湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试卷-附解析

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在以下的人数为（）A.320 B.360 C.420 D.4802.如图，的斜二测画法的直观图为等腰直角，其中，则下列说法中错误的是（）A. B.C.的面积为 D.3.下列说法正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面D.若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线4.已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（）A. B. C. D.5.已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.46.如图，在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，D､E分别在边､上，设，则（）A. B.C. D.x与y的大小与θ取值有关7.如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（）A. B. C. D.8.在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（）A. B. C.3 D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.B.的虚部为C.是个纯虚数D.复数z对应的点位于复平面的第一象限10.正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.与平面所成角的余弦值为C.若过点的截面与平面平行，则截面多边形的周长为D.若点在平面内的投影为点，则点的轨迹为圆弧11.设，若，，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.三､填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.12.已知向量若平行于，则实数__________.13.在中，角A、B、C满足其外接圆半径为1，则_____.14.正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在中，，分别为边､上的动点.（1）若，求的值；（2）若在方向上的投影向量为，求的最小值.16.在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.（1）若B为锐角，试判断的形状；（2）若B为钝角，（i）D在上，且，求角C；（ii）求的最大值.17.如图，正方体的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点.（1）求异面直线与AC所成角的大小；（2）证明：平面18.已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，，求边上的高的取值范围.19.如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱的母线，为下底面圆O的直径，D为上的动点（异于B，C）.（1）若点M为的中点，证明：点M为三棱锥的外接球的球心；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值；（3）若P为圆柱侧面上的动点，求的最小值.

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在以下的人数为（）A.320 B.360 C.420 D.480答案：D解析：解答过程：由题意可知，某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，则女生人数为，由比例分配的分层随机抽样方法可知，120人的样本中女生人数为，所以高一年级女生身高在以下的人数为.2.如图，的斜二测画法的直观图为等腰直角，其中，则下列说法中错误的是（）A. B.C.的面积为 D.答案：D解析：解答过程：在等腰直角中，因为，，所以，，由斜二测画法可知，，，所以A和B正确，D错误，又的面积为，故C正确.3.下列说法正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面D.若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线答案：C解析：解答过程：对于A，棱台是由一个“平行”于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，而题目中截面与底面位置关系未知，故A错误；对于B，垂直于同一直线的两条直线平行､相交或异面，故B错误；对于C，如图，，，在内作直线垂直于与的交线，在内作直线垂直于与的交线，，，，又，，，，，，故C正确；对于D，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面，故D错误.4.已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的平移求出解析式，由为偶函数，结合正弦型函数的性质求解.解答过程：由题意可得，其为偶函数，所以，则，又，故的最小值为.5.已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：解答过程：由向量的加减运算可知，与不共线，可以作为平面内的一个基底，所以（1）正确；因为，所以，所以，所以（2）正确；因为，所以，所以（3）错误；因为，所以，故（4）正确.6.如图，在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，D､E分别在边､上，设，则（）A. B.C. D.x与y的大小与θ取值有关答案：B解析：思路：由余弦定理得，由正弦定理得，结合两角和差的余弦公式对进行化简，可得.解答过程：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以.7.如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据侧面展开图为半圆得出轴截面为等边三角形，再结合计算边长，进而应用圆锥体积计算两部分的体积求解.解答过程：因为圆锥SO的侧面展开图为半圆，所以其轴截面为等边三角形，设其边长为.过C作与点D，则曲面是以CD为底面半径，OC为母线的圆锥的侧面.在中，；在中，.圆锥SO的体积为，曲面上方的几何体的体积为，所以两部分的体积比为.8.在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（）A. B. C.3 D.答案：C解析：思路：先利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，再利用余弦定理和同角关系得出，最后结合面积公式和一元二次函数求最值.解答过程：由以及正弦定理得，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，等号成立时，故面积的最大值为.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.B.的虚部为C.是个纯虚数D.复数z对应的点位于复平面的第一象限答案：ACD解析：解答过程：因为，所以，.选项A，，正确.选项B，虚部为，错误.选项C，，属于纯虚数，正确.选项D，对应点为，属于第一象限，正确.10.正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.与平面所成角的余弦值为C.若过点的截面与平面平行，则截面多边形的周长为D.若点在平面内的投影为点，则点的轨迹为圆弧答案：ACD解析：思路：由线面垂直推导到线线垂直；连接，转换为求，已知直角三角形的两边求第三边，已知夹角两个邻边求出余弦值；画出截面，可知截面为边长的正六面体，相加算出周长；为棱上的动点，平面绕直线旋转，点到该平面的垂足的轨迹是点在绕轴旋转的平面上的投影集合，则该轨迹是以为轴、以点到轴的距离为半径的圆的一部分，即为圆弧.解答过程：在正方体中，面对角线面面，所以，A正确；连接，在正方体中，面，即在平面内的射影为，所以即为所求的线面角，在直角中，，故，在直角中，，故，，B错误；过点E与平面平行的截面交中点、中点、中点、中点、中点，构成正六边形，其边长为，则截面多边形的周长为，C正确；因为点在平面内的投影为点，所以平面，又因为平面，所以,所以点在以为直径的球面上，同理可得点在以为直径的球面上，是以为直径的球面公共点，又因为两个球面的公共点为圆，且在平面内，所以的轨迹为圆弧，D正确.11.设，若，，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，由得，所以，得

