湖南省部分学校2025-2026学年高二下学期期末校内检测数学试卷-附解析

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.3.若的展开式中的系数为，则（）A.4 B.5 C.6 D.74.设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（）A.4 B.1C. D.5.下列说法错误的是（）A.已知随机变量X服从正态分布，则B.已知随机变量X服从正态分布，且，则C.已知随机变量X服从正态分布，则D.设随机变量服从正态分布，若，则6.已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（）A.B.直线的方程是C.四边形的面积是48D.的最大值是7.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是（）A.，是互斥事件B.C.D.，是独立事件8.已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前n项和记为，，则（）A.是等比数列 B.是等比数列C. D.10.设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.11.如图，已知平面，，是正三角形，，且分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A.几何体的体积是B.几何体的体积是C.与平面所成角等于与平面所成角D.设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答）13.某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据：步时x（单位：s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：）909599103117则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01）参考公式：相关系数；参考数据：，，，．14.已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知为等比数列的前n项和，若，．（1）求；（2）为数列的前n项和，，，求数列的前项和．16.已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值，及在上的最小值；（2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求．17.如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）证明：；（3）点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．18.已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上．（1）当时，求的面积；（2）在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是．①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标；②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标．19.已知函数，其中实数a为参数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：，对应的点为，位于第二象限.2.已知集合，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可.解答过程：已知集合，解不等式，可得，所以，又因为集合，解不等式，可得，所以，所以，对于A，由于，所以，故A正确；对于B，由于，所以，故B正确；对于C，由于，，所以，故C正确；对于D，由于，，所以，故D错误.3.若的展开式中的系数为，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：先求得的展开式的通项，再根据的系数为求解解答过程：的展开式的通项，且的系数为，所以，即，解得或，为正整数，舍去负根，得．4.设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（）A.4 B.1C. D.答案：A解析：思路：在平面直角坐标系中分别画出，的图象观察即可求解解答过程：在平面直角坐标系中画出，以及的图象，若，则将向下平移个单位，此时不满足恒成立，由于，要使恒成立，则必有，即，所以，当时，，，，在的切线方程为，所以要使恒成立，则，故A正确.5.下列说法错误的是（）A.已知随机变量X服从正态分布，则B.已知随机变量X服从正态分布，且，则C.已知随机变量X服从正态分布，则D.设随机变量服从正态分布，若，则答案：C解析：解答过程：对A，因为，所以，故A正确；对B，因为，所以，所以，故B正确；对C，因为，所以，所以，故C错误；对D，因为，由，故D正确.6.已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（）A.B.直线的方程是C.四边形的面积是48D.的最大值是答案：C解析：思路：对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值.解答过程：对于A：若，代入，即点点在圆上，联立，化简得：，所以直线的方程是，故B正确；联立，解得：，或，由于，所以，，所以A正确；圆心距，公共弦长，由于，所以四边形的面积是，故C错误；当直线斜率不存在时，，，此时，当直线斜率存在时，设方程为，所以点到直线的距离为，此时，点到直线的距离为，此时所以，当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最大值是，当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最大值是，当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时，综上的最大值是，故D正确.7.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是（）A.，是互斥事件B.C.D.，是独立事件答案：D解析：思路：根据古典概型，条件概率及全概率公式分别判断即可．解答过程：由题可知，，，，对于A，，是对立事件，所以一定是互斥事件，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，又,所以,所以，不是独立事件，故D错误．8.已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设出，利用，可得，由此可求解范围．解答过程：设点的坐标为，因为的最小值是，所以，所以，整理得，，因为，所以，所以，又，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前n项和记为，，则（）A.是等比数列 B.是等比数列C. D.答案：BCD解析：思路：根据

​，得到各项依次是：，进而逐项判断即可.解答过程：由

​，可得数列各项为：，即是周期为4的周期数列，选项A：的所有项都是，等比数列不能含零项，因此A错误；选项B：的各项为，首项为，公比为，因此B正确；选项C：一个周期（4项）的和为

