湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（）A. B. C. D.5.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天6.记，则（）A. B.C. D.7.已知在处有极值，则（）A.或 B.或 C. D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.10.下列说法正确的有（）A.若随机变量的数学期望，则B.若随机变量的方差，则C.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布D.从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布11.如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.直线与平面所成的角为D.点与平面的距离为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设函数，则曲线在点处的切线方程为______.13.的展开式中常数项为______．14.1202年，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________．四、解答题（本题共5小题，共77分．15题13分，16，17各15分，18，19各17分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面积为，求的值.16.已知数列为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．17.如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.18.已知椭圆的右顶点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值.19.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论在区间上零点的个数．

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.解答过程：因为，所以，故选：D.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：.所以.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：移项通分，转化为一元二次不等式即可求解.解答过程：，可得，即为，且，可得故选：C4.在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量平行的坐标表示即可求解.解答过程：已知向量，，若，则，解得，故A正确.5.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天答案：B解析：思路：根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.解答过程：因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.方法提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.6.记，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据函数性质判断可得，即得答案.解答过程：，，，又，所以.7.已知在处有极值，则（）A.或 B.或 C. D.答案：D解析：思路：由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解.解答过程：根据题意，，函数在处有极值0，且，或，时恒成立，此时函数无极值点，当时，，此时是函数的极值，满足条件，，.故选：D8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得.解答过程：如图，连接因为，即，，因，则为正三角形.又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且，故直线的方程为，代入椭圆的方程，得.设，则，，则，解得，则，.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.解答过程：由题意，从而.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.若随机变量的数学期望，则B.若随机变量的方差，则C.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布D.从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布答案：BCD解析：解答过程：对于选项A，因为，故A错误；对于选项B，因为，故B正确；对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确．11.如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.直线与平面所成的角为D.点与平面的距离为答案：ABD解析：思路：A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案.解答过程：A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，故，故，所以，故，A正确；B选项，因为，，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，B正确；C选项，平面的一个法向量为，又，故设直线与平面所成的角大小为，则，故直线与平面所成的角不为，C错误；D选项，，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，故点与平面的距离为，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设函数，则曲线在点处的切线方程为______.答案：解析：思路：根据条件，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解.解答过程：因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.13.的展开式中常数项为______．答案：60解析：解答过程：的展开式的通项为，，1，2，…，6，令，得，所以的展开式中常数项为．14.1202年，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________．答案：1350解析：思路：由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案.解答过程：由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，被2除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯，即数列是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2，因为，故数列的前2025项的和为，故答案为：1350四、解答题（本题共5小题，共77分．15题13分，16，17各15分，18，19各17分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面积为，求的值.答案：（1）（2）2解析：思路：（1）利用正弦定理边化角求解.（2）利用三角形面积公式求解.（1）在△中，由及正弦定理，得，而sinB>0，则，又，所以.（2）由及的面积为，得，解得，因此，即为正三角形，所以.16.已知数列为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设公差为，利用已知条件建立方程组求解和；（2）将裂项为，再求和.（1）设等差数列的公差为，由得，由得，解得，.所以.（2），则，所以..17.如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.答案：（1）连接交于点，连结，.因为底面是正方形，所以是的中点.又，所以，故.由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即.所以四边形为平行四边形，故.又因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）作辅助线构造平行四边形，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可.（1）略（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.故，，，.设平面的法向量，由得.取，得平面的一个法向量.设平面的法向量，由得.取，得平面的一个法向量.故.所以平面与平面夹角的大小为.18.已知椭圆的右顶点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程.（2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可.（1）由题知，且，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）如图：联立，得，由题意，即，解得.设，，可得，，由，得，即，即即，解得.19.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论在区间上零点的个数．答案：（1）；（2）；（3）3个.解析：思路：（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）法一：应用分离参数法有，再应用导数研究右侧的单调性求最小值，即可得参数范围；法二：应用必要性探路，问题化为，令，再证明，时，恒成立，确保充分性成立，即可得；（3）由题设得是函数的一个零点，讨论、、，并利用导数研究函数的零点个数，即可得.（1）由，则，显然，所以切线方程为；（2），此时，法一：分离参数法，从而，令，则，所以，，所以在单调递减，在单调递增，因此，故的取值范围为；法二：必