直观求解，若遇到复杂被积函数，该如何快速计算？1.提前1天通过学习平台发布任务（主要是不定积分的计算）；2.推送“定积分计算困境”微课，引导学生思考“定积分与不定积分的关联”。1.复习完成基础的不定积分的计算；2.观看微课，结合思考问题，尝试联想定积分与不定积分的联系；3.记录自身疑问，提交预习反馈，主动交流困惑。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课】（10分钟）1.【引例】求变速直线运动（速度从到的路程。2.定理1(微积分基本定理)设函数在区间上连续,是在的任一原函数,则提问：例题有哪些解法（学生讨论）？引导学生思考回答问题；导出牛顿—莱布尼茨公式。1.学生讨论思考例题的解法；2.在老师的引导下回答问题；3.理解抄写牛顿—莱布尼茨公式。【例题讲解】知识学习（25分钟）例题1：（1）；（2）；（3）；（4）。例题2：(1),求；(2)．1.讲解例题，重点演示“求原函数→代入上下限→计算差值”的完整步骤；2.针对例题，强调原函数的求解，提醒学生忽略积分常数C（因代入上下限后抵消）；3.针对例题2，说明分段函数如何计算定积分；4.板书解题步骤，规范书写格式（如的写法）。1.跟写例题步骤，模仿解题思路，重点掌握“求原函数、代入上下限”的核心步骤；2.主动回答教师提问，尝试独立说出解题思路。【变上限积分函数】知识学习（10分钟）1.变上限积分函数,；2.变上限积分函数的导数若积分下限为函数,则1.用多媒体动画演示变上限积分函数的变化过程，让学生直观理解其含义；2.给出变上限积分函数的导数公式。1.观看动画演示，理解变上限积分函数的含义；2.理解并抄写变上限积分函数的导数公式。【例题讲解】知识学习（20分钟例1计算下列积分上限函数的导数：(1)；（2）；(3)．例2求下列极限：；(2)．引导学生回答，教师书写例题在教师的引导下回答解题过程【课堂练习】（20分钟）1.巡视指导，重点关注基础薄弱学生，提示“原函数求解”“上下限代入”的注意事项；2.选取学生黑板书写；3.评讲练习中的错误。1.讨论完成练习；2.对照点评，订正错题，标注错误原因；3.小组内交流解题思路。【课堂总结】知识提升（5分钟）1.牛顿-莱布尼茨公式；变上限积分函数的定义；2.总结公式使用牛顿-莱布尼茨公式的关键：①正确求解原函数；②规范代入上下限计算差值；3.变上限积分函数的导数。1.引导学生共同回顾本节课内容，让学生主动复述公式及解题步骤；2.板书知识框架，帮助学生构建“定积分-不定积分-微积分基本公式”的完整知识体系。1.主动复述牛顿-莱布尼茨公式及如何利用公式解题；2.变上限积分函数的定义及导数。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固提升】课后作业1.布置分层作业；2.批改作业，统计高频错误，形成错题分析，为下次课针对性讲解铺垫。按时完成作业，熟练应用牛顿-莱布尼茨公式。 教学反思教案三：定积分的计算基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节课是在学生已经学习了不定积分的计算基础上，根据牛顿莱布尼兹公式计算定积分。教学目标素质目标1.通过实例的引入体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点；2.培养学生严密的逻辑思维能力及严谨的学习态度。知识目标熟练掌握定积分计算方法。能力目标1.会应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.会应用定积分的分部积分法则计算定积分。教学重点利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分教学难点不定积分的计算教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识】1.复习牛顿-莱布尼茨公式；2.回顾不定积分基本公式和不定积分方法；3.尝试计算：(换元法)、(分部积分法)如何计算？1.发布复习任务和两道计算题；2.收集反馈，梳理共性困惑（换元时上下限转换、原函数求解错误）。1.复习公式及不定积分方法；2.尝试解决定积分的换元法和分部积分的题，记录疑问，主动交流困惑。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课】（5分钟）1.通过两道计算题反馈学习情况，纠正换元不换限、u/v选取不当等错误；2.结合课前案例，总结：复合函数定积分用换元法，幂函数与三角函数/指数函数乘积类定积分用分部积分法。1.展示高频错误，重点纠正方法选择和步骤偏差；2.引导学生回顾公式，点明本节课核心是“方法选择+步骤规范”。1.