高等基础数学 7

———教案一：函数的概念基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析由于中职学生的数学基础不一，通过测试了解学生对高中函数知识的掌握情况，测试发现大部分的学生并没有完全掌握这一内容。根据他们的基础，制定相应的教学内容，复习高中的相关理论知识。介绍数学家在函数这一节的贡献，比如清代数学家李善兰。教学目标素质目标1.培养学生团结协作和学习知识的能力；2.培养学生逻辑思维能力和分析解决问题的能力。知识目标理解函数（含分段函数）的概念、定义域、函数值和函数的性质；2.掌握几种常见函数（幂函数、指数函数、对数函数和三角函数）的形式、性质和图像。能力目标1.会求函数的定义域、函数值；2.会做几个常见函数的草图。教学重点函数定义域和函数值；2.常见函数的形式、图像和性质。教学难点求函数的定义域；2.常见函数的图像和性质。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】函数的相关知识学习通发布有关函数的考题学生查阅资料，小组讨论做题课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【复习函数的相关知识】（20分钟）1.函数的定义在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意的，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数，记作．其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫做这个函数的定义域．自变量取定义域中的数值时，对应的数值叫做函数在点处的函数值，记作或．当遍取内的所有数值时，对应函数值所组成的集合叫做函数的值域．如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同函数.举生活中有关函数的例题，通过例题讲解定义域、函数值认真听讲，在教师的引导下复习函数的定义、定义域、函数值、想同函数和值域课中【例题讲解】（15分钟）例1求下列函数的定义域：（1）；（2）.例2设函数，求和.引导学生回答问题并讲解例题。在教师的引导下回答问题。课中【讲解习题】（45分钟）2.函数的表示法公式法，表格法，图像法。3.函数的性质函数的有界性、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性。常见函数的形式、图像和性质教师提问回答问题，掌握函数的性质，以及常见函数的形式、图像和性质。【知识巩固1】（10分钟）学习通有关函数的考题学习通上发布有关函数的考题学生完成考题

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】课后作业1.布置课后作业；2.批改并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案二：反函数基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学习了函数的概念，学生的学习兴趣有所提升，由于后面将涉及到反三角函数，是高中没有学过的，我们将让学生先掌握反函数的概念，进而掌握反三角函数的相关知识，通过这节课的内容，培养学生的逆向思维能力。教学目标素质目标1.培养学生团结协作和学习知识的能力；2.培养学生逻辑思维能力和分析解决问题的能力。知识目标理解反函数和反三角函数的定义，互为反函数的定义域与值域之间的关系，互为反函数图像之间的关系；2.掌握求反函数的步骤。能力目标1.会求函数的反函数；2.会作反三角函数的草图；3.会计算特殊值的反三角函数值。教学重点反函数和反三角函数教学难点求反函数，反三角函数表示的意义教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】1.和的图像；2.的正弦、余弦、正切和余切值提出问题学生讨论作图和查阅资料求值课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【知识引入】（8分钟）1.请学生建立本学期生活费与月份之间的关系；2.根据建立的关系提问：给了2700元能用几个月？引导学生建立函数关系式、回答问题并引入新课——反函数讨论建立函数关系；教师的引导下回答问题课中【反函数】（8分钟）1.对于一一对应的函数，构成一个以变量为自变量的新函数，叫做原来函数的反函数．函数的反函数一般记作．2.由原函数和反函数可以得到如下结论：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．定理1如果函数，（原函数的定义域），是单调增加(或减少)的，则存在反函数，（原函数的值域），且该反函数也单调增加(或减少)的.3.求一一对应函数的反函数的基本步骤是：（1）用函数的关系来表示自变量，即求出；（2）自变量和函数互换字母，即得．引导学生总结求反函数的步骤和思考互为反函数的定义域与值域的关系。1.根据反函数的定义在教师的引导下总结求反函数的步骤；2.