吉林省长春市吉大附中实验学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.已知全集，则（）A. B. C. D.3.“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数，则（）A.是奇函数 B.是周期函数C.的最大值为2 D.5.已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为（）A.60 B.80 C.120 D.1606.已知函数的图象关于直线对称，则（）A. B.2 C.1 D.7.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（）A.4天 B.8天 C.10天 D.16天8.函数，若，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.16二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.是周期为的函数B.与函数是同一函数C.是的一条对称轴D.在区间上的取值范围是11.已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（）A.是奇函数 B.，C. D.在区间上，有2027个零点第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.13.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________.14.在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．（1）设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值．（2）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积；16.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．17.2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据：234563.24.25.15.86.7（1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本；（2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称.参考公式：18.已知函数．（1）若，判断的单调性；（2）若有唯一零点，求a的取值范围；（3）若，且，证明：．19.某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具．（1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率．（2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为．（i）求的数学期望；（ii）证明：．

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：根据全称量词命题的否定定义写出.解答过程：命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.2.已知全集，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：．3.“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得.解答过程：若，则，由为奇函数，故是奇函数，故“”是“函数是奇函数”的充分条件；若函数是奇函数，则，故“”不是“函数是奇函数”的必要条件；综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件.4.函数，则（）A.是奇函数 B.是周期函数C.的最大值为2 D.答案：D解析：解答过程：函数，定义域得.化简得.选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误.选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有.取，则，即，得，与矛盾.故假设不成立，不是周期函数，B错误.选项C：取，则，C错误.选项D：，所以，D正确.5.已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为（）A.60 B.80 C.120 D.160答案：A解析：思路：先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解.解答过程：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，，，则的展开式中的通项为：，，令，解得，故该展开式中的系数为.6.已知函数的图象关于直线对称，则（）A. B.2 C.1 D.答案：D解析：思路：法一：根据对称性，有，代入计算即可得；法二：借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，利用正弦型函数性质计算即可得；法三：根据三角函数在对称轴处取极值，求导后代入计算即可得.解答过程：法一：根据对称性，有，即，解得.法二：，其中，由题意，为函数的最值，所以，即，即，两边平方得，解得.法三：根据三角函数在对称轴处取极值，由，则，解得.7.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（）A.4天 B.8天 C.10天 D.16天答案：A解析：解答过程：记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”，，，，所以，，（天）.8.函数，若，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.16答案：C解析：思路：根据函数推导出与的关系，再根据函数的单调性得到与关系，最后根据基本不等式求解即可.解答过程：，又在单调递增，，，即.，当且仅当时，等号成立.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD.解答过程：由题意可知，所以，A项正确；，当且仅当时取等，B项正确；所以，当且仅当时取等，C项正确；，当且仅当时取等，D项错误．10.已知函数，则（）A.是周期为的函数B.与函数是同一函数C.是的一条对称轴D.在区间上的取值范围是答案：AD解析：思路：根据正弦函数的性质判断ACD选项；结合诱导公式判断B选项.解答过程：由题意，，故A正确；，故B错误；因为，所以不是的一条对称轴，故C错误；当时，，则，则，即在区间上的取值范围是，故D正确.故选：AD.11.已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（）A.是奇函数 B.，C. D.在区间上，有2027个零点答案：ABD解析：思路：先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D．解答过程：对于A，由，得，即，又，所以，即是以周期为的周期函数，由，得，所以，即，所以是奇函数，A正确；对于B，由，得，所以，B正确；对于C，，，，，一个周期内的和：，所以，C错误；对于D，是以周期为的周期函数，，，时，，，所以，时，，，所以，所以在内的零点有，而包含个完整周期，所以是的零点，共个，D正确．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.答案：解析：思路：根据全概率公式计算即可求解.解答过程：由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为，设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，由题意可知，则，解得.13.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：先判断在上单调递增，由函数为偶函数，将不等式等价转化，得到或，求解即得.解答过程：因为对于，都有，所以在上单调递增，是定义在上的偶函数，且.由，可得，则有，即或，或.故实数的取值范围为.14.在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______．答案：90解析：思路：先确定每行的结构，再通过列的约束条件，建立方程求解符合条件的行数组合，最后结合排列组合计算总填法数.解答过程：第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第四行的数字唯一确定；如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第四行由第三行完全确定；第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同，另外两个位置与第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．（1）设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值．（2）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意求出，结合诱导公式计算求解即可.（2）设出圆心角，利用扇形弧长公式及面积公式求出圆心角及扇形面积，再计算的面积，作差求解即可.（1）设点到轴的距离为，则点到轴的距离为.因为，所以.所以.（2）设，则弧长，所以.则扇形面积为.又，所以阴影部分的面积.16.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．答案：（1）（2）极小值，无极大值解析：（1），求导可得，当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由小问1可知，，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极小值为，无极大值.17.2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据：234563.24.25.15.86.7（1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本；（2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称.参考公式：答案：（1），10.16万元.（2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则，故，，，又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称.解析：思路：（1）根据最小二乘法即可求解；（2）首先根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明.（1）由条件可知：，列出下表0120.10.81.73.60.800.83.441014将以上数据代入公式，可得，所以，当时，（万元），故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元.（2）略18.已知函数．（1）若，判断的单调性；（2）若有唯一零点，求a的取值范围；（3）若，且，证明：．答案：（1）在上单调递增．（2）．（3）证明：因为，且，所以，，令，则，所以，，，，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，由（1）知单调递增，所以当时，，所以．解析：思路：（1）由导函数的正负确定单调性；（2），设，然后按，，分类讨论确定的正负得的单调性，并确定零点个数后得出参数范围；（3）已知式变形为，令，则，把表表示，得出，再用分析法证明不等式，分析后需引入新函数，利用导数证明.（1）由题意，定义域为，，所以在上单调递增．（2）定义域为，，设①若，则，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意；②若，则，，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意；③若，令，，，当，，，单调递增，当，，，单调递减，当，，，单调递增．又，，，，设，，，由（1）知在上是增函数，时，，所以，所以，所以在单调递增，，即，由零点存在定理可知，使得，不合题意．综上，．（3）略19.某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有