广东省揭阳市中考2026年二模数学试题附答案

二模数学试题一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在-2，0，2，5这四个数中，最小的数是（）A．-2 B．0 C．2 D．52．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．如图，已知直线与直线，都相交.若，，则（）A．53° B．52° C．51° D．50°4．在下列事件中，不可能事件是（）A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心5．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．将分式方程去分母后得到的整式方程为（）A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）7．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：）.关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是38．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（）A． B．C． D．9．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（）A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm10．如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为.下列图象能反映与之间函数关系的是（）A． B．C． D．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．如图，，，则.12．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则（填“”，“”或“”）．13．不等式组的解集是.14．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是（写出一个即可）．15．跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0（单位：m），这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8m.则李阳这6次跳远成绩的方差（填“变大”、“不变”或“变小”）.三、解答题（一）（共3小题，共24分）16．（1）计算：；（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.17．某文创店推出，两款主题纪念钥匙扣.已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个.求这两款钥匙扣的单价.18．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米.在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离.（参考数据：，，，精确到0.1米）四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分）19．如图，在中，，已知为的中点.（1）求作：过点作直线的垂线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由.20．张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路.为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二.根据记录数据绘制成如下统计图：（1）根据以上数据把表格补充完整：

平均数中位数众数方差路线一182.4路线二15.61118.04（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并说明理由.21．综合与实践：当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.【探索过程】步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的下底面积为.【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒.【解决问题】请按要求完成下列任务：（1）分别求关于，关于的函数解析式；（2）若设计的长方体包装盒的下底面积为，求的值；（3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积的最大值及剪去的小正方形的边长.五、解答题（三）（共2小题，每题12分，共24分）22．如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点.（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）已知：，，求的值.23．如图1，矩形的顶点，分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点与点.（1）若点坐标为，求该反比例函数的表达式；（2）如图2，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标；（3）如图3，连接和，过点作轴的平行线交于点，连接，若，猜想与的数量关系，并证明.

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜5，

∴最小的数是-2.故答案为：A.【分析】利用有理数的大小比较可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【分析】根据轴对称图形的定义为：若一个平面图形沿着某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐个判断选项即可得到答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：已知a∥b，直线c截两条平行线，∠1与∠2是内错角，∠1=50∘.

根据两直线平行，内错角相等，得∠2=∠1=50∘.故答案为：D.【分析】由两直线平行的条件，识别∠1、∠2为内错角，再由平行线内错角相等的性质，直接推出∠2度数.4．【答案】B【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；

B为不可能事件，符合题意；

C为必然事件，不符合题意；

D为随机事件忙不符合题意.故答案为：B【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a-1＞b-1，所以A不成立；

B：因为a＞b，所以，所以B不成立；

C：因为a＞b，所以-a＜-b，所以C不成立；

D：因为a＞b，所以2a＞a+b，所以D一定成立。故答案为：D.【分析】根据不等式的基本性质，逐项进行推导，即可得出答案。6．【答案】A【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：故答案为：A.【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.7．【答案】A【解析】【解答】解：选项A（众数）：出现次数最多的数是5（出现2次），众数为5，A正确；

选项B（中位数）：共6个数据，中位数为第3、4个数的平均数，=5，不是6，B错误；

选项C（平均数）：总和3+4+5+5+6+7=30，平均数30÷6=5，不是6，C错误；

选项D（极差）：最大值7，最小值3，极差7−3=4，不是3，D错误。故答案为：A.【分析】由原始数据先从小到大排序，再分别依据定义计算众数、中位数、平均数、极差，逐一核对四个选项对错。众数：由出现次数最多的数据定义，直接统计数字频次；中位数：由偶数个数据取中间两数平均值规则计算；平均数：由总和除以数据个数公式计算；极差：由最大值减去最小值求得.8．【答案】C【解析】【解答】解：A：y=−3x，一次函数k=−3<0，y随x增大而减小，不符合；

B：y=3x，反比例函数k=3>0，在x>0时y随x增大而减小，不符合；

C：y=3x+1，一次函数k=3>0，全体实数范围内y随x增大而增大，x>1时同样递增，符合；

D：y=−(x−1)2−3，二次函数开口向下，对称轴x=1，x>1时y随x增大而减小，不符合。故答案为：C.【分析】由一次函数、反比例函数、二次函数的增减性判定规则，分别判断每个选项在x>1区间内y随x的变化趋势，筛选出递增的函数。一次函数：由y=kx+b中k正负判断增减；反比例函数：由k>0时，每个分支内y随x增大而减小判断；二次函数：由开口方向与对称轴划分增减区间，判断x>1部分单调性.9．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90∘，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），

∴△ACO∽△BDO。

根据相似三角形对应边成比例：

已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，

代入：，

，

AC=60cm.

