第三章§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

第三章一元函数的导数及其应用§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|xf'(x0)=limΔx→(2)函数y=f(x)的导函数(简称导数)f'(x)=y'=limΔ2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈R，且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.导数的运算法则若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f(x)g(x)'=[cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)(3)f'(x0)=[f(x0)]'.(×)(4)(e-x)'=-e-x.(√)2.若函数f(x)=lnx-2x+1，则f'12A.0 B.12 C.32 答案A解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1x-2，所以f'13.(2026·开封模拟)已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()A.x-y-1=0 B.x-y+1=0C.x·ln2-y-1=0 D.x·ln2-y+1=0答案D解析函数f(x)=2x，求导得f'(x)=2xln2，则f'(0)=ln2，而f(0)=1，所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0)，即x·ln2-y+1=0.4.设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为.

答案-1解析∵y=e2ax，∴y'=e2ax·(2ax)'=2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k=2ae0=2a，又∵该切线与直线2x-y+1=0垂直，∴2a×2=-1，∴a=-141.巧记两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.(2)函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.2.明确两点不同区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.3.谨防两个易误点(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A.1lnxB.(x2ex)'=2x+exC.cos2xD.x−1答案AD解析1lnx'=-1(lnx)2·(lnx(x2ex)'=(x2+2x)ex，故B错误；cos2x−π3x−1x'=1+1(2)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=2f'(1)lnx+1x，则f'A.1 B.2 C.-1 D.-2答案A解析由f(x)=2f'(1)lnx+1x(x>0)可得f'(x)=2f'(1)1x-故f'(1)=2f'(1)-1，解得f'(1)=1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后灵活使用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1(多选)下列命题正确的有()A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则limΔB.cosxxC.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，则x0=1D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+lnx，则f'(2)=-9答案CD解析对于A，limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δ对于B，cosxx'=−对于C，f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x+1x>−12，若f'(x0)=1，则对于D，f'(x)=2x+3f'(2)+1x(x>0)，故f'(2)=4+3f'(2)+12，故f'(2)=-94，故题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(多选)已知点A(1，2)在函数f(x)=ax3的图象上，则曲线C：y=f(x)过点A的切线方程是()A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0C.4x-y+7=0 D.3x-2y+1=0答案AD解析因为点A(1，2)在函数f(x)=ax3的图象上，所以a=2.设切点P(x0，y0)，则由f(x)=2x3得，f'(x)=6x2，所以在点P处的切线方程为y-2x03=6x02(x-x0)，即y=6x而点A(1，2)在切线上，所以2=6x02-4x03，即2x02(x0-1)-(x02-1)=(x0-1)2解得x0=1或x0=-12，所以所求切线方程为6x-y-4=0和3x-2y命题点2求参数的值(范围)例3(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=.

答案4解析y=ex+x+a的导数为y'=ex+1，因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.命题点3切线的条数问题例4(2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则()A.eb<a B.ea<bC.0<a<eb D.0<b<ea答案D解析方法一由y=ex得y'=ex，设切点为(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y-b=ex0(x-a)，由y0−b=ex0(x0−a),y0=ex0,得ex0(1-x0+a)=b，则由题意知关于x0的方程ex0(1-x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1-x+a)，则f'(x)=ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a)，由f'(x)=0得x=a，所以当x<a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea，当x<a时，a-x>0，所以f(x)>0，当x→-∞时，f(x)→0因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点，所以0<b<ea.方法二(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.命题点4切线的应用例5(2025·白银模拟)已知P是曲线f(x)=xlnx+1上一点，则点P到直线2x-y-8=0的最短距离为()A.5(9−e)5 C.5(9−2e)5 答案A解析由题意知，f'(x)=lnx+1，x>0，令f'(x)=2，得x=e，又f(e)=e+1，可得点P(e，e+1)，所以点P(e，e+1)到直线2x-y-8=0的距离最短，为|2e−(e+1)−8|=5(9−e)思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2(1)(2025·广东六校联考)若直线y=kx-1与曲线y=lnx相切，则k等于()A.1e B.1 C.e2答案B解析设直线y=kx-1与曲线y=lnx的切点为M(m，n)，故n=km-1=lnm，由y=lnx得y'=1x，故1m=k，得lnm=0，故m=1，(2)已知过点A(a，0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是()A.(1，+∞)B.(-∞，-3)∪(1，+∞)C.(-∞，-e)∪(2，+∞)D.(-∞，-2)∪(2，+∞)答案B解析由y=(x-1)ex得y'=ex+(x-1)ex=xex，设过点A(a，0)的直线与曲线y=(x-1)ex相切于点(x0，(x0-1)ex则切线斜率为k=x0ex所以切线方程为y-(x0-1)ex0=x0ex0(x-因为切线过点A(a，0)，所以0-(x0-1)ex0=x0ex0(a-x0)，整理得x02-(a因为过点A(a，0)的切线有两条，所以关于x0的方程x02-(a+1)x0因此Δ=(a+1)2-4>0，解得a>1或a<-3，即实数a的取值范围是(-∞，-3)∪(1，+∞).(3)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为.

