13.3.1 三角形的内角（第1课时）

14/14第十三章三角形13.3三角形的内角与外角13.3.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和一、教学目标【知识与技能】应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 1.了解三角形的内角和等于180°.2.利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题.【教学难点】1.利用所学知识证明三角形内角和等于180°.2.认识辅助线，了解辅助线的作法及作用.3.独立完成证明过程.五、课前准备 教师：课件、三角尺、量角器、三角形纸等。学生：三角尺、量角器、三角形纸、剪刀。六、教学过程（一）导入新课我的形状最大，那我的内角和最大.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.（出示课件2）我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最小，那我的内角和最小.（二）探索新知探究1.三角形的内角和教师问1：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C等于多少度？学生回答：∠A＋∠B＋∠C＝180°.教师问2：这个结论你是如何得出的？学生回答1：可以利用拼接的方法，如下图：（出示课件4）学生回答2：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量.（出示课件5-6）计算如下：600＋480＋720＝1800

教师问3：利用这些方法得出的结论准确吗？学生回答：不准确(或准确).教师讲解：如何得到准确的答案呢？我们一起进入下面的环节：2.思考证明三角形的内角和定理师生互动，探究新知1.观察三角形的构成，探索三角形的概念教师问4：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°？学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角.如图①、图②，（出示课件7）图①图②教师问5：测量的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？学生回答：如果图上虚线l存在就好了。学生问：在图①、图②中，直线l是存在吗？教师答：它们不存在，我们可以画上它们，帮助我们做题.教师问6：看一下，在图①、图②中，直线l有什么特点呢？学生回答：图①中的直线l∥BC，图②中的直线l∥AB，我们自己画上帮助证明用的.教师问7：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明.教师问8：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.学生回答：（出示课件8）已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明1：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，内错角相等).同理，∠2＝∠C.∵∠1，∠BAC，∠2组成平角，∴∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角定义).∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)，即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.证明2：（出示课件9）延长BC到D，过点C作CE∥BA，

∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

教师问9:同学们还有其他的方法吗？学生回答：有如下证明的方法：（出示课件10）证明3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.

∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.

(两直线平行，同位角相等)

∠A+∠AED=180°，

∠AED+∠EDF=180°，

(两直线平行，同旁内角相补)

∴∠A=∠EDF.

∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.

学生问：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？

教师答：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.

还有下边的辅助线，同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.（出示课件12）总结点拨：（出示课件13）1.作辅助线为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.

2.思路总结为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.

探究2.利用三角形的内角和定力求角的度数例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.

（出示课件14）师生共同解答如下：解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，

∠ADB=180°–∠B–∠BAD

=180°–75°–20°

=85°.出示课件15-17，完成练习例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.

（出示课件18）师生共同解答如下：解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．

∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，

∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.

又∵∠CFD＝∠AFE，

∴∠CFD＝60°.

∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，

∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.出示课件19，完成练习

总结点拨：（出示课件20）基本图形：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.

基本图形：由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.探究3.方程的思想与三角形内角和定理的综合应用例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.师生共同解答如下：（出示课件21）解:设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x＋15)，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.方法点拨：三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.出示课件22-24，学生自己思考解答探究4.利用三角形的内角和定理解决实际问题（方位问题）例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？（出示课件25）

师生共同解答如下：（出示课件26）解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°，

∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°.

在△ABC中，

∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB

=180°–60°–30°=90°，

答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.

（三）课堂练习（出示课件30-34）1.求出下列各图中的x值．2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=________．

3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.

4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．

5.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.

6.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？参考答案：1.x=70x=60x=30x=50

2.100°3.280°4.解：∵∠A+∠ADE=180°，

∴AB∥DE，

∴∠CED=∠B=78°．

又∵∠C=60°，

∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）

=180°–（78°+60°）

=42°．

5.解：∵∠B=42°，∠C=78°，

∴∠BAC=180°–∠B–∠C=60°.

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=12∠BAC=30°，

∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.

6.解：∵△ABC中，∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°．

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=60°．

∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–12（∠ABC+∠ACB=180°–12（180°–∠A=90°+12∠A（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节主要学习三角形内角和等于180°.2.本节涉及的思想方法是整体思想.3.师生共同总结本节课需要注意的问题.（五）课前预习预习下节课（13.3.2）教材P13-P14的相关内容。知道直角三角形的性质定理和判定定理七、课后作业1、教材13页练习1，22、在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.

八、板书设计：九、教学反思：本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课.本节的部分知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证.在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力.在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯.本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯.综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°