初升高数学衔接 专题13 单调性与最大（小）值（精讲）

预备预备新高一数学专题13单调性与最大（小）值1．理解函数单调性的定义、几何意义，掌握函数单调性的判断与证明的规范步骤．2．熟练求解各类函数的单调区间，明确单调区间书写规范与易错禁忌．3．掌握函数单调性的基础应用与综合应用方法，能利用单调性比较大小、解不等式、判断参数范围．4．深刻理解函数最值的定义与本质，熟练求解函数最值与值域，能依据最值逆向求解参数．5．掌握实际问题与综合题型中的函数最值求解思路，构建完整的单调性与最值解题体系．一、函数单调性的定义设函数的定义域为，区间：1．增函数：任意，当时，都有，则称在区间上单调递增。2．减函数：任意，当时，都有，则称在区间D上单调递减。3．单调区间：函数单调递增、单调递减对应的自变量区间，统称为单调区间。4．核心前提：单调性是区间性质，必须限定区间讨论，脱离区间无法判定单调性。二、单调性常用判定方法1．定义法（作差法）：取值→作差→变形→判号→下结论，是单调性证明的唯一标准方法。2．图象法：图象上升区间为增区间，图象下降区间为减区间，适用于快速判断简单函数单调性。3．四则运算法：增+增=增、减+减=减、增-减=增、减-增=增；正系数不改变单调性，负系数反转单调性。4．复合函数单调性：同增异减，内外层函数单调性一致则整体递增，奇偶相反则整体递减。三、函数最大（小）值定义1．最大值：设函数定义域为，若存在，使得对任意，都有，则为函数最大值。2．最小值：若存在，使得对任意，都有，则为函数最小值。3．最值与值域关系：最值是值域的端点，值域是函数所有取值的集合，有最值可直接确定值域边界，无最值则值域延伸至无穷。四、单调性与最值核心结论1．单调函数区间最值：函数在闭区间上单调，最值在区间端点处取得；开区间单调函数无最值。2．二次函数最值：开口向上顶点取最小，开口向下顶点取最大，区间最值需结合对称轴与区间位置判断。3．单调性核心用途：比较函数值大小、脱去函数不等式外层符号、锁定函数最值、约束参数范围。题型01函数单调性的判断与证明1．定义法标准五步法：任取区间内两自变量→作差→因式分解、配方变形→判断差值正负→根据定义得出增减结论。2．判断技巧：简单初等函数可通过图象、四则运算、复合函数“同增异减”快速判断单调性；解答题严格使用定义法证明，不可直接看图下结论。3．易错要点：取值必须“任意”，不能取特殊值验证；变形必须彻底，能清晰判断正负，避免模糊判号．4．解题作用：本章基础必考题型，是所有单调性应用、最值求解题型的根本依据．学以致用学以致用【例1】（2024秋•中牟县期中）根据定义证明函数在区间上单调递增．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由作差法证明可得结论．【解答】证明：函数，设，则，又由，则，，则有，故函数在区间上单调递增．【例2】（2023•太原开学）利用函数单调性的定义判断函数的单调性．【答案】在内单调递减，在内单调递增，证明见解析．【分析】根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答】解：在内单调递减，在内单调递增，证明：，其定义域为，，，且，则，．当时，，所以，即，所以函数在区间内单调递减．当时，，所以，即，所以函数在区间内单调递增．综上可知，函数在内单调递减，在内单调递增．【例3】（2023春•同步）写出下列函数的单调性，并证明：（1）；（2）．【答案】（1）在区间和上是减函数，证明见解析；（2）在区间上为减函数，证明见解析．【分析】（1）根据题意，利用作差法分析可得结论；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答】解：（1）根据题意，设，在区间和上是减函数，证明：设，则，由于，则，，，则有，则在区间上是减函数，设，则，由于，则，，，则有，则在区间上是减函数；（2）根据题意，设，在区间，上为减函数，证明：设，则，又由，则，则有，故在区间上为减函数．题型02求函数的单调区间1．基础求解流程：先求函数定义域（单调区间必须是定义域的子集）→结合图象、性质、定义判断增减范围→规范书写单调区间．2．常见函数区间规律：一次函数全域单调；二次函数以对称轴为分界，分两段单调；分式、根式函数结合定义域分段判断．3．书写规范：多个单调区间不能用并集符号连接，只能用“和”“或”隔开；区间端点开闭不影响单调性，优先贴合定义域书写．4．高频易错：忽略定义域直接求区间、误用并集连接多个区间、区间范围超出定义域．学以致用学以致用【例4】（2025秋•铜梁区校级期末）函数的单调递减区间为（）A． B．， C．， D．【答案】【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解．【解答】解：作出的图象，结合函数图象可知，函数的单调递减区间为，．故选：．【例5】（2025秋•塔城地区校级月考）函数的单调递增区间为和．【答案】和．【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间．【解答】解：函数，，令，在定义域和内单调递减，在定义域和内单调递增，的单调递增区间为和．故答案为：和．【例6】（2025秋•滨海新区校级月考）函数的单调递增区间是，，，．【答案】，，，．【分析】将函数解析式转化为分段函数，再画出函数图象，数形结合即可求解结果．【解答】解：因为，所以函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为，，，．故答案为：，，，．题型03函数单调性的应用1．比较函数值大小：同一单调区间内，增函数自变量大则函数值大，减函数自变量大则函数值小，利用单调性直接比大小．2．解抽象函数不等式：利用单调性脱去f符号，将转化为普通自变量不等式，同时必须附带定义域约束．