故答案为：B.

【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角+对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.10．【答案】A【解析】【解答】解：菱形ABCD，AB=4，∠A=60∘，总路程x范围：0<x≤8，分两段讨论：

第一段：0<x≤4（E在AB上）

过E作EH⊥AD于H，AE=x，∠A=60∘AH=x，EH=x

阴影面积（直角三角形）：y=⋅x⋅x=

这是开口向上的二次函数，曲线向上弯曲；当x=4时，y=16=；

第二段：4<x≤8（E在BC上）

BE=x−4，水平向AD延伸的底固定为AH=2，高恒为菱形高，

新增矩形面积：y=S△ABH+⋅(x−4)=+(x−4)=x−

这是一次函数，直线匀速上升；

x=8时，y=×8−=，

只看形态：第一段曲线二次递增（上凸），第二段直线线性递增，对应图像A。故答案为：A.【分析】由E运动路径分为AB、BC两段，由∠A=60∘直角三角形面积公式得到0<x≤4时二次函数曲线；由BC平行AD，垂线高度不变，得到4<x≤8时一次函数直线，结合曲线先弯后直的特征匹配图像。0<x≤4：由含60°直角三角形面积公式，推出y关于x的二次函数，图像为抛物线弧；4<x≤8：由平行线间垂高不变，面积匀速增加，推出一次函数，图像为倾斜直线；由“先曲线、后直线”的形态筛选唯一匹配选项A.11．【答案】136°【解析】【解答】解：已知∠BOD=90∘，∠COD=44∘.

∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90∘−44∘=46∘.

又∠AOC=90∘.

∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90∘+46∘=136∘.故答案为：136°.【分析】由∠BOD=90∘减去公共角∠COD，先求出∠BOC；再由∠AOC=90∘，两角相加得到完整的∠AOB。由直角∠BOD与∠COD，求出∠BOC；由∠AOC+∠BOC合并得到∠AOB.12．【答案】【解析】【解答】

解：观察数轴可知：

∴|a||b|，故答案为：；【分析】根据绝对值的定义：|a|绝对值表示的是数a到原点的距离，即可观察数轴得出答案，解答即可.13．【答案】【解析】【解答】解：不等式组：

1.解不等式②：2x−3<5

2x<5+3

2x<8

x<4

2.结合①x≥−2，取两个解集公共部分：

解集为−2≤x<4故答案为：.【分析】由不等式组解法，分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集。由移项、系数化为1解第二个不等式，得到x<4；由“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的解集规则，结合x≥−2，合并得−2≤x<4.14．【答案】2【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m

∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限

∴-1+m>0，解得m>1故答案为：2（答案不唯一，满足即可）【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.15．【答案】变小【解析】【解答】解：已知5次成绩平均数x=7.8，方差=0.02，

数据个数n=5把数值代入公式变形：所有差的平方相加=方差×数据个数，

总和=0.02×5=0.1，

第6次成绩正好等于平均数7.8，这个数与平均数的差：7.8−7.8=0，平方后还是0新的平方总和=原来总和+0=0.1+0=0.1，

现在一共有6个数据，新方差=0.1÷6≈0.0167，

原来方差0.02，新方差约0.0167，

0.0167<0.02，

所以方差变小，故答案为：变小.【分析】由方差计算公式，先求出5组数据的偏差平方总和；新增成绩等于平均数，不会增加平方和，但数据总数变多，分母变大，算出的方差数值更小。由方差公式反向求出所有数据与平均数差值的平方总和；新增数据等于平均数，差值为0，不会增加平方总和；分子不变，分母变大，最终方差变小.16．【答案】（1）解：原式.（2）解：将点（4，5）与点（2，1）代入得，，解得，所以一次函数的表达式为.【解析】【分析】(1)由零指数幂、二次根式、特殊锐角三角函数三个基础定义，分别化简每一项，再进行加减混合运算；