思考回答互为反函数的定义域与值域的关系课中【例题讲解】（20分钟）例1求函数的反函数，并在同一坐标系内作出它们的图像例2求函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像．1.引导学生回答教师书写例1；2.提出观察问题：互为反函数的图像之间的关系；3.引导学生求解例21.在教师的引导下求反函数并作图；2.观察总结，互为反函数的图像关于直线对称。课堂练习】（9分钟）课堂练习：1.解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.讲解习题练习【新课引入】（10分钟）的图像1.引导学生作的图像；2.根据的图像提问：在定义域内是否存在反函数1.在教师的引导下生作的图像；2.回答问题课中【知识学习】（35分钟）反正弦函数的定义、定义域、值域；2.特殊值的反正弦值；3.的图像。给出的定义；2.引导学生回答反正弦函数的定义域、值域；3.引导学生求特殊值的反正弦值；4.作出的图像。1.熟悉反正弦函数的记法；2.思考回答反正弦函数的定义域和值域；3.求特殊值的反正弦值课中【知识学习】（45分钟）1.反余弦、反正切、反余切函数的定义、记法、定义域和值域；2.反余弦、反正切、反余切函数的图像。例4求下列反三角函数的值：；（2）；；（4）.引导学生采用学习反正弦函数的方法学习反余弦、反正切函数2.作、和的图像；3.提问：在定义域内是否存在反函数？4.给出反余弦、反正切函数的定义、定义域和值域；5.作出反余弦、反正切函数的图像。1.学生在教师的引导下学习反余弦、反正切、反余切函数；2.作图并回答问题；3.求特殊值的反余弦、反正切、反余切值

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】课后作业，学习通1.布置课后作业2.批改并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案三：初等函数基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析前面介绍了常用函数，这一节将函数进行分类，学生学习和理解复合函数及其分解。教学目标素质目标1.培养学生团结协作和学习知识的能力；2.培养学生的细心和自信心。知识目标1.理解基本初等函数、复合函数的概念和初等函数的概念；2.掌握复合函数的复合与分解。能力目标能完成复合函数的复合与分解教学重点复合函数的复合与分解教学难点复合函数的复合与分解教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】常见的几类函数的形式学习通发布问题学生回答问题课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（20分钟）1.基本初等函数常函数（为常数）,幂函数（为常数）,指数函数（为常数，且）’对数函数（为常数，且）,三角函数,；反三角函数,.称为基本初等函数。提问1.基本初等函数包括哪些函数？2.列举函数，请学生判断可否化为基本初等函数？学生在教师的引导下回答问题课中【知识引入和讲解】（20分钟）2.复合函数一般地，设函数是关于的函数，是关于的函数，如果由通过所确定的使得有意义，则把叫做由函数及复合而成的复合函数．记作是基本初等函数吗？举例对复合函数的定义作几点说明.学生在教师的引导下回答问题课中【例题讲解】（30分钟）例5指出下列函数的复合过程．；(2)；(3).引导学生回答，教师书写例题在教师的引导下说出复合函数的复合过程课中【课堂练习】（20分钟）课堂练习：书书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】课后作业1.布置课后作业2.批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案四：极限的定义基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析我们用刘徽的“割圆术”引入极限的概念，培养学生的科学素养和爱国精神。极限的定义对学生而言比较抽象，因此主要通过图像给出极限的定义，从而提高学生的学习积极性。教学目标素质目标1.培养学生抽象思维能力；2.培养学生爱国主义情怀。知识目标1.结合图像理解极限的的概念及自变量的两种变化过程；2.了解两种趋近过程中极限存在的充要条件，会判断极限是否存在。能力目标能结合图像求一些简单函数在两种趋近过程中的极限教学重点函数在自变量两种变化过程的极限教学难点极限的概念教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【导读】刘徽的“割圆术”学习通发布我国数学家刘徽“割圆术”的资料学生阅读课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（30分钟）1.时，函数的极限作出函数的图像，观察图像，研究当x的绝对值无限增大时，函数值y的变化情况；函数极限的定义1.作图2.提问：x的绝对值无限增大包含几种情况；相应的函数值y的变化情况1.学生在教师的引导下回答问题；2.在教师的引导下总结极限的定义课中【例题讲解】（8分钟）例1作出下列函数的图像，写出时的极限．；（2）引导学生回答，教师书写在教师的引导下根据图像求极限课中【课堂练习1】（7分钟）利用函数图像求下列极限.