湖南省岳阳市平江县2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷-附解析

数学满分150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定3.使式子有意义的的取值范围是（）A. B.C. D.，且4.已知，是第三象限角，则的值为（）A. B. C. D.5.等边三角形的边长为，如果，，，那么（）A. B. C. D.6.一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（）A.3 B.4 C.5 D.67.某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格：男性女性单位职工人数301848平均数6456n方差151m169则（）A.157 B.159 C.162 D.1658.的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（）A.当时，为纯虚数 B.一定是实数C.的最小值为2 D.在复平面内对应点的轨迹是圆10.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为11.在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（）A.B.二面角的余弦值为C.正四棱锥的外接球的表面积为D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是____________．13.已知，则的最大值为__________.14.若为偶函数，则________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，，设.（1）用表示；（2）若，则当时，求的值.16.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．17.如图，四棱锥中，为正三角形，，，，为线段的中点．（1）在平面内，找到过点与平面平行的直线并证明；（2）若，证明：平面平面．18.在中，内角、、所对的边分别为、、，．（1）求；（2）若外接圆的面积为，求面积的最大值．19.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；（3）设，当为何值时，关于的方程有实根？

数学满分150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，集合，故．2.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定答案：A解析：思路：根据两直线平行与垂直的性质直接判断.解答过程：因为，，所以，又，所以.3.使式子有意义的的取值范围是（）A. B.C. D.，且答案：D解析：思路：根据对数的定义得到不等式组解得.解答过程：解得，即且.故选：D4.已知，是第三象限角，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解.解答过程：，，又是第三象限角，．从而.故选：B5.等边三角形的边长为，如果，，，那么（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的线性运算及数量积的运算公式直接计算.解答过程：在正三角形内，，，，，即，即，则．6.一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：思路：利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6.解答过程：设圆锥的母线长为，则底面半径为，侧面积，解得，则，故圆锥轴截面的周长为．7.某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格：男性女性单位职工人数301848平均数6456n方差151m169则（）A.157 B.159 C.162 D.165答案：B解析：思路：先根据分层平均数公式算出单位职工体重的平均数，再利用分层方差的合并公式，代入已知的总方差，解出女性体重的方差.解答过程：计算单位职工体重的平均数：.已知单位职工体重方差为，则,化简得：.故选：B8.的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：思路：利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解.解答过程：由，所以，又，所以，所以，所以，又，，所以，所以，又是的中点，所以，由余弦定理有：，又，所以，当时，，即.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（）A.当时，为纯虚数 B.一定是实数C.的最小值为2 D.在复平面内对应点的轨迹是圆答案：AC解析：思路：根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D.解答过程：因为复数，当时，为纯虚数，A选项正确；当时，不是实数，B选项错误；，所以的最小值为2，C选项正确；设在复平面内对应点为，所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误.故选：AC.10.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为答案：BC解析：思路：选项A：利用向量的数量积求向量的模；选项B：利用向量平行的条件求解当时，是否正确即可；选项C：利用数量积求解当两个向量垂直时是否成立即可；选项D：利用数量积求解一个向量在另一个向量上的投影向量即可.解答过程：选项A：，故A错误.选项B：当时，存在实数使得且，得，代入得：，，故选项B正确.选项C：当与垂直时，.，化简得，即，故项C正确.选项D：，，投影向量为，与选项中的()不符，故D错误.故选：BC.11.在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（）A.B.二面角的余弦值为C.正四棱锥的外接球的表面积为D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2答案：BCD解析：思路：根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D.解答过程：取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.因为，所以异面直线与所成的角即，则.设，则，，，则，所以正四棱锥的体积为，解得，所以，故A错误.在正方形中，由于，为的中点，所以，则为二面角的平面角，所以，故B正确.设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，由，得，解得，所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.过点作，垂足为，因为平面，且平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，则，故D正确.故选：BCD.方法提示：方法点睛：求解立体几何中空间角的问题，往往有两种方法，一种是利用定义先找到角的位置，再求解；另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是____________．答案：19解析：解答过程：解：将该组数据从小到大排列：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，该组数据共有10个，，则该组数据的第80百分位数为．13.已知，则的最大值为__________.答案：##解析：思路：运用基本不等式求解即可.解答过程：∵，∴（当且仅当即时，等号成立），∴（当且仅当即时，等号成立），所以，，则的最大值为.故答案为：.14.若为偶函数，则________．答案：2解析：思路：利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.解答过程：因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，，设.（1）用表示；（2）若，则当时，求的值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）结合图形，利用向量加，减，数乘的运算法则，即可求解；（2）利用已知可得，进而可得，求解即可.（1）因为，，，因为，所以，.（2）当时，，即，所以，所以，因为，所以，故.16.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．答案：（1）（2）300人（3）解析：思路：（1）由所有频率之和为1求解；（2）由年龄在内的频率计算求解；（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.（1）由题可知组距为，则：解得：.（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人.（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.17.如图，四棱锥中，为正三角形，，，，为线段的中点．（1）在平面内，找到过点与平面平行的直线并证明；（2）若，证明：平面平面．答案：（1）如图，连接，直线即为所求直线，证明：取的中点E，连接，则，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）证明：由，且，得，又为正三角形，则，又，，因为，所以，而，，所以，因为，，平面，所以直线平面，因为平面，所以平面平面．解析：思路：（1）利用中位线和平行四边形推出线线平行，进而证明线面平行；（2）利用勾股定理证明线线垂直，找出垂直于目标平面的直线，再由线面垂直推面面垂直．（1）略（2）略18.在中，内角、、所对的边分别为、、，．（1）求；（2）若外接圆的面积为，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；（2）由面积公式可得外接圆半径，即可根据正弦定理求解，由基本不等式即可求解的最大值，由面积公式即可求解.（1）因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）设的外接圆半径为，所以，所以，由正弦定理得，则，由（1）可得：，即，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.19.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；（3）设，当为何值时，关于的方程有实根？答案：（1）（2）（3）或.解析：思路：（1）根据函数为偶函数，列式求解，即得答案；（2）分离参数，将不等式对任意的恒成立转化为,利用换元，即，可得的最小值，即可求得答案；（3）利用换元，即，将有实根转化为的根的问题，继而转化为的零点问题，分类讨论，结合二次函数的零点分布，即可求得答案.（1）由函数是定义域在上的偶函数，则对于，都有，即，即对于，都有，即，由于不恒等于0，故，得.（2）结合（1）可得，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，得，则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，所以即可，又，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值