答案2解析点A(a，a)在直线y=x上，点B(b，eb)在曲线y=ex上，所以求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y=ex上的点的距离的最小值，过y=ex上的点(m，em)作y=ex的切线，切线方程为y-em=em(x-m)，令em=1，可得m=0，故该切线为y=x+1，则直线y=x+1与y=x的距离即为|AB|的最小值，此时|AB|=|1|1+1=22，即|AB|题型三两曲线的公切线例6(2025·邯郸模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则实数b等于()A.12ln2+1 B.12lnC.12ln2-12 D.12答案C解析根据题意，设直线y=kx+b与曲线y=ex-1的切点为(x1，ex1-1)，与曲线y=ex-2的切点为(x2，ex2−2)，而y=ex-1的导数为y'=ex，y=ex-2的导数为所以两曲线的切线方程分别为y-ex1+1=ex1(x-x1)，y-ex2−2=由两条切线相同，可得e解得x所以切线方程为y-e-ln2+1=e-ln2(x+ln2)，即y=12x+12ln2-则b=12ln2-1思维升华公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3(2026·聊城模拟)一条直线与函数y=lnx和y=ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则(x1-1)(x2+1)的值为.

答案-2解析由题意，设f(x)=lnx(x>0)，g(x)=ex，所以f'(x)=1x，g'(x)=ex则y=lnx在点P(x1，y1)处的切线方程为y-lnx1=1x1(x-x1)，即y=1x1x+lny=ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y-ex2=ex2(x-x2)，即y=ex2x+由已知得1由1x1=ex2得x故lnx1-1=lne−x2-1=-x故-x2-1=1x1(1-x2)，解得x1=所以x1-1=x2−1x因此(x1-1)(x2+1)=-2.洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→af(x)=0及limx→a(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0，(3)limx→a那么limx→af(法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→af(x)=∞及limx→ag(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0，(3)limx→a那么limx→af(典例两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如limx→0ex−1xA.13 B.23 C.1答案B解析limx→=limx→1课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为()A.y=1 B.y=x+1C.y=-x+1 D.y=2x+1答案D解析∵f'(x)=ex+1，f(0)=e0+0=1，f'(0)=e0+1=2，∴f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x-0)，即y=2x+1.2.已知函数f(x)=2025cos2x+π3A.0 B.-2025C.2025 D.4050答案B解析因为f(x)=2025cos2x则f'(x)=-4050sin2x故f'π4=-4050sin=-4050cosπ3=-23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-3x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0答案B解析函数f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，令x0为f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”，则有(3x02-3)(2+2)=(23-3×2)-(-23+3×2)，即4(3x02整理得x02=43，解得x0所以函数f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.4.过点(0，-e)作函数f(x)=xlnx的切线，则切线方程为()A.x-y-e=0 B.x+y+e=0C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0答案C解析函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=lnx+1，设切点为(m，mlnm)(m>0)，则f'(m)=lnm+1，所以切线方程为y-mlnm=(1+lnm)(x-m)，又切线过点(0，-e)，所以-e-mlnm=(1+lnm)(0-m)，整理得m=e，所以所求切线方程为y-e=2(x-e)，即2x-y-e=0.5.若曲线f(x)=kx+1x和g(x)=lnx在公共点处的切线互相垂直，则A.2 B.1 C.-1 D.-2答案C解析由函数f(x)=kx+1x和g(x)=ln可得f'(x)=-1x2，g'(x)=设两曲线公共点的横坐标为t，可得f'(t)=-1t2，g'(t)=因为公共点处的切线互相垂直，可得f'(t)g'(t)=-1，即1t3=1，解得t又由f(1)=g(1)，可得k+1=0，解得k=-1.6.若过点(a，b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()A.b>lna B.b<lnaC.a<0 D.b>ea答案A解析方法一函数y=lnx的定义域为(0，+∞)，设切点坐标为(x0，y0)，由于y'=1x，因此切线方程为y-lnx0=1x0(x-又切线过点(a，b)，则b-lnx0=a−即b+1=lnx0+ax设f(x)=lnx+ax，x∈(0，+∞则直线y=b+1与曲线f(x)=lnx+ax有两个不同的交点，f'(x)=1x-ax当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，与y=b+1只有一个交点，不合题意；当a>0，0<x<a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x>a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(a)=lna+1，结合图象可知b+1>lna+1，即b>lna.方法二过点(a，b)可以作曲线y=lnx的两条切线，由图可知点(a，b)在曲线y=lnx的上方且在y轴右侧，所以a>0，且b>lna.