3．判断函数趋势：根据单调性快速判断函数在区间内的增减变化，预判最值、零点变化规律．4．解题核心：单调性的本质是“自变量大小与函数值大小的对应关系”，所有基础应用均围绕该核心展开．学以致用学以致用【例7】（2026•崇左二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数的单调性求解即可．【解答】解：因为函数在上单调递增，且，所以，解得，所以的取值范围为．故选：．【例8】（2025秋•独山子区校级期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数的单调性进行求解即可．【解答】解：因为是上的单调递增函数，由可得，解得．故选：．【例9】（2024秋•同步）若函数的定义域为，且在上单调递减，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，由不等式的性质可得，结合函数的单调性分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，，又由函数的定义域为，且在上单调递减，则有；故选：．题型04函数单调性的综合应用1．含参单调性分析：根据函数单调区间，反向约束对称轴、系数、参数取值范围，保证函数在指定区间恒增或恒减．2．分段函数单调性综合：分段函数整体单调，需同时满足每一段自身单调、分段端点处满足增减衔接条件，双重约束求解参数．3．复合函数单调性：先判断内外层函数单调性，依据“同增异减”判定整体单调区间，结合定义域筛选有效区间．4．综合解题逻辑：先定定义域、再定单调性质、最后结合题干条件列不等式求解参数与范围．学以致用学以致用【例10】（2025秋•思明区校级期末）已知函数，若在区间上恒负，且是减函数，则区间可以是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，分析函数中函数恒负，且是减函数的区间，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当时，，为减函数，若，则有，即在区间上，恒负，且是减函数，当时，，在区间上，满足恒负，且是减函数，若在区间上恒负，且是减函数，则是或的子集，分析选项：符合．故选：．【例11】（2026春•宁波校级期中）已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】先求函数的导数，再根据函数在区间上单调递减，由函数导数与单调性的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，由函数在上单调递减，必有，其导数，因为函数在单调递减，所以在恒成立，所以，解得，但时，为常函数，不满足题设单调递减的要求，故应舍去，因此，实数的取值范围为，．故选：．【例12】（2024秋•信州区校级期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，由函数的单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数是上的增函数，则有，解可得，即的取值范围是；故选：．题型05求函数的最值（值域）1．单调函数最值：闭区间单调函数，最值直接在区间左右端点取得，代入计算即可；开区间单调无最值．2．二次函数区间最值：分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况，结合单调性比较端点与顶点函数值，确定最大、最小值．3．分式、根式函数最值：先求内层取值范围，结合单调性逐层推导整体取值范围，锁定最值与值域．4．通用步骤：定定义域→判单调性→找最值点→计算最值→写出完整值域．学以致用学以致用【例13】（2019秋•北海期末）函数在，上的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】【分析】根据题目给出的的范围，求出的范围，取倒数后可得函数的值域，则最小值可求，也可借助于函数的单调性求最小值．【解答】解：法一：，，则，所以，函数在，上的最小值为．故选．法二：函数的图象是把函数的图象向右平移一个单位得到的，图象如图，所以函数在，上为减函数，所以，函数在，上的最小值为．故选：．【例14】（2026•巧家县校级模拟）函数的最小值是（）A． B． C．0 D．2【答案】【分析】根据题意可利用导数与函数最值相关知识可解．【解答】解：已知函数，则，令时，则，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减；则的最小值为．故选：．【例15】（2026春•集美区校级月考）在区间，上的最小值为1．【答案】1．【分析】求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质即可求得最小值．【解答】解：函数的图象开口向下，对称轴为，又由于，则在区间，上的最小值为（5）．故答案为：1．题型06根据函数的最值（值域）求参数的值或范围1．逆向解题逻辑：已知函数最值或值域，反向锁定函数单调性、最值点位置，建立关于参数的等式或不等式．2．二次函数求参：根据最值固定、值域区间固定，约束对称轴位置、开口范围、区间包含关系，求解参数．3．单调函数求参：已知区间最值，说明函数在区间单调，约束参数保证区间整体递增或递减．4．易错要点：值域包含边界对应可取最值，值域不包含边界对应无最值，严格区分开闭区间对参数的约束．学以致用学以致用【例16】（2025秋•黄浦区校级期末）已知函数，，的最小值为，则或3．【答案】或3．【分析】根据给定条件，按，，分类讨论求出最小值即可得解．