订正预习错误，巩固前置知识；2.明确学习重点，带着疑问进入新知学习；3.积极回应提问，梳理计算思路。【定积分的换元积分法】知识学习（5分钟）定理1(定积分的换元积分法)设函数在上连续,函数在(或)上有连续的导数,并且,,,则.讲解定积分换元积分法：核心“换元必换限”，步骤：设元→换限→换被积表达式→计算，强调无需回代原变量。1.认真听讲，记录步骤及易错点；2.回答提问，尝试复述定积分的换元积分法的步骤和核心要点；3.标注疑问，及时请教。【例题讲解】知识学习（35分钟）例1：。例2：。例3计算.例4计算下列定积分：；.1.分步演示定积分的换元积分法的步骤；对例1采用错误做法（换元不换限），让学生寻找错误点；对于例3，提问引导学生主动思考。例4由学生讨论思考并回答解题过程，强调书写规范。1.认真听讲，回答提问，尝试找出教师对例1写法的错误点；2.跟写步骤，模仿解题思路和方法选择；3.讨论回答例4的解题步骤。【定积分的分部积分法和例题讲解】知识学习（25分钟）定理2(定积分的分部积分法)若,在上有连续的导数,则上式称为定积分的分部积分公式,还可以写作.例5计算下列定积分：(1)；(2)．1.提问：定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法的区别，强调易错点；2.分步演示定积分的分部积分法的步骤；3.（2）题由学生讨论回答解题步骤。1.认真听讲，记录步骤、公式及易错点；2.主动说出u/v选取思路；3.讨论回答（2）题的解题步骤。【课堂练习】（15分钟）1.巡视指导，重点帮扶基础薄弱学生，指导方法选择；2.请学生到黑板做题；3.根据学生作答情况，集体点评，纠正易错点，再次强调两种方法的步骤和应用细节。1.小组内交流解题思路，互相答疑讨论完成练习；2.主动到黑板上做题；3.对照点评，订正题，标注错误原因。【课堂总结】知识提升（5分钟）1.回顾核心：换元积分法(换元必换限)、分部积分法(公式及u/v选取）；2.总结易错点：换限、u/v选取、符号、连续条件；3.强化两种方法的综合应用，铺垫预习方向。1.引导学生复述步骤、公式和易错点；2.板书知识框架，帮助构建知识体系；3.解答剩余疑问，布置预习任务。1.复述定积分的积分方法的解题步骤，完善笔记；2.巩固本节课内容。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固提升】课后作业1.布置作业，明确作业要求和提交时间；2.批改作业，统计高频错误，形成错题分析，为下次课针对性讲解铺垫。1.按时完成作业，规范步骤，合理选择方法；2.对照解析订正错题，分析错误原因。 教学反思教案四：广义积分基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：1学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析广义积分是定积分概念的延伸与拓展，核心是突破定积分“积分区间有限、被积函数有界”的限制，本节为无穷区间上的广义积分，是高等数学的重要内容之一。本节课重点聚焦广义积分的概念理解、敛散性判断和基本计算，弱化复杂理论推导，注重与定积分知识的衔接，突出方法的实用性和易错点规避，帮助学生构建完整的积分知识体系。教学目标素质目标1.让学生感受数学知识的连贯性和实用性，激发对高等数学的学习兴趣；2.培养学生严谨细致的学习态度，养成规范解题、重视敛散性判断的习惯；3.鼓励学生主动思考、大胆提问，培养勇于探索、敢于创新的学习精神，增强学习数学的自信心。知识目标1.理解广义积分的定义以及收敛与发散的概念；2.理解广义积分的计算方法，即广义积分的本质是“定积分与极限的结合”，。能力目标1.能熟练运用牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法计算收敛的广义积分；2.能通过极限计算判断简单广义积分的收敛与发散。教学重点1.广义积分的定义及敛散性的判断方法；2.收敛广义积分的计算方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法的应用）。教学难点广义积分的计算教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动知习回顾复习定积分的换元法、分部积分法及极限的基本计算方法；1.发布定积分和极限的复习任务；2.布置一些相关的复习题。1.完成知识复习，巩固定积分及极限的相关知识；2.完成复习题提交复习反馈，主动交流自身困惑。课中（45分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课广义积分】（25分钟）计算图1中曲边梯形的面积试着计算图2中“开口”曲边梯形的面积3.