湖南省常德市武陵区2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（）A. B. C. D.2.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A. B.C. D.3.在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（）A. B. C. D.4.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式A.9 B.12 C.14 D.165.设随机变量，则条件概率的值为（）A. B. C. D.6.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.7.有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.．B.在上单调递增C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（）A. B.C. D.与平面所成角的正弦值为11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若，则存在极值点B.若是增函数，则C.曲线是中心对称图形D.存在，使得有三个不同的零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件，，若，，，则_________.13.已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____．14.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.计算：（1）（2）16.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5参考公式：，（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出关于的线性回归方程；（3）预测加工10个零件需要多少小时？17.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201535非优秀10515总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82818.某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；（2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；（3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望.19.某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案．方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为．方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金．（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求；（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列；（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1；图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近；图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以；图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以；所以.2.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.解答过程：由圆的方程得：圆心为，反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，反射光线所在直线方程为，即.故选：A.3.在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合几何图形，利用给定的基底表示向量.解答过程：在三棱柱中，.故选：B4.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式A.9 B.12 C.14 D.16答案：D解析：解答过程：情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.5.设随机变量，则条件概率的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据二项分布和条件概率计算即可.解答过程：因为随机变量，所以，，故.6.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可.解答过程：令的值即的零点．而，即，，而，所以，所以函数的零点就是，．要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小，显然，，．7.有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论．解答过程：，由，，即．8.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.．B.在上单调递增C.D.答案：D解析：思路：首先判断函数的周期，判断A，再结合函数的周期性，以及奇函数的性质，判断BCD.解答过程：A.由函数是奇函数，所以，且，即，即，故A错误；B.由A可知，，即是周期的函数，所以在区间的单调性和区间的单调性一致，设，，，，所以，在区间上单调递减，故B错误；C.因为函数是定义在上的奇函数，所以，由，，可知，，，所以，，故C错误；D.，故D正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：ACD解析：思路：利用二项分布的期望及性质计算判断AB；利用正态分布的对称性计算判断CD.解答过程：对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，由，得，B错误；对于C，由，，得，C正确；对于D，由，得，D正确.10.如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（）A. B.C. D.与平面所成角的正弦值为答案：AD解析：思路：设，，，将问题转化为基向量求解.解答过程：设，，，由题意知，，则，，，，，，即，选项正确；，选项错误；，，选项错误；设平面的一个法向量为，则的坐标为，而，则即即，令，解得，，所以，，，，，设与平面所成角为，，选项正确.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若，则存在极值点B.若是增函数，则C.曲线是中心对称图形D.存在，使得有三个不同的零点答案：ABC解析：思路：对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断.解答过程：函数的定义域为，对于A，当时，，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以存在极值点，A正确；对于B，，若是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且在上恒成立，所以，所以，故B正确；对于C，，所以，所以函数关于点对称，C正确；对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点，当时，令，则，等价于，，所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理，故，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为又是极值点，所以，即，所以，令，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点，即不存在使有三个不同的零点，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件，，若，，，则_________.答案：解析：思路：根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果.解答过程：由题意可得，，且，则，又因为，则，且，所以.故答案为:.13.已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____．答案：240解析：思路：利用二项式系数的性质及所有项的系数和求出，再求出展开式中项系数.解答过程：因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或,又因为所有项的系数和为1，令，得，则为偶数，所以,,则有展开式的通项为，令，解得，故展开式中的系数为.14.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．答案：解析：思路：只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可.解答过程：由已知可知，只需满足对任意的，总存在，只需要满足在上恒小于等于在上的最大值.，令，即，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在单调递减，，，化简得，即对任意的恒成立，令，即，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故的最大值为，.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.计算：（1）（2）答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用排列数计算公式，即可求出结果；（2）利用排列数计算公式及阶乘公式，即可求出结果.（1）.（2）.16.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5参考公式：，（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出关于的线性回归方程；（3）预测加工10个零件需要多少小时？答案：（1）作图见解析（2）（3）8.05解析：思路：（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图；（2）利用最小二乘法求得回归直线方程得系数，再求系数，得回归直线方程；（3）把代入回归直线方程，求得预报变量的值.（1）（2），，，，，由公式得，所以所求回归方程为.（3）当时，，所以预测加工个零件需要小时.17.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201535非优秀10515总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）解析：012思路：（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可.（1）零假设:这次成绩是否优秀与性别无关.根据表中数据，计算得到根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）的可能取值为.;;;的分布列为：012数学期望.18.某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；（2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；（3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望.答案：（1）（2）不正确（3）分布列见解析，解析：思路：（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；（2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解；（3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，则，则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.（2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试，所以对应概率为，若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了