【解答】解：根据题意，函数，，的最小值为，当时，在，上单调递增，当时，，解得，故，当时，，，解得或，无解，当时，在，上单调递减，当时，，解得，因此，则或．故答案为：或3．【例17】（2025秋•自流井区校级期中）已知函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】作出二次函数图象，由图象分析即可得解．【解答】解：，作函数图象如图所示，由图可得，若在闭区间，上有最大值3，最小值2，则的取值范围是，．故选：．【例18】（2019秋•新吴区校级期中）已知函数，，，若的最小值为，则实数的值为（）A． B． C．3 D．或3【答案】【分析】函数，，，讨论，和，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．【解答】解：函数，即，，，当时，不成立；当，即时，在，递减，可得（1）取得最小值，且，解得成立；当，即时，在，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．题型07实际问题中的函数的最值1．建模解题步骤：设自变量、梳理实际变量关系→建立函数解析式→限定实际定义域（正数、整数、有效区间）→判断单调性求最值→结合实际作答．2．常见模型：利润最大、成本最小、面积最大、用料最省、效率最高等优化问题．3．核心要点：实际问题定义域多为有限区间，最值一定存在，求解后必须验证是否符合实际场景．4．解题关键：优先利用单调性判断最值位置，简化复杂计算，快速求解最优方案．学以致用学以致用【例19】（2019秋•潍坊期中）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：与时间（单位：之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A．26米 B．28米 C．30米 D．32米【答案】【分析】因为烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为高度最大时，所以最佳时刻为对称轴处，从而求出最佳时刻距地面高度．【解答】解：，烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为，此时，故选：．【例20】（2025秋•黄梅县校级期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展．双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价（单位：元）与销量（单位：万件）之间满足关系式已知公司每年固定成本为10万元，每生产1万件衣服需要再投入4万元．设该公司一年内生产的衣服全部销售完．当公司销售8万件衣服时，年利润为990万元；当公司销售20万件衣服时，年利润为1145万元．（1）写出年利润（万元）关于年销量（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，公司利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）依题意可求得参数，的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式；（2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果．【解答】解：（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元，所以，解得．当销售20万件衣服时，年利润为1145万元，所以，解得．当时，；当时，，所以；（2）当时，，所以；当时，，由于，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150．综上可知，当时，取得最大值为1150万元．【例21】（2020秋•梅江区校级月考）某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（元与日销售量（件之间有如下表所示的关系（其中，且304045506030150（1）在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，并确定与的一个函数关系式；（2）设经营此商品的日销售利润为元，根据上述关系，写出关于的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．【答案】（1）图象详见解析，．（2）；销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．【分析】（1）根据已知数据，结合描点法，画出图象，再结合数据点近似地分布在一条直线上，设出一次函数，将对应的点代入，即可求解．（2）根据已知条件，求出的函数，再结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，如图所示：由图中可知，数据点近似地分布在一条直线上，设过点，的直线方程为，则，解得，，故，经检验，也在该直线上，故函数解析式为．（2），当时，有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．题型08函数的最值综合问题1．综合常见考法：单调性+最值+参数范围综合、分段函数分段最值与整体最值、复合函数值域最值、最值与不等式恒成立结合．2．恒成立综合转化：恒成立等价于；恒成立等价于．3．能成立综合转化：存在使不等式成立，等价于最值满足边界条件，约束范围相较于恒成立更宽松．4．压轴解题思路：先分析单调性锁定最值表达式，再结合恒成立、区