(2)由一次函数图象上的点坐标满足解析式，代入得到二元一次方程组，用加减消元法求出k、b，回代写出函数式。17．【答案】解：设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：A款钥匙扣单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元.【解析】【分析】由总价、单价、数量关系，先设低价B款单价为x，表示出A款单价；由“A购买数量=B购买数量−3”的等量关系列出分式方程；解出后检验分母不为0且符合实际意义，最后求出两款单价。由单价倍数关系设未知数；由数量=，结合数量差建立分式方程；去分母化为一元一次方程求解，分式方程必须检验；回代求出另一款价格，规范作答.18．【答案】解：过点作于点，如图，∵，，∴.∵米，米，∴（米）在中，∵，∴，∴（米）.【解析】【分析】由等腰三角形内角和求出底角∠C=75∘，由线段相加得到CD总长；由直角三角形正弦定义建立等式，代入参考三角函数值计算垂直高度，最后按要求精确到0.1米。由等腰三角形性质，结合三角形内角和算出底角；由线段和求出直角三角形斜边CD；由锐角正弦定义，列出等式求解垂直高度DE.19．【答案】（1）解：根据要求作出图形，如图即为所求；（2）解：四边形是矩形.理由：由条件可知，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，四边形是矩形.【解析】【分析】(1)由尺规作直线垂线的标准作图方法，以C为顶点构造垂直，由画弧取交点、连线两步完成，全程保留作图痕迹.

(2)由垂直条件推出AB∥CE，得到一组内错角相等；由D为AC中点得AD=CD，搭配对顶角相等，证△ABD与△CED全等；由全等得到BD=DE，结合AD=CD，由对角线互相平分判定四边形是平行四边形；由已知∠ABC=90∘，依据“有一个直角的平行四边形是矩形”完成最终判定.20．【答案】（1）解：18；18；15；（2）解：选路线二，理由如下：路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二.【解析】【解答】路线一10组数据：15，16，20，18，18，19，18，20，17，19.

1.平均数：(15+16+20+18+18+19+18+20+17+19)÷10=18，

2.众数：出现次数最多的是18，

路线二10组数据：11，11，14，16，17，22，21，11，21，12

从小到大排序：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22

中位数：第5、6个数平均值=15，

填空依次：18、18、15，

故答案为：18、18、15.

【分析】(1)由折线统计图提取两条路线全部用时数据，分别计算对应统计量：由折线图读出10组路线一数据，利用平均数=所有数据总和÷数据个数算出路线一平均数；由众数定义（出现次数最多的数）找出路线一众数；由中位数定义，将路线二数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数.

(2)由平均数、中位数、众数反映一组数据平均水平，方差反映数据波动大小，分两类需求判断：追求更少通勤时长：对比平均数、中位数、众数，路线二整体用时更低，选路线二；追求通勤时间稳定：对比方差，路线一方差更小，用时波动小，选路线一.21．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，长方体的长、宽、高的和为ycm，长方体包装盒的底面积为，依题意得：，；（2）解：∵设计的长方体包装盒的底面积为，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴的值为4；（3）解：由题知，，

解不等式：50−2x≥20⇒x≤15，

50−2x≤44⇒x≥3，

得自变量范围：3≤x≤15.

二次函数S=2x2−70x+600，

∵a=2>0，

∴抛物线开口向上，

对称轴：x=−==17.5，

对称轴x=17.5，区间3≤x≤15在对称轴左侧，S随x增大而减小.

最大值在区间最小x=3处：

Smax=2×32−70×3+600=408.

所以底面积最大值408cm2，对应剪去小正方形边长x=3cm.【解析】【分析】（1）由裁去小正方形边长，确定折叠后长方体长、宽、高；由三边相加列式化简，得到y与x的一次函数；由底面积=长×宽，多项式展开整理得到S关于x的二次函数.

(2)将S=352代入函数建立一元二次方程，整理为一元二次标准方程，因式分解求解得到两个根；结合纸板实际尺寸舍去超出范围的根，得到符合题意的x.

(3)由20≤y≤44代入一次函数，解不等式组得到x取值范围；分析由二次函数a符号判断开口方向、对称轴，区间增减性；在区间左端点取到最大值，计算最大底面积与对应边长.22．【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）证明：连接OC，如图，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵为的半径，是的切线；（3）解：连接OC，设OC交BF于点E，如图，∵AB为的直径，∴，∵，，∴，，∵AB为的直径，∴，∴，∵，，∴四边形CDFE为矩形，∴，∴.设，则，∵，，∴，∴.∴，∴.∴.∴.【解析】【分析】（1）找等角：直径得直角、垂直得直角，得到第一组相等角；利用圆周角定理+角平分线，推导