，而，故，即，A正确；对于B，，B正确；对于C，由二倍角公式，，C错误；对于D，根据AB的结论，，D正确.三､填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.12.已知向量若平行于，则实数__________.答案：-2解析：解答过程：由题意，若与平行，则，解得.13.在中，角A、B、C满足其外接圆半径为1，则_____.答案：解析：思路：通过正切的性质以及正弦定理求解.解答过程：在中，因为，所以，.又因为，得，故，又因为正弦定理，所以.14.正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________.答案：解析：思路：利用正方体的对称性，取对角面转化为平面几何问题.内切球半径已知，由球心距与半径关系建立方程，解出小球的半径，再代入球的表面积公式.解答过程：如图，是正方体的对角面，圆是球与球的大圆，设球与球的半径分别为，由题意可得，由及相似关系可得，，故，所以球的表面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在中，，分别为边､上的动点.（1）若，求的值；（2）若在方向上的投影向量为，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由得到，从而，然后由三点共线得到，利用待定系数法即可求解；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，从而得到在方向上的投影向量为，令即可求解.（1）如图所示：因为，即为靠近的三等分点，由于三点共线，所以，又因为若，所以，又因为三点共线，，所以，所以，解得，所以，故.（2）因为为等腰直角三角形，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，设，，由于若，所以，，，故在方向上的投影向量为，令，所以当，即时，，当时，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.16.在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.（1）若B为锐角，试判断的形状；（2）若B为钝角，（i）D在上，且，求角C；（ii）求的最大值.答案：（1）为直角三角形.（2）（i）；（ii）.解析：思路：（1）利用三角恒等变换结合条件可得，从而得出为直角三角形；（2）（i）由正弦定理构建方程求解；（ii）转化为三角函数的最大值问题.（1）在中，由得，又，故，显然C为锐角.若B为锐角，由得，即，所以为直角三角形.（2）若B为钝角，则，（i）设，则，,，为直角三角形，，,，又，故,在中用正弦定理，代入得1sin在中用正弦定理,，所以3cos所以，得,，，故，；（ii）为钝角，，，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.17.如图，正方体的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点.（1）求异面直线与AC所成角的大小；（2）证明：平面答案：（1）（2）连接，，取的中点G，连接，，在正方体中，平面，，又，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，在正方形中，为的中点，G为的中点，所以，所以，，因为，所以，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面．解析：思路：（1）构造中位线将异面直线夹角转化为共面角，利用勾股定理算出三角形三边，再通过余弦定理求出该角大小；（2）分两步证明垂直平面内两条相交直线：先证，再作辅助线并证明，最后用线面垂直判定定理完成证明．（1）（1）取AB中点P，连接，，，因为E为BC的中点，所以PE为的中位线，所以，，所以为异面直线与所成角（或其补角），在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，由余弦定理可得，又，所以.所以异面直线与所成角的大小为.（2）略18.已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，，求边上的高的取值范围.答案：（1），.（2）解析：思路：（1）利用平方差公式，同角三角函数关系式，二倍角的正、余弦公式及辅助角公式化简可得，从而求得的最小正周期及单调递增区间；（2）先由，求得，再利用正弦定理及三角形面积公式将表示成的函数，根据的取值范围，求得高的取值范围.（1）因为，所以的最小正周期为.由得，所以的单调递增区间为.（2）因为，所以，又，所以.因为，故的外接圆直径为.又，故，因为为锐角三角形，所以，故，所以.所以.即高的取值范围是.19.如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱的母线，为下底面圆O的直径，