湖南省衡阳市耒阳市正源学校2025-2026学年高一下学期期末测试（B）数学试卷-附解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.2.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线3.下列几何体中是十面体的是（）A.七棱锥 B.八棱锥 C.七棱柱 D.八棱台4.已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形5.如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（）A. B. C. D.6.下列条件一定能确定一个平面的是（）A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点C.两条相互垂直的直线 D.两条相交的直线7.牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（

）A. B. C. D.8.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.在复平面内对应的点位于第三象限B.若复数，则C.的共轭复数为D.的虚部为10.如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（）A.四点共面B.与异面C.与的交点M可能在直线上，也可能不在直线上D.与的交点M一定在直线上11.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（）A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，共15分.12.已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______．13.已知四边形ABCD为矩形，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________.14.如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.（1）求；（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.16.已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.17.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．18.如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°，求的值，（3）若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围．19.若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”．（1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，所以.2.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线答案：A解析：思路：通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断.解答过程：对于A，，又，因此，与共线，且两个向量有公共点，因此三点共线，选项B，，，不存在实数使，不共线；选项C：，，不存在实数使，不共线；选项D：，，不存在实数使，不共线.3.下列几何体中是十面体的是（）A.七棱锥 B.八棱锥 C.七棱柱 D.八棱台答案：D解析：解答过程：七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体.故选项D正确.4.已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案：A解析：思路：借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得.解答过程：由正弦定理将边化为角可得，又，故，故，由，故，则，故，即的形状为直角三角形.5.如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在中，，所以.6.下列条件一定能确定一个平面的是（）A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点C.两条相互垂直的直线 D.两条相交的直线答案：D解析：解答过程：对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误；对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误；对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误；对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确.7.牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据圆台知识求母线，再计算底面面积和侧面积，然后根据图像确定牛皮鼓的表面是由圆台的侧面和上底面构成计算即可.解答过程：依题意可得：圆台上底面半径为，圆台下底面半径为，高为，所以母线长为，故圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为，圆台侧面积为，该牛皮鼓的表面积为两个圆台的侧面积加上两个圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为.故选：C8.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为.根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体，其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有：，解得.正四面体的高公式为，将代入得：.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.在复平面内对应的点位于第三象限B.若复数，则C.的共轭复数为D.的虚部为答案：ABD解析：思路：根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断A、C、D，计算出，即可求出其模，从而判断B.解答过程：因为，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，A正确；因为，所以，所以，B正确；的共轭复数为，C错误；的虚部为，D正确.故选：ABD.10.如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（）A.四点共面B.与异面C.与的交点M可能在直线上，也可能不在直线上D.与的交点M一定在直线上答案：AD解析：思路：利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D.解答过程：在空间四边形中，点分别是边的中点，则，且，点分别是边上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误；，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M，点M在上，而在平面上，则点M在平面上，同理点M在平面上，则点M是平面与平面的公共点，而是平面与平面的交线，所以点M一定在直线上，故C错误，D正确.11.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（）A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为答案：BC解析：思路：A.利用周期的定义作判定；B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数；C.中心对称的充要条件是：对任意，有；D.举出反例，说明的最大值不是.解答过程：选项A：，因为，所以不是的最小正周期，因此A错误；选项B：，令，则：，或，在上的解为，，即，在上的解为（与上述解重合），因此零点为，共3个，B正确。选项C：因为所以，图象关于点中心对称，C正确；选项D：，因为所以的最大值不是，D错误.三、填空题：本题共3小题，共15分.12.已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______．答案：解析：解答过程：由题可得，，，所以向量在上投影向量为．13.已知四边形ABCD为矩形，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________.答案：解析：思路：取的中点，利用直角三角形的性质，证得，得到为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥外接球的半径为，可得，求得，结合球的表面积公式，即可求解.解答过程：如图所示，取的中点，分别连接，在直角中，因为为的中点，可得，在直角中，因为为的中点，可得，所以，所以为三棱锥的外接球的球心，在直角中，因为，可得设三棱锥外接球的半径为，可得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为.14.如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.答案：解析：思路：将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解.解答过程：将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形，作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，，所以所求最短距离为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.（1）求；（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数表示实数和纯虚数的条件进行求解即可；（2）根据复数乘法、除法的运算公式，结合共轭复数、复数在复平面的位置特征进行求解即可.（1）设，因为为实数所以，解得.因为为纯虚数，所以，解得，故.（2）由（1）可知，.，由题意可知，，解得，故实数的取值范围为.16.已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积；（2）设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解；解答过程：解：（1）沿母线剪开，侧面展开图是以为半径的半圆设，在半圆中，，弧长为，圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为.（2）设圆柱的高，，在，，∵，所以，即，，，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.17.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得；（2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得.（1）因为，由正弦定理得，即，所以，，因为，所以，因为，所以；（2），由余弦定理得，化简得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以，故的面积最大值为.18.如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且．（1）若，求x，y的值；（2）若，，，且与的夹角为60°，求的值，（3）若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围．答案：（1）（2）9（3）解析：思路：（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得；（2）借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得；（3）建立适当平面直角坐标系后，利用平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得.（1）若，则，即，故；（2）若，则，即，所以；（3）以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，则，，∴；设，则，又，∴