，​是个完整周期的和，因此，C正确；选项D：对，即依次连续两项的和：；当为奇数时，，当为偶数时，，因此D正确.10.设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：由题可知，若三点共线，则，所以，化简得：，故A正确，B错误；对于C，因为，所以，所以，即，C正确；对于D，由A选项可知，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，D正确.11.如图，已知平面，，是正三角形，，且分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A.几何体的体积是B.几何体的体积是C.与平面所成角等于与平面所成角D.设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则答案：BD解析：思路：对于ABC，取的中点，连接，通过平面，平面，通过体积公式和线面角定义即可判断，对于D，连接并延长交于，通过平面平面，结合面面垂直的性质确定，，进而可判断.解答过程：如图1，取的中点，连接，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面，又分别是，的中点，，又，，所以，，所以四边形为矩形，四边形为梯形，又是正三角形，，可得，，，所以几何体的体积是，A错误，B正确；由题意知，与平面所成角是，，，所以，与平面所成角是，，故与平面所成角不等于与平面所成角，C错误，如图2，连接并延长交于，则，由题意，由平面，，得平面，又平面，得，为中点，所以，，又，又，得，平面，则平面，平面，所以，又，则，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由题设平面，所以点，所以，所以,所以，即，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答）答案：12解析：解答过程：先安排小张有种排法，再安排其他三人有种，所以总共有种方法.13.某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据：步时x（单位：s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：）909599103117则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01）参考公式：相关系数；参考数据：，，，．答案：0.95解析：解答过程：由参考数据可知，，所以.14.已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是________．答案：解析：思路：利用余弦定理求出，求出的面积，根据二次函数求出的面积最大值和的值，利用正弦定理求出外接圆的半径即的长，再利用余弦定理和三角形面积公式求出的面积，进而求出四边形的面积.解答过程：已知，，，设，则，在中，，因为，所以，所以，所以当，即时，的面积最大，此时，，，，，因为是的外心，所以，在中，，所以，所以，所以面积最大时，四边形的面积是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知为等比数列的前n项和，若，．（1）求；（2）为数列的前n项和，，，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项；（2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到.（1），，.（2）当时，，当时，，也满足的情况，所以，当n为偶数时，，.16.已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值，及在上的最小值；（2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求．答案：（1），在上的最小值为3（2）或解析：思路：（1）化简函数解析式，结合三角函数的性质求的值与函数的最小值.（2）先确定角的值.方法一：建立坐标系，利用平面向量的数量积的坐标运算求解.方法二：分点在的角平分线和角平分线的反向延长线上，分别求值.（1），因为，所以，所以.所以.由.所以在上的最小值为3.（2），因为，所以.方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则，，设，则，所以，，，，，所以，，，所以或.方法二：按图甲，点在的角平分线上，，按图乙，点在的角平分线的反向延长线上，.17.如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）证明：；（3）点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．答案：（1）（2）由题可知，分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，从而.（3）解析：思路：（1）方法一：过点作于，连接，得到平面与平面夹角的平面角，通过即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量即可求解；（2）由线面平行可得线线平行；（3）方法一：利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值的表达式，求出正弦值最大的情况即可求解；方法二：利用等体积法，得到当最小时，直线与平面所成角的正弦值最大，此时，得到即可求解.（1）方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角．过点作于，连接，因为平面，平面,所以，又因为平面,所以平面，又平面，所以，所以是两个平面所成的角，根据题意可知，，在中，由等面积可得，则，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.方法二：根据题意可知，，于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，利用点是的中点确定点的坐标为，所以，，设平面的法向量为，则，即，故可取，显然平面的法向量可以是，设平面与平面的夹角大小为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.（2）略.（3）方法一：由（2）可知，，于是可设，即，又，则，，设直线与平面所成角大小为，则，当时，取得最小值，则取得最大值．此时，；方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等，设这个定距离为，也就是点到面的距离．在中，，，由余弦定理，，，在三棱锥中，，设直线与平面所成角大小为，为锐角，则，当最小时，最大，显然，即时，最小．又，，．所以．18.已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上．（1）当时，求的面积；（2）在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是．①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标；②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标．答案：（1）9（2）①；②解析：思路：（1）利用椭圆的定义，结合垂直条件，求出两直角边乘积，面积即为其乘积的一半，或设，由垂直得，联立椭圆解得，可得面积；（2）①设，切线方程分别为，，两式分别乘以后相减消去，代入直线方程，可得交点坐标；②由切线斜率得垂线方程，求得截距得点，同理求。联立直线与椭圆得韦达定理，求

斜率及中点，写出直线方程，故恒过定点.（1）方法一：设，，又，，所以的面积是9．方法二：设，又，，则，，，又，所以，，所以的面积是；（2）①设，，则以A，B为切点的切线方程分别为，，且，，于是：对于，，两边分别同乘，相减可得：，；②以点A为切点