2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题15 排列组合、二项式定理、计数原理（10年汇编）（解析版）

专题15排列组合、二项式定理、计数原理10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01计数原理（分类加法、分步乘法）2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2024-2026年均有基础填空/单选题，2023年考查解答题基础问，2017-2022年年均有高频考查基础题核心考查分类加法、分步乘法计数原理的直接应用、分步方案数求解，难度较低，为必拿分考点；核心变化为2023年起结合新定义概念、几何图形场景、概率统计综合考查，2026年创新结合空间几何体中点的路径问题考查，对分类讨论与逻辑建模能力要求提升考点02排列组合2018-2026年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026年考查填空压轴题，2025年考查3问概率综合解答题，2018-2024年均有高频基础题基础题考查排列数、组合数公式应用、简单排队/分组问题求解，难度较低；核心变化为2025年起大量结合概率统计、数列通项、不等式求解综合考查，2026年首次以本考点为核心命制新定义填空压轴题，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升考点03二项式定理2017-2026年高频考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2026年首次考查3问新定义解答题，2025、2023、2020、2019、2018年均有填空题，2026年同时考查填空与解答压轴题基础题考查二项式展开式通项公式、指定项系数、二项式系数性质，难度较低；核心变化极为显著：2026年新增新定义“二项式系数列”，融合不等式恒成立、系数最值、充要条件证明综合考查，近年大量结合函数单调性、数列求和、概率分布综合考查，从基础公式应用转向多知识点融合的逻辑推理，综合性与难度大幅提升考点01排列组合1．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.【答案】6【分析】结合组合知识求解即可.【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有种选法.故答案为：6.2．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．【答案】329【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可.【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.先研究集合中无重复数字的三位偶数；（1）若个位为0，这样的偶数有个；（2）若个位不为0，这样的偶数有个；所以集合元素个数最大值为个．故答案为：3293．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．【答案】/0.5【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率，故答案为：4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；【答案】【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．5．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【答案】【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组合是不符题意的，∴,故答案为：23.6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）【答案】【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】总的情况为种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，∴概率为,故答案为：7．（2017·上海·高考真题）若排列数，则________【答案】3【详解】由，所以，解得.8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？【答案】(1)甲组第60百分位数为173厘米，乙组第60百分位数为厘米；(2)；(3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组.【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；（3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）.【详解】（1）甲队：，所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；乙队：，所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米．（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件，.（3），要使两组平均身高都增大，则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．【答案】(1)(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；（2）利用分层抽样的定义进行求解；（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，A事件的样本点的公式，所以；（2）因为一级果箱数：二级果箱数，所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为，方差为，因为，，，，所以克，克．预估平均质量为克．考点02二项式定理1．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．【答案】【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.【详解】由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为.2．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.【答案】【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为：.3．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】利用通项公式求解可得.【详解】由通项公式，令，得，可得项的系数为.故答案为：.4．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．【答案】1【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.【详解】展开式的通项为，令解得，∴．∴．故答案为：15．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．【答案】10【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，所以的展开式项的系数为.故答案为：106．（2024·上海·高考真题）展开式中的系数为______.【答案】15【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.【详解】展开式中令的项为，所以展开式中的系数为15.故答案为：157．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______.【答案】49【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案.【详解】二项式的通项为，二项式的通项为，，，若，则为奇数，此时，，又为奇数，的最大值为49.故答案为：49.8．（2023·上海·高考真题）设，则________________．【答案】17【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可.【详解】二项式展开式的通项为，当，即时，，当，即时，，所以，故答案为：179．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；【答案】10【分析】先写出二项展开式的通项公式，令得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可.【详解】由题知，当时，的系数为；当时，常数项为；又的系数是常数项的5倍，所以，解得.故答案为：1010．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________【答案】【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中含项的系数为.故答案为：.11．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为______.【答案】【分析】根据已知条件求出的值，利用二项式定理可求得的系数.【详解】因为的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则，故的二项展开式的通项为，由可得，故的系数为.故答案为：.12．（2019·上海·高考真题）在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.13．（2018·上海·高考真题）在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）【答案】【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数.【详解】展开式的第项为，则当时，，所以项的系数为21.故答案为：21.考点03计数原理1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．【答案】288【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法.故答案为：2882．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．【答案】9【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.【详解】因为空间中有三个点，且，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解.3．（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.4．（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况.【答案】180【分析】先从人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可.【详解】按照先选再排的方法可知共有种方法.故答案为：180【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题.一、填空题1．（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________．【答案】【详解】因为展开式的通项为，的幂指数为，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0.2．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________．【答案】【详解】表示5个相乘，要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项，所以项的系数为.3．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________．【答案】7【详解】.所以被8除所得的余数为7.4．（2026·上海·三模）已知为正整数且，则的值为___________【答案】10【分析】根据组合数的性质直接求解即可.【详解】因为为正整数且，所以,由组合数的性质可知，由于，故时，，所以的值为.5．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．【答案】【详解】当时，，所以.展开式中，的系数为.6．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________．【答案】【分析】先求出从12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】从12人中选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高一（7）班以外的8个班时，有种；当6人有1人来自高一（3）班或高一（7）班，其余5人来自另外的8个班时，有种；当6人有1人来自高一（3）班、1人来自高一（7）班，其余4人来自另外的8个班时，有种，故共有种．∴这6名主力队员来自不同的班级的概率为.7．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001）【答案】0.706【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可.【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以，所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为8．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________．【答案】【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率.【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种.志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况：①A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种；②A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种.因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种.故所求概率为.9．（2026·上海·三模）二项式的展开式中，系数为______．【答案】【详解】展开式通项公式为，且为整数.令，则，则系数为.10．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______【答案】【分析】根据正态分布的对称性、二项分布及组合数的性质得与同分布，与同分布，进而有与同分布，得，利用对称性求概率和.【详解】由，则与同分布，由，则，显然，即与同分布，随机变量X，Y相互独立，所以与同分布，则，即的概率分布关于对称，其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故，所以.11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________．【答案】【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率.【详解】3人全排列，总的基本事件数为种，若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列，所以甲和乙不相邻的概率为：.12．（2026·上海·三模）若，则的展开式中含项的系数为__________.【答案】-220【详解】因为，所以，的展开式中含项的系数为.13．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.【答案】【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得.【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.由古典概型概率公式，可得概率为：.14．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______．【答案】【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解.【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A，则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动，则，可得，所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为.15．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________.【答案】【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解.【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为：，当时，第5项为为常数，则，解得：.16．（2026·上海黄浦·三模）已知，则________.【答案】80【详解】由，当时，，当时，，所以17．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达）【答案】【分析】由展开式中的常数项是，求得，代入原式，令，即可得答案.【详解】因为的展开式的通项为：，又因为展开式中常数项是，令，