湖南省长沙市玉潭雅德高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.在等差数列中，，，则（）A.7 B.8 C.9 D.4.如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.5.某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（）A.60 B.80 C.100 D.1206.已知直线与直线平行，则实数（）A. B.1 C.或1 D.7.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.8.已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.与同方向的单位向量是10.已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（）A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线：垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为411.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.椭圆离心率为B.C.若，则的面积为D.最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线的倾斜角为__________.13.圆的半径为__________．14.数列的前n项和为，则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．（1）求；（2）若，求，的值．16.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程.17.如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值．18.在中，内角所对的边长分别是，且．（1）求角；（2）若，求的面积的最大值．19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，，为上一点，且．（1）求的标准方程；（2）直线与交于、两点，若，求．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过解方程和不等式将集合具体化，结合交集运算可得.解答过程：由得或，所以，又，所以.故选：B2.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域．解答过程：由题可知且，所以函数的定义域为.故选：D．3.在等差数列中，，，则（）A.7 B.8 C.9 D.答案：B解析：思路：直接根据等差数列的性质可得结果.解答过程：因为数列是等差数列，由等差的性质可得，又因为，，所以，解得.故选：B4.如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由图可得，.5.某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（）A.60 B.80 C.100 D.120答案：D解析：思路：根据分层抽样的性质列式求解即可.解答过程：根据分层抽样可得，解得.故选：D.6.已知直线与直线平行，则实数（）A. B.1 C.或1 D.答案：C解析：思路：由直线平行的充要条件列式运算即可求解.解答过程：已知直线与直线平行，则当且仅当，解得或.故选：C.7.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程.解答过程：由焦距为4可得，即，又，所以，可得，即；则的渐近线方程为.故选：B8.已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率.解答过程：设椭圆左焦点为，连接、，由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形，又，故，即平行四边形为矩形，因此，，在中，，设，则，，由椭圆的定义，，又，故，即，将代入，得，故离心率.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.与同方向的单位向量是答案：ABC解析：解答过程：对于A，由，可得，故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，由，可得，故C正确；对于D，由，可得与同方向的单位向量是，故D错误；10.已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（）A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线：垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为4答案：BC解析：思路：利用直线恒过定点可判断A,C，利用直线垂直时斜率的关系可判断B,根据勾股定理求弦长，可判断D.解答过程：整理可得，由可得，所以直线恒过定点，A不正确；直线的斜率为，直线的斜率为，若，则有，，B正确；直线恒过定点，且在圆O内部，所以直线l与圆O相交，C正确；若，直线l：，圆心O到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，D不正确.故选：BC11.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.椭圆离心率为B.C.若，则的面积为D.最大值为答案：BCD解析：思路：由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D.解答过程：由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线的倾斜角为__________.答案：解析：思路：由直线的一般方程可以求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得答案.解答过程：将直线化为斜截式：，所以直线的斜率，记直线的倾斜角为，且，则，所以，故答案为：.13.圆的半径为__________．答案：解析：思路：根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解.解答过程：圆的标准方程为，∴圆的半径为.故答案为：.14.数列的前n项和为，则___________.答案：解析：思路：由及递推关系求结果.解答过程：.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．（1）求；（2）若，求，的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解；（2）设，得到方程组，求出答案.（1）;（2）因为，所以设，即，故，解得.16.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.（1）法一：由两点式写方程得，即；法二：直线的斜率为，直线的方程为，即；（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，所以；（3）直线AB的斜率为，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.17.如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；（2）利用空间向量计算点面距离即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可.（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，即，所以，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）由上易知，设面的一个法向量为，则有，取，即，所以点到平面的距离为；（3）由上可知，设面的一个法向量为，则有，取，即，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值.18.在中，内角所对的边长分别是，且．（1）求角；（2）若，求的面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解.（1）由，由于，所以，又因为，所以，即，因为，所以，即,故；（2）因为，，所以由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，所以，当且仅当取等号，则的面积，故的面积的最大值为.1