吉林省四平市第三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学第Ⅰ卷客观题一、单选题（每小题5分，共40分）1.设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（）A.3e3 B.e3 C.0 D.32.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（）（参考数据：若，则有）A.1360人 B.1570人 C.2720人 D.3410人3.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（

）（残差=观察值－估计值）A.2 B. C. D.4.某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（）A.630种 B.360种 C.240种 D.180种5.某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（）A. B. C. D.6.点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知随机变量，则为（）A. B.1150 C. D.608.若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据：第x年12345污染指数y5.75.04.54.13.2附：已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（）A.与线性负相关B.若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小C.若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37D.地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为110.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（）A.第2026行的第1013个数最大B.第10行所有数字之和为C.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为D.第48行的所有数字之和被7除的余数为111.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.若方程有两个不相等的实数根，则C.存在，使D.若不等式恒成立，则第Ⅱ卷主观题三、填空题（每小题5分，共15分）12.在的展开式中，含的项的系数是________.13.已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________．14.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________．四、解答题（共5小题，共77分）15.已知的展开式二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．16.近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：

满意不满意合计男性用户400400800女性用户8004001200合计12008002000（1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？（2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.附：0.100.010.0012.7066.63510.82817.已知函数．（1）若，求函数在上的最值；（2）求函数的单调区间．18.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．（1）当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和．（2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．19.已知函数．（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明：当时，．

数学第Ⅰ卷客观题一、单选题（每小题5分，共40分）1.设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（）A.3e3 B.e3 C.0 D.3答案：B解析：思路：根据复合函数求导法则及导数运算律计算求解.解答过程：由，得，令，得，解得，故在时的瞬时变化率为．2.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（）（参考数据：若，则有）A.1360人 B.1570人 C.2720人 D.3410人答案：A解析：解答过程：由成绩近似服从正态分布，得，则，则，所以分数在100-120之间的考生约有1360人.3.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（

）（残差=观察值－估计值）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.解答过程：∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.4.某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（）A.630种 B.360种 C.240种 D.180种答案：B解析：思路：分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解.解答过程：根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，有种，物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，有种，物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，有种，所以共有种不同的参会方案.故选：B5.某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出两支较强的球队被分在不同组的分法，在求出总的分法，根据古典概型概率公式求解即可.解答过程：由题意可知，两支较强的球队被分在不同组的分法有种，所有的分法有种，结合古典概型概率计算公式可得所求概率为.故选:C.6.点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，再求解切线的倾斜角的取值范围.解答过程：因为，所以，由于，因此，可得，即切线斜率，因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论：当时，即，可得当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：.7.已知随机变量，则为（）A. B.1150 C. D.60答案：C解析：解答过程：由题意可知，，.8.若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可.解答过程：函数的定义域为R，求导得，由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点，即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，因此函数在处取得最小值，而，，且当时，恒成立，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以实数的取值范围是.故选：C二、多选题（每小题6分，共18分）9.某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据：第x年12345污染指数y5.75.04.54.13.2附：已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（）A.与线性负相关B.若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小C.若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37D.地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1答案：AC解析：思路：根据表中数据与的变化关系可判断A；根据删掉第3年数据为样本中心结合最小二乘法计算公式可判断B；结合B计算后，计算即可判断C；根据新直线方程结合相关系数可判断D.解答过程：对于A，由题中表格数据可知，污染指数随着年份的增大而减小，所以与线性负相关，故A正确；对于B，，即回归方程的样本中心为，所以删掉第3年数据为样本中心，由最小二乘法计算公式可知不变，故B错误；对于C，由B可知，，即回归方程为，所以地区第10年的污染指数为0.37，故C正确；对于D，若新数据都在直线上，则与线性负相关，故这组新数据的样本相关系数为，故D错误.故选：AC10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（）A.第2026行的第1013个数最大B.第10行所有数字之和为C.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为D.第48行的所有数字之和被7除的余数为1答案：BCD解析：思路：由组合数的性质计算可判断A，由杨辉三角的每行系数和性质可判断B，将所求和转化为组合数相加，通过在首项加上并在末尾减去1并结合即可求解，求和后转化为，利用二项式定理展开可判断D.解答过程：对于A，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字中最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故A错误，对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为，第行所有数字之和为，第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确，对于C，由题意可得，故C正确，对于D，由上知第行的所有数字之和为，由于能被7整除，故第行的所有数字之和被7除的余数为1，故D正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.若方程有两个不相等的实数根，则C.存在，使D.若不等式恒成立，则答案：ABD解析：思路：选项A：利用导数求解出函数的单调性，结合函数的单调性和最值求解结果，选项B：由，得，所以然后进行换元，将问题转化为与有两个交点，得到，选项C：因为，且当时，,则转化为得到结果，选项D:将问题表述通过代数变形转化为即．利用的单调性结合，等价于，转化为求解即可.解答过程：因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．由在上单调递减，得，所以A正确．由，得，所以．易知函数在上单调递增．令，则，所以，即与有两个交点，所以，故B正确．因为，且当时，，所以由，得，故C错误．由，得，所以，即．令，易知函数在上单调递增．因为，所以，所以，所以，，故正确．故选：ABD.第Ⅱ卷主观题三、填空题（每小题5分，共15分）12.在的展开式中，含的项的系数是________.答案：-15.解析：思路：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.解答过程：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,所以含的项为.所以展开式中，含的项的系数是-15.13.已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________．答案：解析：解答过程：因为，则，又因为，则，所以.14.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________．答案：解析：思路：记事件表示从第个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式即得.解答过程：记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，进而可得，，所以，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故答案为：.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知的展开式二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．答案：（1）（2）60（3）解析：思路：（1）根据二项式系数和公式得到方程，求出答案；（2）得到展开式通项公式，进而得到展开式中的常数项为；（3）二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知，得到答案.（1）由题意得，故；（2）的展开式通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为；（3），展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知，故展开式中二项式系数最大的项为.16.近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：

满意不满意合计男性用户400400800女性用户8004001200合计12008002000（1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？（2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.附：0.100.010.0012.7066.63510.828答案：（1）有关；（2）的分布列为：期望为.解析：思路：（1）提出零假设满意度与用户性别无关，再计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知的可能取值有，根据超几何分布的知识求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.（1）零假设为满意度与用户性别无关，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.（2）由题意知的可能取值为，则，，，所以的分布列为：则.17.已知函数．（1）若，求函数在上的最值；（2）求函数的单调区间．答案：（1）最小值，最大值.（2）时，在上单调递减；时，单调递减区间，单调递增区间；时，单调递增区间，单调递减区间.解析：思路：（1）根据导数的正负得出其单调性，进而分析其最值.（2）求出函数的导数，分类讨论的取值，讨论函数的单调区间.（1）若，则，.令，则.当，则，当，则.因此在上单调递减，在上单调递增，则最小值为.因为，所以最大值为.（2）对求导得.由于恒成立，的符号由决定，分类讨论如下：当时：恒成立，因此的单调递减区间为，无单调递增区间.当时：令，解得.时，，单调递减；时，，单调递增.当时，同理解得，时，，单调递增；时，，单调递减.综上，时，在上单调递减；时，单调递减区间，单调递增区间；时，单调递增区间，单调递减区间.18.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互