2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题07 函数的应用（10年汇编）（解析版）

专题07函数的应用10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01函数零点的定义2025年上海高考真题考查，题型为3问压轴解答题；2026年模拟题高频延伸考查，为近年新增核心考点基础题考查零点定义的直接应用、元素与集合的判断；核心变化为2025年首次结合偶函数、新定义集合、函数图象综合考查，压轴题侧重零点个数的逻辑证明，对抽象推理与分类讨论能力要求大幅提升考点02函数零点的分布2020、2023、2024年上海高考真题连续考查，题型覆盖填空题、解答题；2024年考查三角函数零点分布，2023年考查二次函数零点分布，2020年考查分段函数零点分布基础题考查零点存在性定理、零点个数与参数范围求解；命题规律稳定，核心结合三角函数、二次函数、分段函数考查，2024年创新结合三角函数周期性考查区间内零点个数，对函数图象与性质的综合应用能力要求提升考点03函数与方程的综合应用2021、2022、2025年上海高考真题高频考查，题型覆盖填空题、解答题；2021年考查3问解答题，2022年考查填空压轴题，2025年考查绝对值方程求解基础题考查方程解集求解、函数定义域与单调性；核心变化为2022年首次结合函数奇偶性、对称性、周期性综合考查，2021年创新考查复合函数单调性与方程根的分布，题型从基础计算转向多知识点融合的综合推理考点04函数模型及其应用2018、2023、2025、2026年上海高考真题连续考查，题型覆盖填空题、解答题；2026年考查3问统计回归类解答题，2025年考查抛物线模型填空压轴题，2023年考查建筑体模型解答题核心变化为2023年起从传统函数模型转向统计、几何、导数融合的综合场景，2026年新增环保监测类实际场景，对数学建模、数据分析与综合应用能力要求大幅提升考点01函数零点的定义1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【答案】(1)不是；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）直接代入计算和即可；（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.【详解】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.考点02函数零点的分布1．（2020·上海·高考真题）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______.【答案】【分析】根据题意可知或，进而可得且，并分析函数的构成，即可确定的范围【详解】因为对于任意，的值为或，可得且，又因为关于的方程无实数解，则且，可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；所以的取值范围是.故答案为：．2．（2024·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.（2）利用三角函数的性质求解参数即可.【详解】（1）因为，所以，因为，所以令，由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，所以，故，（2）由题意得，所以，可得，当时，，，即，，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，所以，即，故.3．（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.【答案】(1)不存在(2)且【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，假设为奇函数，则，而，则，此时无实数满足条件，所以不存在实数，使得函数为奇函数；（2）图像经过点，则代入得，解得，所以，定义域为，令，则的图像与轴负半轴有两个交点，所以，即，解得，若，即是方程的解，则代入可得，解得或.由题意得，所以实数的取值范围是且.考点03函数与方程的综合应用1．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．【答案】【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.【详解】.当时，令得；当时，恒成立；当时，令得.综上所述，方程的解集为.故答案为：.2．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________【答案】2【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.【详解】解：因为为奇函数，所以，且，又关于直线对称，所以，所以，则，所以函数是以4为周期的周期函数，作出函数和的图像如图所示：由的正数解依次为、、、、、，则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.故答案为：2.3.（2021·上海·高考真题）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）解绝对值不等式即可得答案；（2）利用有两个不同的实数根，转化为有两个根，利用换元法可求实数a的取值范围；（3）分与两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围.【详解】解：（1），∴，解得；所以函数的定义域为.（2）由题知有2个不同实数根，所以，，设，∴有2个不同实数根，∴整理得，有2个不同实数根，同时，∴；（3）当，，在递减，此时需满足，即时，函数在上递减；当，，在上递减，∵，∴，即当时，函数在上递减；综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减.所以的取值范围是【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为，有2个不同实数根，进而求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解.考点04函数模型及其应用1．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

【答案】【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，，当，设，则，所以，则，令，则，在上递增，令，则或，在上递减，又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：2．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？（直接写结论）(3)2023年前9年的年份()的平均数为2018，(颗粒物密度)关于(年份)的回归方程拟采用，或.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？参考数据：【答案】(1)；(2)散点图；(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数，故相关系数在区间上.（3）采用方程时，2023年预测值为，预测值与实际值差值绝对值为；因为，所以，可得.故采用方程时，2023年预测值为，预测值与实际值差值绝对值为；因为，故方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.3．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可；（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值.【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，，所以.（2）由题意可得，，所以，令即，解得，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值在或取得，当时，，当时，，所以在第6层时，该建筑体最小.4．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性.【详解】（1）根据题意，即，当时，，不满足题意；当时，，化简得，即，∴或（舍），∴，综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间；（2）由题意，，当时，，由一次函数图象性质可知，在时单调递减；当时，，由二次函数图象性质可知，当时，单调递减，当时，单调递增；综上，，在上单调递减，在上单调递增，说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加.一、单选题1．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（

