吉林省长春市吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.6 B.7i C.7 D.2.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.243.关于向量下列命题中不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则4.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm6.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（）A. B. C. D.8.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（）A.4 B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A. B.的共轭复数为C. D.10.某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（）A. B.C. D.11.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.过三点作正方体的截面，则截面面积为C.三棱锥的体积最大值为D.若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.13.在中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为__________.14.已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角、、的对边分别为、、，满足，．（1）求及边的值．（2）若的面积为，求．16.已知，且，向量．（1）若，求实数的值．（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．17.为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）．（1）求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数；（2）若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数）（3）已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差．（设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差）18.甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.（1）已知.（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；（ii）求甲队获得冠军的概率.（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若M为棱上一点，且平面，（ⅰ）试确定点M的位置；（ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值．

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.6 B.7i C.7 D.答案：C解析：解答过程：由题意知，z的虚部为2.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.24答案：C解析：解答过程：解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个，，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均，故第三四分位数为．3.关于向量下列命题中不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则答案：ACD解析：思路：根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.解答过程：对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；对于B，若，则反向，，B正确；对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.故选：ACD.4.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。解答过程：对选项A：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误；对选项B：由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确；对选项C：若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误；对选项D：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。5.已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm答案：C解析：思路：利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题．解答过程：因为截面圆的周长为，则，解得；因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为，则，即，解得．6.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量投影向量的定义，先计算两向量的数量积、的模长，再代入投影向量公式求解即可。解答过程：根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为.7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择，因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下，（1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法;（2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法;（3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法;（4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法;两个红球被连续取出的方法共有种；所求概率为.8.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（）A.4 B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可.解答过程：已知，，所以，化简得.由是中点，，所以，化简得，进而.因为，所以.由基本不等式，且，所以，当且仅当，即，最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A. B.的共轭复数为C. D.答案：ACD解析：解答过程：由题意知，，其共轭复数为，故A正确；B错误；又，故C正确；，故D正确.10.某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为与互斥，所以，即，A正确；对于B，因为与互斥，所以，即，B错误；对于C，因为与互斥，所以，因此，故，C正确；对于D，因为，当与互斥时，，因此，D正确．11.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.过三点作正方体的截面，则截面面积为C.三棱锥的体积最大值为D.若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为答案：ACD解析：思路：作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用等体积法可知当与重合时，体积最大，通过计算可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确.解答过程：对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；将底面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，A正确；对于B，取中点，连接，，四点共面，则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示，

平面，平面，，，，四边形为矩形，又，，，B错误；对于C，，因为平面，所以即底面上的高的长，即，又（其中是指边上的高），因为点为侧面（含边界）上的一个动点，则当点在边上时最大，即，即面积最大值为，此时三棱锥

的体积取最大值为

，C正确；对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上，取中点，则，，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如图所示，，，劣弧的长度为：，则点在侧面内运动路径的长度为，D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.答案：8解析：思路：根据绿球个数除以总个数即可.解答过程：因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为，设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：;故答案为：813.在中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：利用正弦定理建立关系，分析三角形有两解的条件，解不等式求的范围.解答过程：在中，由正弦定理得：，整理得：，三角形有两解，说明存在两个不同的取值（一个锐角、一个钝角），且都满足三角形内角和为：，因此必须满足；要使有两解，需满足：；由，结合，得：，由，得；由，得，即；因此，的取值范围是.14.已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______．答案：##2.5解析：思路：由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B在直线上，结合计算即可求解.解答过程：由，得，即，又，整理得.设，则，设，则，所以，即点C在直线上；设，由，得，即点B在直线上，而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离，所以，即的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角、、的对边分别为、、，满足，．（1）求及边的值．（2）若的面积为，求．答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可.（2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可.（1）在中，，因为，所以由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理得，可得，又，则，解得.（2）因为的面积为，由（1）知，，所以，解得，已知，由余弦定理得，解得.16.已知，且，向量．（1）若，求实数的值．（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据已知条件求出，利用列出关于的方程，解方程求出；（2）由与的夹角为锐角，得出，解不等式求的范围，根据与共线，构造方程求出，排除共线的情况，最终得出实数的取值范围．（1），解得，已知，则，解得．（2）与的夹角为锐角，则，解得，若与共线，则，解得或，其中不在区间内，只需排除，故实数的取值范围为．17.为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）．（1）求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数；（2）若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；（成绩取整数）（3）已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差．（设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差）答案：（1）；人（2）（3）平均数为，方差为解析：思路：（1）利用频率和为1求的值，再利用频率求频数即可.（2）先根据频率分布直方图估计数据的第75百分位数，即可估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围.（3）根据平均数、方差的性质进行计算即可.（1）由.所以样本中成绩在60分以上的人数为：.（2）因为，，所以成绩的第75百分位数在区间内，由，因为成绩为整数，所以成绩在的可以评为“良好”以上等级.（3）设成绩在的平均数为，方差为，由，解得.由，解得.所以成绩在内的平均数为，方差为.18.甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.（1）已知.（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；（ii）求甲队获得冠军的概率.（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？答案：（1）（i）；（ii）（2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠解析：思路：（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可；（2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠.（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件，则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜，所以.因为，所以；（ii）设甲队获得冠军为事件，则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜，则.因为，所以.（2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件，则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜，则，因为，所以，此时，符合题意，，因为，，，所以，即“主客场比赛制”比第三方场地