；(2)；解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解课中【知识引入和讲解】（20分钟）2.时，函数的极限观察函数的图像，研究当x无限趋近1时，函数值y的变化情况；函数极限的定义1.作图2.提问：当x无限趋近1时包含几种情况；相应的函数值y的变化情况1.学生在教师的引导下回答问题；2.在教师的引导下总结极限的定义课中【例题讲解】（10分钟）例2已知函数（1）求当时，函数的极限；（2）求当时，函数极限．引导学生回答，教师书写在教师的引导下根据图像求极限课中【课堂练习2】（15分钟）作出函数的图像，并求.解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【知识巩固】书1.发布课后作业2.收、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案五：极限的运算法则基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析通过对极限定义的学习，大部分学生掌握的极限的公式和简单的计算。这一节主要是学习法则和应用法则解题，并学习一些极限的类型的做法。教学目标素质目标培养学生逻辑思维和计算能力。知识目标1.理解极限的运算法则；2.掌握和两种类型求极限的方法。能力目标能利用运算法则和进行相关函数的极限运算；2.能计算和两种类型的极限。教学重点利用极限的运算法则求相关函数的极限；2.计算和两种类型的极限教学难点计算和两种类型的极限教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】常用的几个极限公式学习通发布公式学生答题课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（25分钟）极限的运算法则=；特别当（C为常数）时，有().1.讲解极限的运算法则；2.引导学生推导推论。1.理解记忆极限的运算法则；2.学生在教师的引导下推导推论。课中【例题讲解】（35分钟）例1求.例2求.例3求.例4.例5求下列函数的极限：；（2）；（3）.引导学生回答，教师书写在教师的引导下解题课中【课堂练习】（30分钟）书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解教学环节教学内容教师活动学生活动课后【知识巩固】书1.发布课后作业2.收、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案六：数列的极限基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：1学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析通过对极限四则运算的学习，大部分学生掌握了极限的初步计算方法。讲解数列极限的定义，将求函数极限的方法用于数列。教学目标素质目标1.培养学生团结协作的习惯；2.培养学生分析解决问题的能力。知识目标了解数列极限的概念能力目标会求数列的极限教学重点数列极限的运算教学难点数列极限的运算教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【导读】等差数列、等比数列的定义和前项和公式学习通发布问题学生查阅资料，找出问题答案课中（45分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（20分钟）数列极限的定义；定义2对于数列,如果当无限增大时,数列的一般项无限地接近于某一确定的常数A,则称常数A是数列的极限,或称数列收敛于A.记为.如果数列没有无限,就说数列是发散的.2.数列极限的计算。1.提问：什么时数列的极限？2.根据学生的回答给出数列的极限的定义；3.数列是特殊的函数，函数极限的方法适用于数列。1.学生分组讨论回答问题；2.找出求数列极限的方法。课中【例题讲解】（25分钟）例1求下列数列的极限：（1）；；（3）；（4）.例2计算.引导学生回答，教师书写在教师的引导下解题教学环节教学内容教师活动学生活动课后【知识巩固】书1.发布课后作业2.收、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案七：两个重要的极限基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析第一个重要极限相对比较容易，学生容易理解；第二个重要比较难，需要分析讲解和练习。教学目标素质目标1.培养学生坚强的意志力；2.培养学生分析解决问题的能力。知识目标理解两个重要极限能力目标会利用两个重要极限求相关函数的极限教学重点两个重要极限教学难点利用第二个重要极限计算相关函数的极限教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【导读】1.2.学习通发布问题学生看书预习，找出问题答案课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（15分钟）第一个重要极限1.提问：可以用前面讲的型的方法求极限吗？2.根据学生的回答列表观察得到第一个重要极限。1.学生分组讨论回答问题；2.