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.给出定义：若函数f(x)在定义域D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是()A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=log1C.h(x)=x2+2cosx D.φ(x)=x2lnx答案ABC解析f(x)的定义域为R，f'(x)=2x-4，f″(x)=2>0，故A符合题意；g(x)的定义域为(0，+∞)，g'(x)=1xln12=-1xln2，g″(x)h(x)的定义域为R，h'(x)=2x-2sinx，h″(x)=2-2cosx≥0，故C符合题意；φ(x)的定义域为(0，+∞)，φ'(x)=2xlnx+x2·1x=2xlnx+x，φ″(x)=2lnx+2x·1x+1=2lnx当0<x<e−32时，φ″(x)<0，故8.已知函数f(x)=x2+2lnx的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是()A.x1+x2=2 B.x1+x2=10C.x1x2=1 D.x1x2=10答案AD解析因为f(x)=x2+2lnx，所以f'(x)=2x+2x，x>0又f(x)在A，B两个不同点处的切线相互平行，所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+2x1=2x2+整理得(x1-x2)1−1x1x2=0，因为x1≠x2，所以x1x又x1+x2≥2x1x2=2，且x1≠x2，所以x1+x2>2，三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知函数f(x)=ln(ex)−ax，且f'(1)=1，则a=，曲线y=f(x)在点(e，f答案1y=1解析函数f(x)=ln(ex)−ax=lnx+1−ax(x>0)，f'由f'(1)=1，得a=1；函数f(x)=lnxx(x>0)，f'(x)=1−lnxx2，f(e)=1e，所以曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y=1e10.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=22x相切，则a=.答案3解析由题意可知，两抛物线y=x2+a与y2=22x只可能在第一象限相切设两个抛物线相切于点(x0，y0)，y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0，抛物线y2=22x在第一象限的图象为函数y=2函数y=22x在该点处的切线的斜率为所以2x0=12解方程得x0=2−32，y0=2所以切点为2−32，12，代入y解得a=38四、解答题(共26分)11.(12分)已知函数f(x)=axlnx+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.(1)求实数a的值；(5分)(2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分)解(1)函数f(x)=axlnx+3的定义域为(0，+∞)，f'(x)=a(1+lnx)，则f'(1)=a，由曲线在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，得a=2，所以实数a的值是2.(2)由(1)知，f(x)=2xlnx+3，x>0，f'(x)=2(1+lnx)，平移直线2x-y-4=0与函数f(x)的图象相切，设切点为(t，2tlnt+3)(t>0)，则切线的斜率k=2(1+lnt)=2，解得t=1，所以切点为(1，3)，所以点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值为|2×1−3−412.(14分)已知曲线C1：y=lnx+2和曲线C2：y=ln(x+2).(1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分)(2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分)解(1)由题意知，当曲线C1在点P处的切线与直线y=ex+2平行时，点P到直线y=ex+2的距离最小，对y=lnx+2(x>0)求导，得y'=1x令1x=e，得x=1e，此时y所以点P的坐标为1e(2)设直线l与曲线C1的切点为A(x1，lnx1+2)(x1>0)，则在点A处的切线斜率为1x可得切线方程为y-(lnx1+2)=1x1(x-x整理得y=1x1x+lnx1+1， 对y=ln(x+2)(x>-2)求导，得y'=1x设直线l与曲线C2的切点为B(x2，ln(x2+2))(x2>-2)，则在点B处的切线斜率为1x2+2，切线方程为y-ln(x2+2)=1x2+2整理得y=1x2+2x+ln(x2+2)-x因为①②表示同一条直线，则1由③可得x1=x2+2，将其代入④得ln(x2+2)+1=ln(x2+2)-x2即1=-x2x2+2，解得所以x1=x2+2=1.把x1=1代入①式得切线方程为y=x+1，即直线l的方程为x-y+1=0.[每小题6分，共12分]13.(多选)已知函数f(x)=ex，g(x)=ex+1+a，则下列说法正确的是()A.曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1B.曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为2C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线答案AC解析由题意得f'(x)=ex，则f'(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1，A正确；由A项分析可知曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为x-y+1=0，与直线x-y=0平行，所以曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为|0−1|2=2又g'(x)=ex+1，设曲线y=f(x)，y=g(x)的切点分别为(x1，ex1)，(x2，ex则ex2+1+a−ex1x2−x1=e所以曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线，当a≥0时，x1无解，所以曲线y=f(x)与y=g(x)没有公切线，C正确，D错误.14.(多选)(2025·德州模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f'(x)，g'(x)的定义域都为R，若f(x+2)-g(1-x)=2，f'(x)=g'(x+1)，且g(x+1)为