广义积分的定义定义1（条件略）形如,和称广义积分。极限存在称广义积分收敛；否则就称广义积分发散.1.引导学生计算图1中曲边梯形的面积；2.请学生试着用定积分表示图2中“开口”曲边梯形的面积；给出广义积分的定义和计算方法。1.订正预习错误，巩固前置知识；2.通过将用定积分表示图2中“开口”曲边梯形的面积，学习广义积分的定义；3.理解并掌握广义积分的计算。【例题讲解】知识学习（15分钟例1（1）；。例2，例3．分步讲解强调书写规范，标注易错点（极限计算错误）；2.引导学生总结广义积分的计算技巧，强化记忆。1.跟写步骤，模仿解题思路，重点掌握敛散性判断方法；2.主动说出解题思路和关键步骤。【课堂总结】知识提升（5分钟）回顾核心：广义积分的定义、敛散性判断方法及计算步骤。1.引导学生复述解题步骤；2.板书知识框架，帮助学生理解和掌握广义积分知识1.复述核心知识，完善笔记；2.梳理收获，提出疑问。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固提升】课后作业1.布置分层作业，明确作业提交时间；2.批改作业，统计错误，为下次课针对性讲解铺垫。按时完成作业，规范书写步骤。 教学反思教案五：定积分的应用基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节课是定积分的几何应用，求平面图形的面积，计算立体图形的体积，以及曲线的弧长，通过定积分的几何意义来引入本节内容,学生会比较容易理解。教学目标素质目标1.让学生感受定积分的实际应用价值，体会数学与专业、生活的紧密联系，激发对高等数学的学习兴趣；2.培养学生严谨细致的学习态度，养成规范解题、注重实操的习惯；3.渗透数学文化和课程思政，通过“曹冲称象”故事树立文化自信，通过工程、水利等案例培养学生的探索精神和社会责任感，增强学习数学的自信心和应用意识。知识目标1.理解微元法的核心思想，掌握微元法解决实际问题的基本步骤；2.掌握求非规则面积中选取微元、确定积分区间的步骤，掌握书写解题步骤；3.熟练掌握定积分在几何领域的应用。能力目标1.会求非规则图形的面积；3.会求旋转体的体积。教学重点1.微元法的核心思想及解决实际问题的基本步骤；2.定积分在几何领域的应用（平面图形面积、旋转体体积的计算）。教学难点1.微元法的步骤2.判断和计算型区域和型区域的面积。教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预习回顾】1.复习定积分的定义和几何意义；2.复习牛顿-莱布尼茨公式及不定积分方法；3.思考：如何用定积分计算曲线、x轴、x=0、x=2围成的图形面积？1.发布复习、预习任务及回顾题，衔接前序定积分知识；2.推送微元法预习微课，结合“曹冲称象”故事初步讲解微元法思想，引导学生思考定积分的应用场景；3.收集预习反馈。1.完成回顾题，巩固定积分的计算方法；2.观看微课，尝试分析预习思考题，记录疑问；3.提交预习反馈，交流自身困惑。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课】（5分钟）1.反馈预习情况，纠正学生对微元法、定积分应用的模糊认知；2.结合课前案例，总结：不规则图形面积、变力做功等累积问题，可通过微元法转化为定积分求解，引出本节课主题；3.微元法思想和定积分的几何应用。1.展示高频预习错误，重点纠正“微元选取模糊、积分区间确定错误”的问题；2.引导学生回顾定积分的“累积效应”，点明本节课核心是“微元法+定积分计算”；3.板书课题及学习目标，强化针对性。1.订正预习错误，巩固定积分相关知识；2.明确学习重点，带着疑问进入新知学习；3.积极回应提问，梳理自身对定积分应用的初步认知。【微元法】知识学习（20分钟）微元法：(1)在区间上任取一小区间，就有增量．(2)计算的近似值,称为Q的微元,(3)所求量Q是在区间上的定积分,即；上述方法称为微元法．1.结合实例和动画演示，通俗解读微元法思想，弱化复杂推导；2.分步演示微元选取、积分区间确定的过程，重点强调“画图辅助”的技巧；3.板书微元法步骤、计算公式及易错点。1.认真听讲，记录微元法步骤、易错点及微元选取技巧；2.主动回答提问，尝试复述微元法步骤；3.标注疑问，及时请教，明确自身理解漏洞。【平面图形的面积】知识学习（15分钟）1.曲边梯形的面积．型区域的面积型区域的面积1.复习讲解根据曲边梯形的面积的计算2.根据图像利用“微元法”讲解型区域和型区域的面积。认真听讲，主动回答提问并记录重点2.掌握并牢记三种非规则图形面积的计算公式。【例题讲解】知识学习（20分钟）例1：计算由两条抛物线,所围图形的面积．例2：求由抛物线与直线所围图形的面积．1.分步讲解，重点演示“画图→选变量→定区间→计算”的完整步骤，强调画