在教师引导下观察得到第一个重要极限。课中【例题讲解】（10分钟）例1求.例2求.引导学生回答，教师书写在教师的引导下解题课中【知识引入和讲解】（20分钟）第二个重要极限1.提问：是初等函数吗？2.根据学生的回答列表观察得到第二个重要极限。1.学生分组讨论回答问题；2.在教师引导下观察得到第二个重要极限。课中【例题讲解】（15分钟）例3求.例4求.引导学生回答，教师书写在教师的引导下解题课中【课堂练习】（30分钟）书A组（2）（3）B组（1）（3）解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【知识巩固】书A组（1）（4）（5）B组（2）1.发布课后作业2.收、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案八：无穷大量与无穷小量基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析通过前面对函数和数列极限的学习，无穷大量和无穷小量相对比较容易。教学目标素质目标1.培养学生团结协作的习惯；2.培养学生分析解决问题的能力。知识目标了解无穷小和无穷大的概念能力目标1.能进行无穷小的比较；2.会利用无穷小的性质求相关函数的极限；3.能恰当利用等价无穷小的替换求函数的极限。教学重点无穷小的比较和利用等价无穷小的替换求函数的极限。教学难点恰当利用等价无穷小的替换求函数的极限教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【导读】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．显然，当时间趋近无穷时，所剩的木棍的长度是以零为极限的量．学习通发布《庄子天下篇》中的一个命题资料学生阅读课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入和讲解】（20分钟）无穷小的定义；定义1若当（或）时，函数的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小量，简称无穷小.无穷小的性质性质1有限个无穷小的和仍为无穷小.性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.例1求1.提问：无穷小是什么?2.根据学生的回答给出无穷小的定义；3.例题讲解。1.学生分组讨论回答问题；2.在教师的引导下总结如何比较无穷小；3.在教师的引导下回答例题的解法。课中【例题讲解】（20分钟）一般地，设和是自变量同一变化过程中的无穷小，则（1）如果，则称为的高阶无穷小，即趋近0的速度高于，记作；（2）如果，则称为的低阶无穷小，即趋近0的速度低于；（3）如果(为非零常数)，则称为的同阶无穷小，即趋近0的速度与相当.特别地，当时，即时,称为的等价无穷小.记作：～.读做“等价于”.例2比较下列各组无穷小：（1）当时，比较与；（2）当时，比较与；（3）当时，比较与.1.提问：同一变量变化过程中的无穷小趋于零的速度是否相同？2.根据学生的回答给出无穷小的比较。引导学生回答，教师书写在教师的引导下解题课中【知识引入和讲解】（30分钟）定理1设是自变量同一变化过程中的无穷小，～，～，且存在，则.例3求例4求例5求1.给出等价无穷小替换的定理；2.给出例5的错误解法，让学生总结如何“恰当利用等价无穷小的替换”解题；3引导学生回答，教师书写在教师引导下解题。课中【知识引入和例题讲解】（10分钟）定义2若当（或）时，函数的极限为无穷大，那么称函数为当（或）时的无穷大量，简称无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，有以下两种情况（1）如果函数是无穷小，且，则是无穷大；（2）如果函数是无穷大，则是无穷小.例6讨论极限1.提问：无穷大是什么?2.根据学生的回答给出无穷大的定义；3.观察和，请学生给出无穷大和无穷小的关系；4.例题讲解。1.学生分组讨论回答问题；2.在教师的引导下总结无穷小和无穷大的关系。【课堂练习】（10分钟）书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解教学环节教学内容教师活动学生活动课后【知识巩固】1.发布课后作业；2.批改并.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案九：函数的连续性基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学生对于连续和间断点的内容比较抽象，通过作图，让学生理解连续的定义。教学目标素质目标培养学生逻辑思维能力以及科学素养精神知识目标1.理解函数连续性和间断点的概念，能结合图像判断函数的连续性；2.了解闭区间上连续函数的性质。能力目标1.会利用初等函数的连续性求函数的极限；2.会函数的间断点并判断其类型。教学重点1.利用初等函数的连续性求函数的极限；2.求函数的间断点并判断其类型。教学难点求函数的间断点并判断其类型教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】函数的连续学习通发布问题：函数在某点连续需要满足哪些条件？学生看书回答问题