）．A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列【答案】D【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可.【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为，则，，注意到能表示大于的所有正整数，且为整数，必能用两个大于的整数之差表示，所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误；对于选项BD：设等比数列的公比为，则，对于确定的，令，，令，因为，则，可知函数在内单调递增，且，，可知函数在内有且仅有一个零点.即存在使得，即，此时，对于不同的，的零点可以看出方程的解，即与在交点的横坐标，当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个，所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确；故选：D.2．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得.【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为，则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；当直线在②位置时，显然有：；当直线在③位置时，显然有：，故D错误.3．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（

）A．函数的零点的个数一定是3个B．若集合的解集是，则实数对有2对C．函数必存在极值D．函数在处的切线方程为，则【答案】B【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错.B：若满足条件，则在处为零，且在时，由，得，即或，当时，，为满足条件，，当时，同理可得，当时不满足题意，所以实数对有对：和，B对.C：求导，，接着判断，把判别式看作关于的函数，则，，当时，，，所以有两个零点，有极值，当时，，此时当，，有两个零点，有极值，当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，所以当取值时，，无极值，所以C错.D：在处的切线方程为，求导，得，得或，D错.4．（25-26高三上·上海·阶段检测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解.【详解】由函数，其中，可得，因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点，由图象如图，由图可知，，解得，所以的取值范围为.故选：C.二、填空题5．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．【答案】【分析】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可.【详解】令，令，因为，所以，即，所以方程变为：，若函数在区间有10个零点，则等价于函数与函数在上有10个交点，则需满足，解得：，由，令，即，由，则，又，所以要使函数在区间有10个极值点，即方程在上有10个实数解，则需满足，解得：，所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是.6．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.【答案】0【详解】令，即，解得，所以函数的零点是0.7．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______【答案】【详解】由，得或，由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根，则，解得且，所以实数a的取值范围是.8．（2026·上海·三模）已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________.【答案】【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意可知函数的值域不为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.【详解】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，若存在实数，使得方程无解，可知函数的值域不为，当时，在上单调递增，在上单调递增，则，解得；当时，在上的最小值为，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：9．（2026·上海黄浦·三模）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________.【答案】【分析】根据题设可得、是函数的零点，也是的两个根，即可得函数解析式，进而有，应用换元法及二次函数性质求其最大值.【详解】由，可得为的两个零点，又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点，所以是的两个根，则，所以，令，则，所以，当，即时，最大值.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据对称性可得是的两个根，即可得参数值，再应用换元法将函数化为二次函数求最值.10．（2024·山东烟台·一模）若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数，由，得，则或，由，得，由在上恰有5个零点，得，解得，由，得，即函数在上单调递增，因此，即，且，解得，所以正实数的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体，由求得函数的单调递减区间，由求得函数的单调递增区间．三、解答题11．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．(1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由；(2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值；(3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点．【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)．(3)．【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有，取即可得到矛盾．（2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第26个解的位置．（3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可．【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”．由定义可得，取，则，矛盾．故不存在这样的函数．（2）因为是周期为的偶函数，且当时，所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以．又因为是的“关联函数”，所以．由，得．当时，．令，得，所以或．当时，或，故方程无解．当时，在区间内，方程有4个解，分别为，因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解．要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解，即需要6个这样的区间．第26个解为，故的最小值为．（3）由题意，存在函数及，使得且若，则由可得；若，则由可得．因此与的零点相同．所以求方程的解，等价于求方程的解．当时，，令，得，因为，所以.当时，，于是因为，所以.又因为，所以，从而故时，方程无解．综上，方程的解为12．（2026·上海·三模）已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，因为，所以，即，解得，所以所求解集为；（2）因为，由，得只有一个正根，若，满足题意；当时，若，解是，此时方程仅有一个实根为，满足题意；若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号，所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意；综上，或，所以实数的取值范围是：.13．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）.(1)若函数的图象过点，求不等式的解集；(2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；（2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得.【详解】（1）将代入，可得，得，故，该对数函数为定义在上的减函数，故由可得，解得，故不等式的解集为（2）由已知可得，即，故，整理可得，故，得，由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，设，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，解得，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，不等式无解，综上可得实数的取值范围为14．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且.(1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；(2)设.若关于的方程的